Книга 1. Решения задач из разделов 1-8, страница 6

По условию /2 +0,05гид; Г=8,2кН. 2.!О. Поезд массой и =500т после прекращения тяги паровоза под действием силы трения Г„= 98 кН останавливается через время г = 1 мин. С какой скоростью ~, шел поезд? Решение /И3/О Г Имеем Р' = — ' (см. задачу 2.8), отсюда т чс =11,75м/с. 2.11. Вагон массой и =20 т движется равнозамедленно, имея начальную скорость ~, = 54км/ч и ускорение а = — 0,3 м/с .

Каг кая сила торможения Г действует на вагон? Через какое время г вагон остановится? Какое расстояние г вагон пройдет до остановки? Решение: По второму закону Ньютона Р = та, нли в проекции на направление движения -гт= — та, откуда сила торможения по абсолютной величине равна Г = 6 кН. Ускорение ~о Уо вагона а= — ~, но г=О, следовательно, а= — — ', откуда г г = — зс / а; г = 50 с. Пройденный путь, с учетом а < О, найдем по формуле з =г/ — а/'/2; з =375 и.

2.12. Тело массой и = 0,5 кг движется прямолинейно, причем зависимость пройденного телом пути з от времени г дается уравнением з = А — В/+С/ — О/', где С =5 м/с и Р =1м/с'. Найти силу г", действующую на тело в конце первой секунды движения. 47 Решение: По второму закону Ньютона г'=ига, где а=с/ з/с/т з с/в з с/я — = — В+2С/-ЗОВ; —,=2С вЂ” 6В/=а отсюда Р'=тх Ж сй2 х (2С вЂ” 6/".1/); Г = 2 Н, 2.13. Под действием силы г" =!0 Н тело движется прямолинейно так, что зависимость пройденного телом пути з от времени г дается уравнением з = А — В/+Сг, где С=1м/с. Найти массу и тела.

Решение: По второму закону Ньютона г = та или Г = та, где й' я сЬ с/ з а = —,. — = — В+2С/; —,=2С, отсюда Е=т 2С, слес/! з ' г// ,/ г довательно, и = г / 2С; и = 5 кг. 2.!4. Тело массой т = 0,5 кг движется так, что зависимость пройденного телом путна от времени / дается уравнением з = Аз/ио /, где А =5см и и =я рал/с. Найти силу Г, действуюшую на тело через время / =(1/6)с после начала движения.

Решение: с/'з По второму закону Ньютона Г = та, где а = —,. Первая Й' гЬ г/зз производная — = Авсозв/; вторая производная о/ г// = — Ав'з/им =а, отсюда Г= — тАв'ппв~; Г=-0,125 Н. 2.15. Молекула массой и = 4,65 10 ' кг, летяшая по нормали к стенке сосуда со скорестью а =600 м/с, ударяется о стенку и упруго отскакивает от нес без потери скорости. Найти импульс силы ЕЛ/, полученный стенкой во время удара. 48 Решение: По закону сохранения импульса РЛг = (т»+ 01 — 1- та+ 0), откуда ГЖ =2тв; ГЛг=5,6 10 ~Н с.

2.16. Молекула массой т =4,65 10 'кг, летящая со скоростью к = 600 м/с, ударяется о стенку сосуда под углом а =60' к нормали и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Найти импульс силы ГЬг, полученный стенкой во время удара. Решение: По второму закону Ньютона ГЙ = =л>Лг. Считая положительным на- правление нормали, внешней к стенке, получим: Ь> = г, сола— -(-», сола); Лг = »з сола+», сола.

Таким образом, получим ГЛ~ = =2ли сола; ГЬ| =2,8 1О 'Нс. 2.17. Шарик массой т=0,1 кг, падая с некоторой высоты, ударяется о наклонную плоскость и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Угол наклона плоскости к горизонту а = 30'. За время удара плоскость получает импульс силы ЕЬ| = 1,73 Н с. Какое время г пройдет от момента удара шарика о плоскость до момента, когда он будет находиться в наивысшей точке траектории? Решение: По закону сохранения импульса ГЛг =тй», где Лг = », сола— -(-гзсола); Л»=сола(», +в„); », =»з =в,отсюда ~Ь=2всола, Тогда гЖ=2тисола — 11). Из рисунка видно, что в, = »лт — — 2а — 8т = ~,2 =тсол2а-ят; г =0 в верхней точке, следовательно, тсол2а = ят, откуда г =тсол2а/д.

Из (2) найдем ГЖ ГЫ сол 2а У= ,тогда г= 2тсола 2л~~ сола 2.18. Струя воды сечением б = б см ударяется о стенку под углом а = 60' к нормали и упруго отскакивает от нее без потери скорости. Найти силу Г, действуюшую на стенку, если известно, что скорость течения воды в струе ~ = 12 м/с. Решение: (См. рис. к задаче 2,16) За время Ьг о стенку ударяется масса воды т=!эр=йЖр — (1), где Я вЂ” поперечное сечение струи, р — плотность воды. По закону сохранения н~Л~ импульса РЛ~ = тЛт, откуда Г = — — (2).

Имеем Ьг Ьм=т,сола-(-т,сола)=солар~, +з ) (см. задачу 2.16). По условию ~, = з, = т, отсюда Л~ = 2~сола — (3). Подставляя (1) и (3) в (2), получим ~ЯЬ!Р 2 сола =2Я,Ррсола; л =86И 2.19. Трамвай, трогаясь с места, движется с ускорением а=0,5м/с'. Через время 1 =12с после начала движения мотор выключается и трамвай движется.

до остановки равнозамедленно. Коэффициент трения на всем пути А =0,01. Найти наибольшую скорость ~ и время г движения трамвая. Каково его ускорение а при его равиозамедленном движении? Какое расстояние л пройдет трамвай за время движения? Решение: Очевидно, что наибольшей скорости трамвай достигнет в момент времени г, = 12 с, его скорость: ~ = аг; т = 0,5 12= 6 и/с. Пройденный путь при равноускоренном 50 а>> движении: а> = ~ ' — (1), а при равнозамедленном 2 1 аз>, яз = »г, -=- — (2). Согласно второму закону Ньютона 2 -Г =К»8 =таз; а, = — =йд; а, =-0,098мlс'. На -й»8 уп втором участке пути: в = — а,>з, отсюда >, = —; г, = 61,2 с.

а Тогда время движения г = г> +гз; > =73,2с. Из уравнения (1) з> =Збм. Из уравнения (2) яз =183,7м. Весь путь з =з>+з,; з =219 7 м. 2.20. На автомобиль массой т=!т во время движения действует сила трения Е„, равная 0,1 действуюшей на него силе тяжести»>я. Какова должна быть сила тяги г", развиваемая мотором автомобиля, чтобы автомобиль двигался: а) равномерно; б) с ускорением а = 2 ль>с? Решение: а) Движение равномерное а = О, следовательно уравнение движения в соответствии со вторым законом Ньютона: Г-Гч, =О, отсюда Г-Р' =0,1»>я; Г =980 Н. б) По второму закону Ньютона: à — Р' = та, отсюда Г = л>а + Р' =и> (а+ 0,18); Г = 2,98 кН.

2.21. Какой угол а с горизонтом составляет поверхность бензина в баке автомобиля, движушегося горизонтально с ускорением а = 2,44 и/с? Решение: В неинерциальных системах отсчета (НИСО) второй закон Ньютона не выполняется. Запишем уравнение движения бензина в баке в НИСО О=пф+Х+Г,, где г, =-та. В проекции на ось х: 0= Из/па-та. В проекции на ось у: 0 = тд — Жсояа, т8 тн ипа отсюда тд=Фсоза; Ф= —; =та, следосояа сна и 2,44 вательно, а = д /8а; а = огс/д —; а = огсз — ' =14'. д 9,8 2,22.

Шар на нити подвешен к потолку трамвайного вагона. Вагон тормозится, н его скорость за время / = 3 с равномерно уменьшается от», =18км/ч до», =6км/ч. На какой угол отклонится при этом нить с шаром? Решение: Рассмотрим положение шара относительно системы отсчета, связанной с 7 потолком вагона. Поскольку вагон движется с ускорением, то система Ы является неинерциальной. Уравнение движения в векторной форме: Т+ ту+ Р'„= 0 — (1), где Р„=-та, тогда уравнение (1) в проекциях на ось х: Тяп>а=та — (2) и на ось у: Тсоза — гщ=Π— (3).

а Разделив (2) на (3), получим /да = —, откуда Ы Л» или, учитывая, что а= —, а=агс/д(Л»/дг). числовые данные, получим а = б'30'. а а = агс/д- Ы Подставляя 52 2.23. Вагон тормозится, и его скорость за время / = 3,3с равномерно уменьшается от ~, =47,5км/ч до», =30км/ч.

Каким должен быть предельный коэффициент трения /~ между чемоданом и полкой, чтобы чемодан при торможении начал скользить по полке? Решение: Решаем задачу в неинерциальной системе отсчета. Уравнение движения О=Г +Р, или в проекции на ось х: О=У, — и~а, где а=(~,— ч )lг; Г =Ьщ.

Тогда ~ ! 2). ! гп1(у в ), в уз йище= ' '; й =='. Подставляя числовые дан- ~Е ные, получим: /с =0,15. Т.е. при /с<0,15 чемодан начнет скользить по полке. 2.24. Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со стола, и начинает скользить тогда, когда длина свешивающийся части составляет 1/4 его длины. Найти коэффициент трения (с каната о стол. Решение: Обозначим силу тяжести, действующую на единицу длины каната, через т,д. Тогда сила тяжести свешивающейся 01(Я части каната равна —. Эта сила тяжести уравно- 4 вешивается силой трения Р~, действующей на ту часть ЗЬп,дl каната, которая лежит на столе: Г = ' . Таким 4 т,яЕ ЗЬл,ф образом, — '= — ', откуда /с =0,33. 4 4 2.25.

На автомобиль массой т =1 т во время движения действует сила трения г , равная 0,1 действующей иа него силы тяжести тд. Найти силу тяги г", развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с постоянной скоростью: а) в гору с уклоном 1 м иа каждые 25 м пути; б) под гору с тем же уклоном. 53 Решение: Ф х Уравнение движения автомобиля в векторной форме та = тих+Я+ Г - й тя +Г +Г; ч=сопзг, следовательно а = О. а) В проекции на ось х: 0= — тдзша-Г +Г, на ось у: й О=И-пщсоза, где з1па = — = У Я = 0,04, соз а = 0,999, откуда Г У=л~~соза.

Г =ЙИ=Ьщх Г ь тя хсоза; Г. = нузта+Ьщсоза; х Г = тд(арпа+ Фсоза) или ! Г=1,37кН. 6) В проекции на ось х: 0 = Г+ тдяпа — Г, на ось у: Ф=тясоза. Г=à — тдзта; Г=Ьпдсоза-тдх хзта; Г = т~(1ссоза — з1па). Г =590Н. 2.26. На автомобиль массой т =1т во время движения действует сила трения Г, равная 0,1 действуюшей на него силе тяжести тд .

Какова должна быть сила тяги Г, развиваемая мотором автомобиля, если автомобиль движется с ускорением а = 1 и/с' в гору с уклоном 1 м иа каждые 25 м пути. Решение: Зададим направление оси х вдоль наклонной плоскости и запишем второй закон Ньютона в проекции на зту ось: Г-тдзта-Г ч) = та — (1), где зт а = Ь /1 — (2), Из уравнения (1) Г =та+пух хлпа+Г или, с учетом уравне- 54 ния (2), сила тяги, развиваемая мотором автомобиля равна Г = т а+ — + 0,18; Г = 2,37 кН. ~д 2.27. Тело лежит на наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол а =4 . При каком предельном коэффициенте трения х тело начнет скользить по наклонной плоскости? С каким ускорением а будет скользить тело по плоскости, если коэффициент трения к =0,03? Какое время г потребуется для прохождения прн этих условиях пути з =100 м? Какую скорость з будет иметь тело в конце пути? Решение: Для покоящегося тела по второму закону Ньютона в проекции на ось х У имеем т8ипа -Р' = О, где 7Р Г„, >Ьпк. Отсюда т8лпа =Ьпд; т8 х 1=лпа; 1<0,07.