Книга 1. Решения задач из разделов 1-8, страница 4

Когда происходит удар мяча о стенку (при подъеме мяча или при его опускании)? На какой высоте /7 мяч ударит о стенку (считая от высоты, с которой брошен мяч)? Найти скорость и мяча в момент удара. Решение: 'е а/иа — — (1) — время подъема Ы до верхней точки (см. задачу 1.38). Когда мяч находится в верхней точке, з, = 12, со~а) /1.

С учетом (1) 270 кпгасояа те з/и2а 2 2 Я х д 2д 100 1 з, = = 5,1м, следовательно, мяч ударяется в стену 2 9,8 при подъеме. Мяч ударится о стенку, когда координата Зт =/2=127р ЗИ1а) 1- — — (2). В ЭтОт МОМЕНТ ВРЕМЕНИ 7 з, =1=(т,сола) /, откуда /= — (3). Подставив 2рсоза 2'еяиа 1 д1 (3) в (2), получим /2— т,сола 2ч,~сок а К1 =1 /да —,, После подстановки числовых значе- 2тез сод а ний /2 = 2,1 м.

Горизонтальная составляющая скорости г„= 2, соз а; ю„= 7,07 м/с. Вертикальная составляющая скоРости зт =те Яиа — 8т = 2~„Яиа —; вя =2,91м/с. д1 2осоза По а с«орость =,Яь; = /7,27'ь2,71 =7.бо7с. 1.41. Найти угловую скоростьв: а) суточного вращения Земли; б) часовой стрелки на часах; в) минутной стрелки на часах; г) искусственного спутника Земли, движущегося по круговой орбите с периодом вращения Т=88мин.

Какова линейная скорость и движения этого искусственного спутника, если известно, что его орбита расположена на расстоянии Ь = 200 км от поверхности Земли? Решение 2т Угловая скорость в = —, где Т вЂ” период обращения. Т а) Т =24 ч = 86,4 10 с; в = 72,7 10 рад/с; б) Т=12ч =43,2 10'с; в=145,4 10 брадlс; в) Т = 1 ч =3600 с; в = 1,74 10 рад/с; г) Т=88мин=5280с; в=1,19 10 'рад/с. Линейная скорость спутника ч =1вА~, в скалярном виде ~=вАяп90' =вА, где А=А, +Ь.

Здесь Аз — радиус Земли. Тогда ~=в(А, +Ь); в=7,83 км/с. 1.42. Найти линейную скорость ~ вращения точек земной поверхности на широте Ленинграда (у = 60'). Решение: 2к Линейная скорость т = в > (см. задачу 1.41), где в = —. Т Период вращения Земли Т =24 ч=86400с; г = Асолр, где 2жА соя р А — радиус Земли. Отсюда м = Т 2 3,14 6,38 10 0,5 в= 86400 1.43. С какой линейной скоростью должен двигаться самолет на экваторе с востока на запад, чтобы пассажирам этого самолета Солнце казалось неподвижным? 30 Решение: Очевидно, что самолет должен двигаться со скоростью, 2ю равной линейной скорости вращения Земли ~=еэА= — Я; Т где Т = 24ч — период вращения Земли; Я = 6378 км — радиус Земли. Отсюда ~ = 1669 км/ч. 1.44.

Ось с двумя дискамн, расположенными на расстоянии / =0,5 м друг от друга, врашается с частотой л =1600об/мин. Пуля, летящая вдоль оси, пробивает оба диска; при этом отверстие от пули во втором диске смещено относительно отверстия в первом диске на угол у=12'. Найти скорость ~ пули.

Решение: Уравнение вращательного движения 2 ,й- 0 (д = (д + еэ /+ — . Выберем до = О . 2 о =,,гр о Из условия следует, что движение осуществляется с постоянной угловой скоростью в = 2лп, следовательно, угловое ускорение равно О, т.е. смещение у=в /, откуда /= — — (1); (д О / в = и 2к — (2). Скорость пули м = — — (3), Подставив (2) ! 2лп в (1), а затем (1) в (3) получим: ~= . Произведя оо вычисления, найдсм скорость пули т = 419 м/с.

1.45, Найти радиус Я вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость ~, точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости к, точки, лсжашей на расстоянии г = 5 см ближе к оси колеса. 31 Решение: Вектор й перпендикулярен плоскости чертежа, следовательно, в скалярном виде ~ =го г; г, =еэ Л; 1>з =в (Л вЂ” г). 1, й) Л Л Отсюда — ' = = 2,5; — = 2,5,' го (Л->) Л-г ! 1,5 Л =12.5; Л = 3,3 см. 1.46. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости в = 20 рад/с через Ф =!Ооб после начала вращения. Найти угловое ускорение с колеса. Решение: Е./ Уравнения движения колеса: гав=в /+ —, в =гоо+с г.

2 ага По условию в, =О. Тогда д= — — (1), в=с/ — (2). 2 Выражая из уравнения (1) с и учитывая, что гр=2тУ, 4~гУ оэ получим и = —, — (3). Из уравнения (2) найдем г = — и /з Е подставим в (3). Получим с= —; с=3,2рад/с. По- И 2 4п/У скольку с > О, то направление вектора с совпадает с направлением вектора й (см.

рисунок к задаче 1.45). 1.47. Колесо, вращаясь равноускоренио, через время г =1мин после начала вращения приобретает частоту и = 720 об/мин. Найти угловое ускорение с колеса н число оборотов У колеса за это время. Решение: Угловая скорость колеса в(г) = оо + с/. В скалярном виде при вр — -0 получим в=а, кроме того, в =и 2~т. Отсюда с = в/г = п.2гг!г; с =1,25 рад/с-. 32 Решение: Переведем числовые данные в единицы системы СИ: г =1 мин= 60с; и, =300 об/мин= 5 об/с; и, =180 об/мин= = 3 об/с. Поскольку вращение равнозамедленное, то + ггг Ф= — /=240, Угловая скорость ог =ог -ат — (1), 2 где ог„=п, 2л; ог=п, 2л. Из(1) имеем а =ог, — ог, откуог, -ог 2л(п, -и,) 2 3,14(5-3) 60 1.49. Вентилятор вращается с частотой и = 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки Ф = 75 об.

Какое время г прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки? Решение: п=900об/мин=15об/с. Запишем уравнения движения в И скалЯРном виде: 9г = ве/ — — — (1); ог = ого — вг — (2), где р=2ггУ вЂ” (3); о=О; ог, =2лп — (4). Тогда из (2) ого 2гпг г = — = — — (5). Перепишем уравнение (1) с учетом (3), Е Е (2лп) л(2лп) (2лп) а' 2к~ 28 2лп лп Ф = — = —; отсюда к = —.

Подставив это уравне2в л Ф 2лп Ф 2М 2 75 ние в (5), получим: г =, = —; г = — =10 с. лп' и 15 (4) и (5) 33 г — зм8 1.48. Колесо, вращаясь равнозамедленно, за время г =1мин уменьшило свою частоту с п, =300об/мин до и, =180об/мин. Найти угловое ускорение е колеса и число оборотов Ф колеса за это время. !.50.

Вал вращается с частотой и =180об/мин, С некоторого момента вал начинает вращаться равиозамедленно с угловым ускорением к =3 рад/с'. Через какое время г вал остановится? Найти число оборотов Ф вала до остановки. Решение: и = 180 об/мин= Зоб/с. Поскольку вращение равнозамедн ленное, то число оборотов вала до остановки Ф = — 1. Уг- 2 ловая скорость в = ве — ат . По условию в = О, следовательно, яе = ег, кроме того, в, = и2/г, тогда п.2т ет = и.

2/г, откуда г = = 6,28 с. Ф = 9,4 об/с. ь 1.51. Точка движется по окружности радиусом Я=20см с постоянным тангенциальным ускорением а, =5см/с~. Через какое время Г после начала движения нормальное ускорение а„ точки будет: а) равно тангенциальному; б) вдвое больше тангенциального? Решение: По условию вращение. является-равноускоренным, следак У У к вательно, а, =-, а„= —; отсюда /= —, з = ~а„Я. Тогда а,. з/а„й ПГ Г20 —. а) Если а„=а,, то г= — = ~ — =2с; б) если а, ~2Я ~220 а„=2а„то г= — =~ — =2.8с.

'1' а, 1.52. Точка движется по окружности радиусом Я =1Осм с постоянным тангенциальным ускорением а . Найти тангенци- 34 где в, = т /А — (б). Подставив в (5) уравнения (4) и (б), получим: л =, . Тогда из уравнения (1) 4лУЯ ~~г'Я О,1' 20' 0,1 1б~г~Ф~Я~ ' 1б 314 5~01з 1.54. В первом приближении можно считать, что электрон в атоме водорода движется по круговой орбите с линейной скоростью т. Найти угловую скорость в вращения электрона вокруг ядра и его нормальное ускорение а„. Считать радиус орбиты г = 0,5 10 "м и линейную скорость электрона на этой орбите ч=2,2 10'м/с.

Решение: 4,84.10" а = —; а,= ' 9,7 10~~. 0,5 10 '~ = 4,4 1 0'6 рад/с. 2,2.106 в= —; в= 0 5 10-~о 1.55. Колесо радиусом Я = 10 см вращается с угловым ускорением г =3,14 рад/с . Найти для точек на ободе колеса к концу первой секунды после начала движения. "а) угловую скорость в; б) линейную скорость к; в) тангенциальное ускорение а,; г) нормальное ускорение а„; д) полное ускорение а; е) угол а, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса. Решение: а) При равнопеременном вращательном движении угловая скорость в =вс+а.

По условию в, =О, тогда в = г~, при г = 1 с угловая скорость в = 3.14 рад/с. 36 б) Линейная скорость в = вЯ, при г = 1 с имеем ~у = 0,314 м/с. в) Тангенциальное ускорение а, =И постоянно во все время движения; при г =1с имеем а, =0,314 м/с'. г) Нормальное ускорение ам =а)~Я=е~г'А, при /=1с имеем ан =0,986 м/с . Л) ПОЛ ОЕУаеарЕНЛ гл.~а,'1 ЛЛ =аа!аеа'; Лрл 1=1а имеем а =1,03 м/с . а, 1 е)мла= — '=, гле а — угол мемлу ором 1'..л Г о ного уалоремм ренлуео юлеае. К анну пер ол а, 0,314 секунды лу)а = — '= ' =0305 и а =17'4б'.