lekcii (Лекции), страница 4

Там жс спсцифицируются зна- чащий нуль и ненормализованные значения: Значения полей 0 с е с 2047 Значение ( — 1)' 2 ы ' 1,1 (нормализованные числа) ( — 1)'. 2 ~с22. О, /' (ненормализованные числа) ( — 1)' 0,0 ~нуль со знаком) е = 0; 1 ф 0 (по меньшей мере один бит в 1" не нуль) е = 0; ~ = О (все биты в 1" нули) я = 0; е = 2047; 1" = 0 (все биты в ~ нули) в = 1, е = 2047: 1' = 0 (все биты в ~ нули) ПаХ ( 4оС-а-ХпшЬег) з = и; е = 2047; 1" ф 0 (по меньшей мере один бит в 1 не нуль) о операции: сложение, вычитание, умножение и деление с плавающей точкой.

Так как арифметические действия над числами с плавающей точкой являются по существу приближенными, а не точными, для обозначения соответствующих операций следовало бы изпользовать специальные символы 9, 9, З, С, чтобы отличать приближенные операции от точных. Однако обычно из контекста понятно, с какими данными производятся вычисления, и поэтому для обозначения этих операций используются те же символы, что и для соответствующих операций с данными целого типа. К операциям над данными вещественного типа относится и одноместный минус, обозначаемый так же, как и операция вычитания.

Заметим, что сложение и вычитание хюжет быть сведено к одному действию, если в случае вычитания переходить сначала к числу с противоположным знаком (выполняя операцию «одноместный минус»); 161 Исследованием свойств вептественных чисел и оценкой полной погрешности вычислений подробно занимаются в курсе численных методов ~101, 83~. См. также весьма интересное пособие ~103~ К базовому множеству атрибутов вещественного типа относятся: о Отнопгения лло1эядка; о функции: ЛВЯ, Щ1П', Я1Х, СОЯ, ЕХР, ЬМ, АКСТАФА. Свойства операций над данными велцественного типа 11усть Х, У, У Е ВЕАЬ (символ над значением писать здесь и в дальнейшем не будем, так как все осталылые рассуждения относятся к представителям действительных чисел).

Операции над данными вещественного типа удовлетворяют следующим трем свойствам: о коммутативности сложения и умножения, но только для двух слагаемых, т. е. Х + 1' = Ъ' + Х; ХлУ=У*Х, Х+У 1Яф21У1ХфУ+Л 1У; но о (Х вЂ” 1 ) + 1' = Л ., только когда Х > 1' > О; при всех других соотнопгениях между Х и У равенство не гарантируется; о симметричности операций относительно пуля: Л вЂ” 1 =Х ~( — 1)= — (У вЂ” Х), ( — Х) . У = Х * ( — У) = — (Л .

У), 1 Х1 х (х) Из этих свойств следует, что о еслиУ>О,тоХ+У>Х; о еслиЛ >У,тоХ вЂ” 1 >О; о если Х > О и О < У < 1, то Х ~ У < Х; о Х вЂ” Х=О; о Х+О=Л; о Х*О=О; о Х вЂ” О=Х; Л о Х*1= — =Х; 1 о — = 1. Х Это очевидные свойства, которые выполняются. Для данных вещественного типа., вообще говоря, .не выполняютсл: 162 о правила ассоциативности для с нвкения и умножения: Эти правила могут нарушаться не только из-за переполнения (получения результата вне диапазона представления). Нарушения могут быть вызваны округлениями и нормализацией.

В частности, если в процессе вычислений производится вычитание двух близких чисел, то происходит значительная потеря точности (значимости); о правило дистрибутивности (Х+ г') У ф (Х У)+ (г У). Рассмотренные свойства позволяют сформулировать рекомендации для практической организации вычислений пад данными вещественного типа: о Если необходимо произвести сложение-вычитание длинной последовательности чисел, то надо сначала производить действия с наименьшими числами. о Надо по возможности избегать вычитания двух почти равных чисел; формулы, содержащие такое вычитание, часто можно преобразовать так, чтобы избежать подобной операции. о Выражение вида а (б — с) можно записать в виде а 6 — а . с.

а выражение вида (6 — с)/а в виде б/а — сХ'а. Если числа в разности почти равны друг другу, то следует производить вычитание до умножения или деления; при этом задача не будет осложнена дополнительными ошибками округления. о В любом случае надо сводить к минимуму число необходимых арифметических операций над вещественными числами. Замечание. Формула Тейлора сводит вычисление трансцендентных функций к алгебраческим (полиномам, ау, схема Горнера!). Однако этот простой способ не применяется на практике ввиду большой ресурсоемкости и значителыюй погрешности.

Алгоритмы выполнения операций над данными вещественного типа Сложение и вычитание. Для общности будем считать, что основание системы счисления равно В и имеются два нормализованных числа Х1 и Хг, причем Х1 ) Хг. Х1=ЛХ1 В'~ иХг=ЛХг'В Тогда Х1 + Хг = М1 . В~1 + ЛХг В~ = 6~1 (ЛХ1 + Мг В ~~1 ~2~). Л палогично Х1 — Хг — — М,. В"' — ЯХг В~' = 6'1 (ЛХ1 — ЛХг. В ~" ~'1). где К = )л)<ахР ! 1 1, Например, для разрядной сетки 1 2 3 4 8 9 10 32 МВНЧИССЫ ~тахР,.~ = 63, так что 1~,'." = Р„+ 64, 0 < Р„".' < 127. Таким образом, порядки всех чисел 164 Пусть сначала оба числа неотрицательпы.

'1огда в соответствии с <лриведенными выше формулами выполняются следующие действия. Сначала происходит выравнивание порядков, причем порядок ълепыпего числа приводится к порядку большего числа, т. е, порядок меныиего числа принимается равным порядку большего числа, .а, мантисса сдвигается на соответствующес число разрядов вправо <очевидно, 'лто это число равно разности болыпего и меныпсто порядков). Затем происходит сложение или вычитание мантисс как целых чисел, в результате к>го получается мантисса результата,. Порядок результата, в соотвст<'.твии с произведенным выравниванием порядков принимается равным гк>рядку болыпего числа. Наконец, полученный результат округляется и, если нужно, нормализуется. Окрутление результата может быть реализовано несколькими способами. Например, один из них заключается в том, что предварительный результат вычисляется с большиъл количеством разрядов, чем разрядная сетка чисел, над которыми производится операция.

Даже если используется двоичный код, достаточно одного лишнего машинного (двои )- ного<) разряда. В этом случае слсругление заключается в прибавлении единицы к этому дополнительному младшему разряду предварительного результата. Если ллри выполнении действия в этом дополнительном разряде был получен яуль, то это не вызовет переноса единицы в основные разряды.

Если же в дополнительном разряде при выполнении действия получена единица, то предварителылый результат будет увеличен на единицу основного младшего разряда, что обусловлено переносом единицы, полученной при увеличении дополнительного разряда. После выполнения этих действий дополнительный разряд о"сбрасывается. При норълализации полученного результата мантисса сдвигается влево до тех пор, пока в стари)ем разряде пе окажется цифра, отличная от пуля, а порядок результата при этом уълеш>шается на число единиц, равное количеству разрядов, на которое произведен сдвиг мантиссы.

Таким образом, при выполнении опера)сий сложения и вычитания возникает проблема выравнивания порядков чисел, т.е. прежде вес)го должен быть проведен анализ знаков и величин порядков. Для упрощеелия оперъщий над пс)рядками Во ълногих машинах поря)Сок Всех чисел уьс'- личивается на од>н> и то же число так, чтобы порядок наименьшего числа. представимого в ълашипе, был неотрицательным, т. е. машинный порядок всех чисел Р ' удовлетворял бы условию /Л, Л>0,.

'(  — 11(Л!., Л<О называется прял<ььм кодом числа Л. Как видно из этой формулы, знак положительного числа кодируется нулем, а знак отрицательного числа кодируется максимальной цифрой системы счисления. ГГапример (Л), = О.П0101 (Л) = — Го1. по1 (Л)ю = — 25.43 (Л)а = — 0.4321 Лпр =0 Лр =1 К~р = 9 Л;,р — — 4 П0101 10П101 2543 4321 Из равенства Х вЂ” У = Х+ ( — У) — В следует, что операцию вычитания 1 из Х можно заменить операцией сложения ( — 1 ) и Х с последу1ощим вычитанием из результата величины В. На этом основана работа с так называемым дополиирпсль1<ыл< кодом числа,, который получается согласно следующей формуле: / Л, .Л)0, '( В-Г Л., Л<О Из приведенных определений следует, что положительные числа в прямом и дополнительном коде совпадают.

В прям1ом коде нуль имеет два представления: «положительный» и «Отрицательный» нуль. В дОНОлнительном кОдс'. нуль имсет тОлькО ОднО, «пОложитсльное» представлс;ние. Запись отрицательного числа в дополнительном коде получится вычитанием каждой цифры числа из ма,ксимальной цифры системы счисления, при этом младшая цифра вычитается из основания системы счисления. Знак отрицательного числа, кодируется максимальной цифрой системы счисления.