Книга 1. Решения задач из разделов 1-8, страница 3

Отсюда Г=7м/с. Среднее ускорение а =/Зо!/51. Поскольку з =з'= — В+ +2СГ,то 1', =1, ~з =13, отсюда а =4м/с'. 50 40 30 20 10 -10 1.24, Зависимость пройденного телом пути з от времени ~ дается уравнением з=А+Вг+Сс', где А=Зм, В=2м/с и С =1м/с'. Найти среднюю скорость 7~ и среднее ускорение а тела за первую, вторую и третью секунды его движения. Решение: Лю Средняя скорость Р= —. Пусть го =О; / =1с; /з =2с; Лг гз =Зс.

Тогда Лз, =з, -ло =~3+2/, +/~') — (3+2/ +гоз); А~, 2/~ +/~ 2 Лз, = 2/, + г,; з, = — ' = = 3 и/с. Далее, Лзз = зз - а, ", М /~ /о Ьхз = (3+ 2/з + 1 )- (3+ 2/, + 1, ) = 2(гз — /~ ) + гз - /1; 1 ~ — — — ~ Л/з 17 (/5 ПосколькУ ю = — = В+2С(, то зс — — В+ 2С(с = 2 м/с; Й зв =В+2С1, =2м/с; кз =В+2С(, =бм/с; зз =Зм(с.

Тогда аз = - '' =2м/с; (г ~з аз = — ' з а ! 1 — 1 о а, =2м/с. м/с; 1.25. Зависимость пройденного телом пути з от времени ( лается уравнением з= А+В(+С('+Р(', где С=014м/с и Р = 0,01м/с'. Через какое время ( тело будет иметь ускорение а =! и/сз? Найти среднее ускорение а тела за этот промежуток времени. Решенно: (Ж а'~Я Мгновенная скорость и= —. Ускорение и= —,.

Имеем Й а(( Ж 2, — =з =В+2С(+301'; —,=2С+60(. Таким образом Ф1 (/( а = 2С+ 6.0(, откуда 1 = а — 2С/60; 1=12 с. Среднее ускорение а =Аз /(з(. Поскольку т = В+2С(+30(, то можно найти Лт=з, — зс; Л( =(, — (с, где 1, =12с, (о =О. з, =В+2С(, +30(,'; з, =В+2С(, +3.01;, отсюда Лк=2Сх х1() — (с)+ 301(~ — 1ц~ ); а а =2С+ 1 — 1 о + ЗР!(, — (,); (7 = 0,64 м/с . 18 21(з — 1,)+(; -1; 1 21(з -1,)+1,- -(; 'з = (з = 5 м/с. Аналогично для рз = —; (1лз . (~(з Лз =7м/с. Среднее ускорение а = —. /з( 1.29. Камень, брошенный горизонтально, через время / = 0,5 с после начала движения имел скорость я, в 1,5 раза большую скорости у„в момент бросания.

С какой скоростью я, был брошен камень? Решение: Скорость камня т можно разложить на вертикальную т, и гори- У х зонтальную 2„ составляющие. По абсолютной величине и= (~„+з~,. — (1), где 2г =дг. По Гз з и - 2 Условию 2 =1,52ш, тогда из УРа- У внения (1): 22 = р2 -221 = =,/Р,5~,) — (ре) — (25. Решая ураеме ае (25, мараем: т„ра 2,25 г~ -(дг)2; 1,25т~ = (у/); 252 = —; 2„= 4,47м/с. з/1,25 1.30. Камень брошен горизонтально со скоростью 2„=15 м/с. Найти нормальное ам и тангенциальное а, ускорения камня через время / = 1 с после начала движения.

Решение: Полное ускорение камня а=я; а = и„+ а, . Полная скорость 2 = 22 у + ~, Из РисУнка видно,- ! 2 2 что соя а = т„ / и = им / д; я|на =2,,/т; япа =а,/д. Тогда им =8,2м/с, и, =5,4м/с2. 21 1.31. Камень брошен горизонтально со скоростью ~„= 10 м/с. Найти радиус кривизны /? траектории камня через время / =3 с после начала движения. Решение: Нормальное ускорение камня з т ая = — — (1); из рисунка видно, что а„= яапа — (2). Из уравне- 3 7 ния (1) А= —, где ~= г2+~~. а„ У Кроме того, ьта = 2 2 г +к„ г =~/. Сделав соответствующие подстановки, получим А— 1тЫ гхоз Я =305 м.

1.32. Мяч брошен со скоростью ~, =10 м/с под углом а =40' к горизонту. На какую высоту Ь поднимется мяч? На каком расстоянии / от места бросания он упадет на землю? Какое время г он будет в движении? Решение: Перемещение мяча по вертикали Я,. =~~еипа) /в — у1' /2 — (1), Вертикаль- ная составляющая скорости з =з з/па — дг — (2), У Перемещение мяча по горизонтали Я, = (~ сох а)г — (3). В момент времени 22 г=/, имеем Я =Ь, з~ =О, следовательно, из(2) получим ~езгпа=дг, — (4), из (1): Ь=(з„з/па) г,-дг~/2 — (5).

г, з(па Выразив из (4) г, и подставив в (5), получим: г, = Ы 1 ° 2 2 ° з 2 ° з з'е зт а дз'е з)п а з'е — Йп а Ьм2м. В момент я 2Ы' 28 2ъа зта времени /=21, имеем Я, =1. Тогда г= — (6)— Ы полное время полета мяча; гм1,3с. Из уравнения (3) 1=(г сола) Г; 1-»10м. Решение: Воспользуемся формулой (6), полученной в предыду2за л/па щей задаче: я з Перемещение ядра по горизонтали л, =1=(г сола) 1.

Подставив выражение для 2з созал/па за з?п2а 2 2 получим: з„— К К Тогда г~е л/п2а з~а з/п2а 1, =; 1, = . Отсюда отношение й Ыз 1,д, 16,2.9,819 или 1, = — '' = ' ' =16,23м. 9,801 1, т 1, 8~ 23 1.33. На спортивных состязаниях в Ленинграде спортсмен толкнул ядро на расстояние 1, =16,2м. На какое расстояние 1, полетит такое же ядро в Ташкенте при той же начальной скорости и при том же угле наклона ее к горизонту? Ускорение свободного падения в Ленинграде я, =9,819м/с, в Ташкенте я, =9„801м/с'.

1.34. Тело брошено со скоростью г, под углом к горизонту. Время полета г = 2,2 с. На какую высоту /г поднимется тело? Решение: Перемещение по вертикали Я,. =(Уо игга).г — — — (1). 8'г 2 г Обозначим г, — время подъема тела па высоту /г. Тогда из (1) получим У, 2 1г = ч тпа 1 — —. В верх- Ф~ о. ней точке гя =О, но г, =гоигга-81,, следовательно, 1о ь?па = дг,.

Тогда 1г=дг,' — — = —. Поскольку 1, = —, 2 8т! Я~! 2 2 2 дг 9,8 2,2' то 1г= —; 1г= ' ' =5,9м. 8 8 1.35. Камень, брошенный со скоростью го =12 м/с под углом а =45 к горизонту, упал на землю на расстоянии 1 от места бросания. С какой высоты /г надо бросить камень в горизонтальном направлении, чтобы при той же начальной скорости то он упал на то же место? Решение: Если камень брошен под углом к горизонту, 1=госта/, — (1), где 2го д)па е, = (см. задачу К 1.32.).

Во втором случае 1=тв1,. Подставив выражение для г, в 1'1), получим 1„ы12а ,2 % я1н2а 1п ан12а откуда — Высота, с Ы 80 а дт,' дз'сз з1н' 2Ь которой нужно бросить камень, Ь = — ~ = 2 2д~ мв зи 2а 144.1 2д 2.98 1.Зб. Тело брошено со скоростью т, =14,7м/с под углом а = 30' к горизонту. Найти нормальное а„и тангенциальное а, ускорения тела через время ( = 1,25 с после начала движения. Решение: Найдем время, за которое тело поднимется до верхней точки траектории. Вертикальная составляющая скорости ~т =1 зиа — у,. В верхней точке зт = О, следо- вательно, тв тп а = ®, отку- т, яиа да ~ = '; г, =0,75с,т.е. Я а=й при г =1,25 с тело находится уже на спуске; таким образом можно представить, что тело бросили горизонтально со скоростью ч,.

=~,сова, и нужно найти а„и а, через время (, =1-(, = 0,5 с. Изобразим треугольник ускорений и совместим его с треугольником скоростей. Тангенциальное ускорение а, направлено по касательной, так же, как вектор т, а„.1 а, полное ускорение — ускорение свободного падения. Из рисунка видно, что у,. а, созу=ч,/~=а„/д; плие= — "= — '; отсюда а„=д — "; е К У 25 7 а„= д —. У У ~~~х + в /2 з Полная скорость тела ~, СО5а тогда а„= я получим а„=9,15м/с', а, =3,52 м/с'.

1.37. Тело брошено со скоростью ~, =10м/с под углом а =45' к горизонту. Найти радиус кривизны А траектории тела через время ( = 1 с после начала движения. Решение: ~в зта вательно, ~вита =я/,, откуда г, = ; г, = 0,7 с, т.е. Ы при / =1с тело находится уже на спуске, таким образом можно представить, что тело бросили горизонтально со скоростью ~„= ге соя а .

Нормальное ускорение тела 2 а„= —, где в= ~г, +в . Из рисунка видно, что У Г2 1 ~'х а„=д " и 2 2 Ъ'„+ 7„у а„= яз/пр; отдельно ю, и "( Я вЂ”вЂ” ав 26 Подставив числовые значения, Найдем время, за которое тело поднимется до верхней точки траектории. Вертикальная составляющая его скорости гл — — ~в ила — д1, . В верхней точке траектории в = О, следо- з/лги= -"- †.

Тогда ~~т +~у 2 2 +в 7„+7 2 Вы~~сл~м 1х0 т, =тесоза=5~Г2м/с; т =д~т-т,)=Зм/с. Подставив чис- ловые значения, получим Ямб,З м. 1.38. Тело брошено со скоростью г, под углом а к горизонту. Найти скорость г, и угол а, если известно, что высота подъема тела /г=3 м и радиус кривизны траектории тела в верхней точке траектории А = 3 м.

Решение: Уравнения движения тела по вертикали т =.те япа — дт; з =(тез/ла) т- —. В верх- У 2 ней точке траектории з =О, т т — — где л А тела в верхней точке траектории а„= д то соз а Я= А т„= з е соз а . Тогда откуда ге = 1, = — — (2). Подставив (2) в (1), получим: „/~л соя а со5 а дЯьйга, Я 12/г /г = —, =/д а —, откуда /да = ~ —; /г а =,/2; соя а.2д 2 ' 1я' а ж 60'30'.

Из уравнения (2) т, = 9,35 м/с. 1,39. С башни высотой /г, =25 м брошен камень со скоро- стью г, =15м/с под углом а =30 к горизонту. Какое время г 27 уО авиа следовательно, те зт а = дтг, отсюда гг = ' . Высота К зглт а' подъема Ь = з„= — (1). Нормальное ускорение 2я Решение: Движение тела, брошенного с высоты Ьо под углом а к горизонту можно разложить на два этапа: движение тела х до наивысшей точки А и 0 движение тела, брошенного из точки А горизонтально со "У скоростью ч„= во соз а, Выо з/п~ а сотаподъематела з =АС=Ьо+Ь=Ьо+ .Общее 28 (во зта) время движения камня г =г, +г„где Г время подъема камня на высоту Ь и /з = 2зх — — время Ы падения камня. Подставляя данные задачи, получим зг =27,9м, г, =0,77с, /з =2,39с; отсюда /=3,1бс.

Расстояние от основания башни до места падения камня на ОЕ чо зт2а землю ! =О/7=ОС+СО, где ОС= — = в =10м, г 28 СО =в„/, =вот,соза =31,1м; отсюда /=41,!м. Скорость ~„' + к,',, где 1, = во соз а = 13 м/с, в, = 8тз = 23,4 м/с; отсюда м =26,7 м/с. Угол гз, составляемый траекторией камня с горизонтом в точке падения камня на землю, в~ найдется из формулы в =~,.фр, откуда /яго = —.=1,8 и го = 61'. 28 камень будет в движении? На каком расстоянии / от основания башни он упадет на землю? С какой скоростью в он упадет на землю? Какой угол д составит траектория камня с горизонтом в точке его падения на землю? 1,40. Мяч, брошенньп! со скоростью т, =10м/с под углом а = 45' к горизонту, ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии 1 = 3 м от места бросания.