Книга 1. Решения задач из разделов 1-8, страница 7

При равноускоренном движении по второму закону Ньютона: тдяпа— -Р' =пга или япа-Ьщ=та, откуда а=у(лпа-Й); 2 2 аГ 2з а=0,39м/с, Пройденный путь ю= —, откуда г= ~ —; 2 'я а г=22,бс. Скорость з =аг; з =8,8м/с. 2.28. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а = 45' . Пройдя путь з = 36,4 см, тело приобретает скорость ~ = 2 м/с. Найти коэффициент трения й тела о плоскость. Решение: См. рисунок к задаче 2.27. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на ось х: тд арпа — Г = та, или яя'па -а тягла-Кт~соиа =та, откуда — (1). 8соза 55 гг откуда г =- — (2). Пройденный путь о 2 2 2 з (2) з= —,= —, откуда а= — — г',3).

2а 2а 2 з дзгпа-г /2з г в (1) получим /г = у соза Скорость гг= ог, ог' з= —, с учетом 2 Подставив (3) уз ; /г = гда —; /г = 0 2. 2яз соза ' 2дз згпа-гг 2 2.29. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а =45'. Зависимость пройденного пути з от времени г дается уравнением з=Сгг, где С=1,73мlс. Найти коэффициенттрения /г тела о плоскость. Решение: См.

рисунок к задаче 2.27. Ускорение можно найти как ггг'з вторую производную пути по времени. а = — =3,46. По ,гз второму закону Ньютона тузгпа-Г =пга. Поскольку Г = Ьггдсоза, то тдзгпа-Ьщсоза = пга откчда пцзгпа -пга нзгпа-а В > гггдсоза дсоза 2.30. Две гири с массами т, =2кг н и, =1кг соединены нитью и перекинуты через невесомый блок. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением в блоке пренебречь. Решение: Предположим, что нить невесома и нерастяжима.

Выберем элемент нити Ьпг и запишем уравнение движения в проекции на ось у: /зпга = Т вЂ” Т,. Поскольку Лпг = О, то Т = Т„, т.е. сила натяжения нити во всех точках ее одинакова. Ускорения движения грузов тоже одинаковы, т. к. из-за 56 нерастяжимости нити за одно и то же время грузы проходят а,г один путь, т. е. Я, = — ' Т, а„г Я = — "-; Я, =Я,, следова- 2 ' тельно, а, = а,.

Но направление векторов а, и аг У противоположны. Запишем второй закон Ньютона для первой и второй гири в проекциях на ось у: с т,н-Т=та — 11); Вычтем 12) из (1): » гя-Т =-,а — ~2). д(т,-т ) а1т, +гп,) =д(т, -т,), отсюда а= ' ' — 13). т,+т, т,д(т, — т,) Подставим 13) в!1) ' ' - '=тгя-Т, следовательно, т! +т2 ( и -тг~ (пг, +тт-т, +т1 Т = гггги 1- Т=пгга' т, +пг,) т, +пгз 2и, 2угг,пг, Т=пг,я ' = ' ' . Подставляя числовые дани, +ггг,) и, +и, ные, получим: Т = 13 Н; а = 3,27 ыlс'. 2.31. Невесомый блок укреплен на конце стола.

Гири 1 и 2 одинаковой массы пг, = и, =! кг соединены нитью н перекинуты через блок. Коэффициент трения гири 2 о стол 1 = 0,1. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением в блоке пренебречь. Решение: Запишем второй закон Ньютона для обоих тел в проекциях на направление их движения: тд — Т, = т,а — 11); 57 Т, — Е = пгга — (2). Имеем Т, = = Т, = Т (см. задачу 2.30). Сложив (1) и (2), с учетом того, что Г„= Ьпгд, тя получим >п,д — Ьпд = а(>п, + т,), отта куда найдем а = д — (3); т, -Ьп, тг + >7>2 а = 4,4 м/с . Подставим (3) в (1) и выразим Т: т -Ьггг~ Т=тг(д — а); Т=т, д — д 2; Т=т>дх т, +п>2,/ п>1 — Ьп, пг, + >пг — >и, + Ь>12 Т=тгдх П11 + П12 П1! + П12 ,(1+1) р,(1+ ~) х '' '; Т=г~сг.

Полстввив числовые ивит, +тг т, +пгг т,тг(1+ 1с)д ные, получим: Т =Т, = ' ' ' =5,4 Н. пг, +тг 2.32. Невесомый блок укреплен в вершине наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а = 30'. Гири 1 и 2 одинаковой массы т, = тг =1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т. Трением гири о наклонную плоскость и трением в блоке пренебречь.

Решение: Пусть т, = т, = т. Запишем уравнение второго закона Ньютона для первой и второй гири в проекциях на направление их движения с учетом Т, = Т2 — — Т (см. задачу 2.30): с ига — Т = пга — (1); Из (1) Т-п>авила = та — (2). имеем: Т = т(д-а) — 13). Подставив 13) в 12), получим: д(1 — згпа)=2а, откуда а=д(! — зггга)I2. Подставив 3 числовые значения, получим: а =2.45ы/с и Т =7,35 Н.

2.33. Решить предыдушую задачу при условии, что коэффициенттрения гири 2 о наклонную плоскость А =0,1 . Решение: Пусть при данном значении 7г тело скользит. Уравнение второго закона Ньютона для первой гири останется неизменным, а в уравнении для Т второй появится сила трения: Ргггг = Й7Щ СО5 й' 1 т8 ж пгд - Т = ггга — (1); Т вЂ” гггя згпа — Г = та — (2). Выразим из 11) Т: Т=ггги-ггга — 13).

Подставив (3) в (2), найдем а: гля — та — лги(згп а + гссоз а) = та; у(1-згпа-Есоза)=2а; а=8(1-зггга-1гсоза)/2.-Из (3) Т = т(д-а). Подставив числовые значения, получим: а=2,02м!с~; Т=1(98-202)=7,78Н. 2.34. Невесомый блок укреплен в вершине двух наклонных плоскостей, составляюгцих с горизонтом углы а =30' и ,г7 = 45'.

Гири 1 и 2 одинаковой массы и, = и, =1кг соединены нитью и перекинуты через блок. Найти ускорение а, с которым движутся гири, и силу натяжения нити Т . Трением гирь 1 и 2 о наклонные плоскости, а также трением в блоке пренебречь. Решение: Пусть и, = т, = т . Тогда по второму закону Ньютона в проекциях на направления движения гирь имеем; 59 с гидтг~3 — Т = та — (1); Сложив (1) и (2), получим: Т вЂ” нгдяпа = ггга — (2). ~(ли, — зги а) пгд(игг~3-япа)=2та, откуда гг= .

Из (2): 2 гггд(тгп Д - згп а) Т = та+ гггд зггг а; Т= ' +нгдигиа; 2 (ьггг,В+ лггга) Т = гггд . Подставив числовые значения, полу- 2 чим: а = 1,03 ы~с и Т = 5,9 Н. 2.35. Решить предыдущую задачу прн условии, что коэффнцггенты трения гирь! н 2 о наклонные плоскости 3г, = 1гг =О,1. Показать, что нз формул, дающих решение этой задачи, можно получить, как частные случаи, решения задач 2.30 — 2.34. Решение: П усть при данном значении )г гири скользят.

С учетом Т Т Т ~, силы трения уравнение вто- Ф рого закона Ньютона в про- екциях на направление их тК г движения запишется в виде: а нг,дзг'пг — Тг — Г = нг,а, Тг — пггдзгиа — Г = гггга; или < т д Нп,В - Тг — Ьид соя ~3 = нг, а — (1), Так как Т, — гггдагпа — Ьгг,усова =тга — (2). Тг = Т, то сложив (1) и (2) получим: т я м»33 — »ггпу згпа — Згнгдсоз ~3 — Ьп,ясоза = а(тг + гп ); гигВ(згп,З вЂ” Асора)-тг~(згп,В+ Зг со~а) = о(гп, + т,), т~(зги г — эссо~ Я- т (зги а +Зг соя а) откуда а — д нг, +т, Из (2) найдем: Тг = нгза+ ттрн зги а+ Ьгг,босола, подставив 60 в это выражение !3), получим: Тз = ттрн х т,(з/пф-/ссоз,В)-т (з/па+Йсоза) х + тдфпасоза); т> + т> т,(з/п, — /ссоз,В)-(з/па+/ссоза)(тз-т, -т,) Т2 = п11Е > % + тз з/п,В-/гсоз,В+ з/па+ /ссоза ~з = Вт>тз > т1+т> з/и а + з/п,В+ /с(соз а — соз,В) ~2 = $771!т2 > т,+т, т,т (з/па+ з/п3+/г(соза -соз ф) Подставляя т, +тц числовые данные, получим: Т, =Т1 =б Н.

а =0,244 м/с~. 2.36. При подъеме груза массой т =2 кг на высоту 6 =1м сила г совершает работу А=78,5Дж. С каким ускорением а поднимается груз? Решение: По второму закону Ньютона в проекции на направление движения груза имеем та=à — ти, откуда Г =та+~щ. Пс/условию работу А совершает сила Р, следовательно, А=ГЬсозО=Я~=тай+пг8/г — (1), т.е.

работа А идет на увеличение потенциальной энергии груза и на сообщение А-тдЬ ему ускорения. Из уравнения (1) найдем а= Ьп а = 29,4 м/с . 2,37. Самолет поднимается и на высоте Ь = 5 км достигает скорости ~=360км/ч. Во сколько раз работа А,, совершаемая прп подъеме против силы тяжсстн, больше работы А„идущей на увеличение скорости самолета? 61 Решение: Работа А, идет на увеличение потенциальной энергии самолета, а работа А, — на увеличение его кинетической энергии. Тогда при А, =пгф и А, =гггт? /2 получим: А 2пг8"/г 2д/г А, ? > А? лги в А? 2.38. Какую работу А надо совершить, чтобы заставить движущееся тело массой т=2 кг: а) увеличить скорость с г, = 2 м/с до и? = 5 м/с; б) остановиться при начальной скорости г', = 8м/с? Решение: Совершенная работа пойдет па приращение кинетической (? ? гг!г>?? игу! .

!!!1?> г'! энергии: а) А ==- —; А = -; А =21Дж. 2 2 2 б) А, =И"„> -0'„, Т.к. И'„> =О, то А, =-И~„! = — !!!?'? /2; А, = — б4Дж. Знак «-» говорит о том, что работа совершается силой трения. 2.39. Мяч, летящий со скоростью в> =15м/с, отбрасывается ударом ракетки в противоположном направлении со скоростью гг =20 м/с, Найти измгненис импульса !!!юг мяча, если известно, что изменение его кинетической энергии ЛИ' = 8,75 Дж.

Решение: Изменение кинетической энергии мяча: > ? ? ? ггп>, !!!к> л! г:, — г>, ЛН' — —" — — ' — ' ' . Отсюда 2 2 - 2 2ЛИ~ л! =,, — (1). Изменение г — г" ? 1 импульса в проекции на ось х: гггЛг = !гг(г ? — (- г'! )) = ггг(г>? + г'г) . С уче- б2 2ЛИ"1р, + т,) 2ЛВ' том (1): тЛр —, ' „— . Подставив числовые р 2 ! р~ — р з данные, получим: тЛт = 3,5 кгм/с. 2.40.