lekcii (Лекции), страница 3

Например, при В = 10 число Х = 15.431 можно с плавающей точкой представить и как 0.15431 10~, и как 15.431 10о, и как 1.5431 10 1, и как 154.31 10 1, и как 1543.1 10 2 и т. д. Обычно рассматривают норллаллиованные представления вещественных чисел, которые определяются доно:шительным соотношением тахтап1 В < )т( < тахтап$. Таким образом, лн>бое вещественное число может быть представлено в нормализованном виде с помощью двух целых чисел. При этом пара (пг, р) дает приолиженное представление вещественного числа.

Дело в том, что из-за конечной длины всего слова и мантисса, и порядок представлял>тся конечным количеством цифр. Пусть каждая мантисса содержит 1 цифр, а порядок -- о цифр; тогда 1 определяет точность представления числа, а с1 -- диапазон представляемого числа. И мантисса, и порядок могут иметь знак. МнОжс'.стВО ВещестВснных 1исс.'л, каждОС из кОтОрых представлено кОнс 1ным числОм, не является континууълом.

Это конечное множество; в нем ровно 2. ( — 1). В1 ' (тахерх— тлпехр + 1) + 1 чисел. Они расположены на числовой оси неравномерно. Равномерность распределен>ля имеет место лишь при фиксированнокл показателе степени (значения порядка). Для примера построим систему положительных нормализованных чисел с плавающей точкой, для которых В = 2;1 = 3; тгпехр = — 1; тахехр = +2.

Значения этих чисел определяются по формуле ал а2 а1 , ал аэ аз Х = ~( — + — + + — ). В' = х( — + — + — ) 2'. В В> В1 2 4 8 В заданном диапазоне ллзменсния [тдпехр, лпахехр~ порядок о имсет значения; -1, О, 1 1, и —; 2. Полученную систему чисел можно представить в форме табл. 1, в которой для удобства построения графика чйсла записаны в виде обыкновенных дробей.

156 Проиллюстрируем полученные результаты на рисунке 1. Я=+1 ц=+2 У4 /2 +1 +1 /2 +2 +2!4 +3 +3 Уг Х При использовании только нормализованной формы представления плотность элементов множества вещественных чисел на оси вещественных чисел экспонеппиально уменьшается с увеличением )Х/. 11апример, промежуток 10.1..1] содержит при В = 10 столько же элементов рассматриваемого множества, сколько промежуток 110000..100000). Таким образом, множество значений вещественного типа является конечным подмножеством множества действительных чисел К, определенного в математике: В.ЕАЬ С К. В множестве действительных чисел сначала выделяется подмножество Я, которое пазывается дьаиавоном представления. Множество К~1с называется диапалпвом веревпинеиия,.

Множество 17. представляет собой замкнутое связное множество, т. е. промежуток: Я. = аппп Й.ЕЛЬ, тат, ЙЕЛЦ. Каждому числу Х Е Л. ставится в соответствие Х Е И"АЬ, где Х представитель Х. Каждое Х является представителем бесконечного множества чисел из диапазона представления. В приведенном выше примере (при 1 = 3) ясно видно, что лк>бой промежуток числовой оси между отмеченными точками содержит бесконечное количество действительных чисел. Однако вместо любого действительного числа, попадакнцего внутрь указанных интервалов., приходится использовать границу (правую или левую - это зависит от принятого правила округления) соответствующего отрезка.

Эта граница и является представителем действительного числа в множестве значений типа В.ЕЛЬ. Для числа Х Е Я справедливо неравенство [83) В1 — е 1 2 В рассматриваемом примере вещественные числа. 0 и 1 сами являются своими представителями (см. рис. 1). Масштаб диапазона представления для 128-битной аппаратно реализованной на Р1пйа1 157 А1рйа вещественной арифметики И~ЕЕ (Пас!гсср!е-Ргес!в1ог1 Х боагпц*, впечатляет: от М1ХС~1!АЫВЛЛРЬЕ = 3.36210314311209350626267781732175Š— 4932 и до МАХЯ11АВВ.АРЬЕ = 1.18973149535723176508575932662801Е !-4932. Серийно выпускаемые 32-х разрядные процессоры 1пге! и АМ!Э имеют нс более, чем 80- разряднун> вещественную арифметику!ЕЕЕ Вгшб!е-Ргес1в1огг Т Йоаг!г1о? с более скромными характеристиками: от М15!ЫОПВЬЕ = 2.2250738585072014Š— 308 и до МАХБ01!ВЬЕ -- 1.7976931348623157Е+308.

В связи с тем, что подавляющее количество значений типа ВЕАЬ представляется приближенно, возникает вопрос о точности выполнения действий над такими числами (о точности плаваюгцей арифметики). Эту точность можно характеризовать с помощью так называемого лсагиинного зпсг лон, т. е. наименьшего числа с плавающей точкой в, такого, что 1 61 в > 1.

Существование машинного эпсилон хорошо видно на рис. 1: за единицей на протяжении машинного эпсилон на числовой оси нет представителей. Вычисление машинного эпсилон именно в районе единицы связано с тем, что нормализация числа приводит мантиссу к правильной дроби без ведущих нулей после запятой. Существует несколько методов для оггределения приближенного значения магпинного эпсилон например, на, основании конкретных технических характеристик аппаратной реализации вещественного типа,.

Кроме того, программа может сама определить точность вьпголнепия действий над данными типа В.ЕА1. в той машине, на которой она выполняется, во время своего исполнения. Метод, которым вычисляется приближение, иллюстрируется следующим фрагментом программы в нотации Э. Дейкстры: в: — 1.0 с1о (1.0 + в,' гЬО > 1.0)7 в .-- в ? 2.0 ос1 В литературе !83] часто приводится программа вычисления величины, отличающейся от машинного эпсилон самое большее в 2 раза. В Паскаль-программе вычисления в для 128-битного аппаратно реализованного вещественного типа ВЕС А!р5а тип гса1 переопределяется: ргоКгаш СеСА!рГ1аЕ1ж1!огг(опГ1шГ): Суре геа1 с!пас1гпр!е; айаг в: геа1; Ьен1н в .'-- 1.0: Мн1е (1.0 1- в г 2.0) > 1.0 с1о в:-- в?' 2 0; ит1Се1н(в: 5 — гоппс1(!оп(в) ) ): епс1.

Результат вычисления будет выведен с 33 значащими цифрами: 1.92592994438723585305597794258493Š†00. 158 211авВахРЗ:-3 оас ./Вево.орр Рзсс1оае <совссеввх 91пс1пее <11в(сзх Впво)спа <1опеп(рх 'ЮЗПО1СЕЕ <Ох<ВСЬ> с Зп( а) ( 1опс ПосЬ1е ервз1ап 1.01 впх1е((1.0 <- ерв<1сп / 2.0) '= 1.0) ерв11оп / 2.0; вса::посс « всп::весрсео1вхоп(всасы савскзпс>(1.0 — все::1о910[ерв(1оп))) « "са1сп1асеп1 " « ерв11оп « ", 571: " « в<01;попе<со па(св<1ппс оосьсе>;."ерв 11оп() КК вва«еппн сесссп 01 ) 111авЗехр31-( 0<с -оввс -рееепссс ./Вовс.срр <1< вВахрЗ:-З ./в.опо са1сп1всеп: 1.925929995387235853055977992583927е-35, 571: 1.92592995538723585305 59779<2584927а-39 11<авВахрЗ:-3 8 Рис. 3.1: Машинное эпсилон для 1)ЕС А1р1)а Рис.

3.2: Машинное эпсилон для )*)/1пСа1с айаг х, у, я : теа1; Ьев1п 11 х = у тЬеп чат х, у, в : геа1; Ьея1п 11 (х — у) < ерв тпеп е1ве 11 х = я СЬеп е1ве 11 (х — я) < ерв СЬеп а; епс1; 160 Впрочем, это число доступно в Сошрач Рааса! как предопределенная константа ЕРВО1!Л1)КИРЕЕ . В Си эта константа называется 11)В!. 1''РЯ11.0М, в С! -: в(е! л пшпепс 1пп1(э<1опп с1опЫе>перв!!оп(). 11риведенный в программе способ определения корректной ширины вывода рекомендуется применять в 111 задании курсового проекта, динамически конфигурируя таблицу под точность используемого вещественного типа конкретной ЭВМ. Итак, при решении математической задачи, использующем числа типа ВЕЛ!, по различным причинам получаются приближенные результаты.

Иногда числовые данные, с которыми производятся вычисления, неточны, поэтому задача нс ъюжет быть решена точно и возникает ошибка, которая называется неустранимой погрешностью. Кроме того, .при выполнении операций вынужденно производят округления, необходимость которых вызывается представлением чисел с определенной точностью, и возникает ошибка, называемая погрешностью округления. Ногрешность округления возникает и при переводе из одной системы счисления в другую [82~.

Дело в том, что Х представляет собой внешнее значение представителя числа, Х. Имеется еще внутреннее значение. Х, как правило, не совпадающее с внешним: только 0 = О = 0 и 1 = 1 = 1 при любой реализации. Например, конечная десятичная неправильная дробь 2.7 в двоичной системе счисления представляет собой бесконечную периодическую двоичную дробь 10.1011(0011). Без округления этой дроби ее помещение в машинное слово невозможно.

Заметим, что эти проблемы отсутствуют лишь в системах с кратными основаниями: 2 <- 8, 16, 3 Ф~ 9. То есть привычная для человека десятичная система счисления вносит дополнительную неточность при переводе в неизбежную для ЭВМ двоичную систему счисления. С плавающей точкой Х представляется парой (т,, р) и Л = т .

У '" ~, и в качестве значения о обычно берется 2к, где 11 = 1, 2, 3, 4 (и не больше); например в 1ВМ7370 (шаш(гаше) К = 4, а современный стандарт 1ЕЕЕ 754 предполагает двоичное основание порядка, сужая диапазон с целью увеличения точности. Различные машины одному и тому же Х могут ставить в соответствие различные Х. Таким образом, все числа типа КЕА1, даже те, которые совпадакп со своими представителями, мы должны рассма,тривать как приближенные.

Это накладывает определенные ограничения на, программирование: условия = и ф могут не выполняться, так как приближенные значения могут сливаться (у них может бьггь один и тот же п1эсдставитель), и наоборот. И это приводит к трудно обнаруживаемым ошибкам. Особенно опасно сравнение псременных с константами. На практике сравнение вегцсственных чисел на равенство (неравенство) заменяют проверкой принадлежности г-окрестности. чаг х, Ь: геа1; Ьекйп Ь:= (Ь вЂ” а) / 10; айаг х, Ь : геа1; Ьекйп Ь:= (Ь вЂ” а) / 10; х := а; яЬ11е х <> Ь йо х := а; яЫ1е х <= Ь с1о х := х + Ь; епп; х := х + Ь; епс1; с изображения выделенных значений М[ХКЕАЕ и МАХН.ЕА), определяющих диапазон прсдставления, а также 1 и Т; значение Т представляет числа из диапазона переполнения. Заметим, что уже в стандарте 1ЕЕЕ 754 неопределенность(Ма1~, %Н А ХшпЬег) и пе- реполнение (1 / — оо) имеют аппаратную поддержку.