Книга 1. Решения задач из разделов 1-8, страница 2

П„и = О+ т . Таким образом, при г = О скорость камня равна скорости аэростата. В первый момент времени камень, имея начальную скорость и, полетит вверх и за время поднимется на высоту Ь = — — (1) (см задачу 1.8). Ю) 2 Остановившись в верхней точке, он полетит вниз и за время г, преодолеет расстояние Ь+Ь = — ' — (2). Общее со~2 2 время г =()+Еэ — (3). При движении вверх скорость )) т = яг), откуда г) = — — (4). Подставив (4) Ы 5 ))" Ь) = — . Преобразуем уравнение (2): (2д) в (1), получим )) яг~э Ь+ — = ='. 2д 2 2ф)+) Отооаа С,= — 55).

Пода а 54) и )5) )3) Я ) + 28/)+) получим ! = ; ~ = 8.4 с. 1.1О. С аэростата, находяшегося иа высоте Ь=ЗООм, упал камень. Через какое время ! камень достигнет земли, если: а)аэростат поднимается со скоростью )4=5ы~с; б) аэростат опускается со скоростью )с = 5 м/с; в) аэростат неподвижен? Уравнение движения камня: Ь=ч+ — или — +и-Ь=О. яЕ 2 2 Решим квадратное уравнение относительно Е: .0 =1 ~ +2дЬ; Е= -з+ ~~+2дЬ /д. Величина должна быть положительна, следовательно: Е и 7,3 с. в) Уравнение движения камня: Ь = — , иЕ 2 откуда Е =,~2Ь / д, Е в 7,8 с. 1.11. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью ~, =9,8м/с.

Построить график зависимости высоты Ь и скорости а от времени е лля интервала 0</ <2с через 0,2с. Решение: Зависимость скорости и высоты от времени выражается следующими формулами: ~ = з'е — дЕ; Ь=тег- —. Для задан- 2 ного интервала составим таблицу и построим график. 15 10 -5 -10 -15 1,8 1,4 1,б 1,2 О,б 0,8 0,2 0,4 -7,8 -9,8 К м/с -5,9 -2,0 -3,9 9,8 3,9 2,0 7,8 5,9 3,1 1,8 4,7 4,1 Н,м 4,1 4,7 1,8 3,1 1О 1.12.

Тело падает с высоты Ь = 19,6м с начальной скоростью ~, = 0 . Какой путь пройдет тело за первую и последнюю 0,1с своего движения? Решение: За первую 0,1 с движения тело пройдет путь Ь, = ф, /2; Ь, =0,049 м. Весь путь Ь = 81'/2 тело пройдет за время 12Ь 12 199,,66 — =2с. 1~ я '1' 9,8 За последнюю 0,1 с движения тело пройдет путь Ь, =Ь-Ь„где Ь, — путь, пройденный "' 411 телом за время г =1-0,1. Так как Ь =— дг2з ь 2 2 9,8(2-3,1) 2 1.13. Тело падает с высоты Ь =19,6 м с начальной скоростью ~, = О.

За какое время тело пройдет первый и последний 1 м своего пути? Решение: Первый 1 м пути тело пройдет за время =Г г= 2Ь, — где Ь, =1м, таким образом 8 21 — = 0,45 с. Общее время падения Ь 9,8 2Ь 12 19,6 — — = 2 с. Последний 1 м своего пути тело 1 9,8 пройдет за время 1, =1-~2, где гз — время прохождения 11 12/гз 2 Ь-/г пу Ь, =/ -Ь,, а Ь, =! . Т.. 1з =.,1=', 1, = 3' 2Ь вЂ” Ь, то время 1з =1 — '; 1, = 0,05 с. Я 1,14. Свободно падающее тело в последнюю секунду движения проходит половину всего пути. С какой высоты Ь падает тело и каково время 1 его падения? Решение: Обозначим половину пути за Я, тогда 1! Ь = 2Я вЂ” (1). Уравнение движения тела: 5 ! Ь = д1' l 2 — (2).

Вторая половина пути Ь Я=Из+=, где гг=д1-1з); 1г=1с. Тогда И2 Я = д1,(1 — 1,)+ я1, /2 или, с учетом (1), Ь = 28т,(1-11)+81,' — (3). Приравняем (2) и (3): 2 — = 2ф,(1 — 11)+81г. Умножив оое части уравнения на ф 2 2, разделив на д и раскрыв скобки, получим: з 2 2 1 =41,1 — 41, +21,. Для удобства вычислений подставим значение 1,: 11 — 41+2=0.

Решим квадратное уравнение. 4+ БАГЗ /Э = 8; 1 = ; значение 1 = 0,6 — не соответствует 2 условию задачи, тогда 1=3,4с; /1 =5.3,4 =57 м. !.15. Тело 1 орошено вертикально вверх с начальной скоростью г „тело 2 падает с высоты Ь без начальной скорости. Найти зависимость расстояния / между телами 1 н 2 от времени 1, если известно, что тела начали двигаться одновременно. 12 Решение: Пусть тела 1 и 2 одинаковы, тогда время движения тела 1 до верхней точки подъема равно ' 4 времени падения тела 2.

Путь, пройденный телом 1: Ь, = ~о/-8/ /2 — (1); путь, пройден- Ь ный телом 2: 1г, =8т /2 — (2). Расстояние между телами / = Ь-(Ь, +Ь,). Сложив (1) и (2), .-;~4~~;„.~ получим Ь) + Ь2 = 70/, тогда / = /7 — уО/ 1.16. Расстояние между двумя станциямн метрополитена /=1,5км. Первую половину этого расстояния поезд проходит равноускоренно, вторую — равнозамедленно с тем же по модулю ускорением. Максимальная скорость поезда ~ = ЯЬм/ч.

Найти ускорение а и время / движения поезда между станциями. Решение: //2=а/, /2 — при равноускоренном движении поезда. ! /2 = из - аг, /2 — при его равнозамедленном движении. 2 Общее время движения г =/, +гз. Максимальная скорость ~ = аг, = аг„следовательно /, = г, . Весь путь й1, п/2 1 / = — '+ в/, — — '. Отсюда /, = —; ~ = 50км/ч =13,9м/с; У /, =108с=!8мин; /=36 мин. а= —; а=013 м/с .

/~ Для решения данной задачи можно также воспользоваться графическим методом. Построим график зависимости скорости поезда от времени. Путь равен площади под кривой или сумме площадей треугольников ОА/, и /,А/. Таким образом 13 1 1 21 1=-з„, „(г, +(,); 1= — з„, „(. Откуда (= — вЗ,бмин; ~ они ~ а~ат 2 а =(рх = — "'"' -» 0,13м/с-. (/2 1 1?. Поезд движется со скоростью ~, = 36 км(ч. Если выключить ток, то поезд, двигаясь равнозамедленно, остановится через время (=20с. Каково ускорение а поезда? На каком расстоянии з до остановки надо выключить ток? Решение: Уравнение пути в проекции на направление движения: к = ч,( — агз /2.

Уравнение скорости: ~ = з, — а( . Т.к. н = О, то а=~с/г; зо =Збкм/ч=10м/с; а=-05м/с~; з=100м. 1.18. Поезд, двигаясь равнозамедленно, в течение времени ( =1 мин уменьшает свою скорость от ~, = 40 км/ч до ~, = 28 км(ч. Найти ускорение а поезда и расстояние з, пройденное им за время торможения. Решение: Уравнение скорости: к, = ч, — аг, откуда ускорение У! — У~ 3 аг з а= ~ =0,055м/с. Путь а=к(- —; з=5б?м. 2 1.19.

Поезд движется равнозамедленно, имея начальную скорость ~, =54км(ч и ускорение а=-0,5м(с. Через какое 2 время г и на каком расстоянии з от начала торможения поезд остановится? Решение Уравнение скорости при равнозамедленном движении: ч = ~е — а( — (1). Поскольку по условию ускорение уже дано со знаком «-», то из уравнения (1), с учетом в =О, 14 Уо имеем уо =а(, отсюда (= — о, где у, =54 км/ч=15м~с. а Подставляя числовые данные, получим (=ЗОс.

Путь, с учетом а < О, найдем по формуле Я = уо( — а(~ /2; 5=225 м. Решение: ДлЯ пеРвого тела У = У,о + а,(. (! Для второго тела у=у, -а,(. 2) Следовательно уи уи а, узо у(о . у,о+а,(=узо-а2(,откуда (= -; у >ую,т.к. (>О. а!+аз 1.21. Тело 1 движется равноускоренно, имея начальную скорость у„=2м(с и ускорение а. Через время (=10с после начала движения тела 1 из этой же точки начинает двигаться равноускоренно тело 2, имея начальную скорость у„=12 м(с и то же ускорение а. Найти ускорение а, при котором тело 2 сможет догнать тело 1. Решение: Пусть ( — время от начала движения первого тела до встречи, (, — время, в тече- ние которого двигалось только тсло 1 ((( = 10 с), (з время от начала движения 1.20. Тело 1 движется равноускоренно, имея начальную скорость у„и ускорение а,.

Одновременно с телом 1 начинает двигаться равнозамедленно тело 2, имея начальную скорость у., и ускорение а,. Через какое время ( после начала движения оба тела будут иметь одинаковую скорость? второго тела до встречи; / =1, +/,. Путь, который тела з пройдут до встречи: Я = ~„/+ а/ /2 — (1); Я =- т, /з + а/,' /2 — (2). Приравняем правые части (1) и (2). 2 в„+ а(/, +/з) = чае+а/з, отсюда а =(~,в -~ц)/г,; а =1м/с . 1.22. Зависимость пройденного телом пути з от времени / дастся уравнением а= А/ — В/з+С/', где А=2м/с, В=Зл1/с и С = 4м/с". Найти: а) зависимость скорости я и ускорения а от времени /; б) расстояниез, пройденное телом, скорость ~ и ускорение а тела через время /=2с после начала движения.

Построить график зависимости пути з, скорости в и ускорения а от времени / для интервала 0 < / < 3 с через 0,5с. Решение: а) Скорость тела « =05/й; з =А — 2Вг+ЗС/з; в=2-б/+ +12/ м/с. Ускорение тела а=сЬ/й=-2В+бС/; а=-б+ +24/ м/с . б) Расстояние, пройденное телом, я = 2/-3/ +4/'. Тогда через время / = 2 с имеем я = 24 и; т = 38 м/с; а = 42 м/с . 100 80 60 40 20 -20 1.23.

Зависимость пройденного телом пути з от времени / дается уравнением 5 = А — В/+ С/-, где а = 6 ли В =Зм/с и С = 2м/с . Найти среднюю скорость ~ и среднее ускорение а !б тела для интервала времени 1 < г < 4 с. Построить график зависимости путиз, скорости и и ускорения а от времени 1 для интервала 0< ~ < 5 с через 1с. Решение: Средняя скорость тела определяется соотношением Ат р = †. По условию з = А — В/+ Сг, тогда при г, =1 с име- Л/ ем з, =5; при /, =4с имеем зз =26.