Книга 1. Решения задач из разделов 1-8, страница 10

Полученный результат от массы 0,4 не зависит. Пусть масса всей гранаты т=1у,е., масса большего осколка и, =О,бу.с., масса меньшего осколка т, = 0,4 у.е. Тогда вектор импульса: всей гранаты тт=10у.сб большего осколка — т,и, =15у,е.; меньшего осколка — пг,и, = 5у.е. Направление векторов показано на рисунке. 2.66.

Тело массой т, =1кг, движущееся горизонтально со скоростью ~, =1м/с, догоняет второе тело массой т, =0,5 кг и неупруго соударяется с ним. Какую скорость и получат тела, если: а) второе тело стояло неподвижно; б) второе тело двигалось со скоростью ~, = 0,5 м/с в направлении, что и первое тело; в) второе тело двигалось со скоростью ~, =0,5м/с в направлении, противоположном направлению движения первого тела.

Решение: В каждом случае запишем закон сохранения импульса и тз, выразим скорость и. а) тр, =(т, +т,) и; и = т,+т, тр, +тр, и= и = 0,67 м/с. б) тр~ + вгртк = (т, + т,). и; т, +тз и=0,87м/с. в) тр, — тззз =(т, +т,) и; и =0,5 м/с. т, +т1 Решение: Движение 'конькобежца является равнозамедленным, пройденный им путь л =с/2а — (1). По закону сохранения импульса Мюе = тв, откуда з'е = пп / М вЂ” (2).

Ускорение а можно найти по второму закону Ньютона: Р' =та. Т.к. Г =/глщ,то Ьщ =та; а=/гд — (3). Подставив(2) и з 2 тч (3) в(1), получим я=,; я =0,3м. гм-'/8 ' 80 2.67. Конькобежец массой М = 70 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой т = 3 кг со скоростью к = 8м/с. На какое расстояние г откатится при этом конькобежец, если коэффициент трения коньков о лед А = 0,022 2.68. Человек, стоящий на неподвижной тележке, бросает в горизонтальном направлении камень массой и = 2 кг. Тележка с человеком покатилась назад, и в первый момент бросания ее скорость была г = О,1 м/с.

Масса тележки с человеком М =100 кг. Найти кинетическую энергию И"„брошенного 'камня через время 1 = 0,5 с после начала движения. Решение: Обозначим ~' — скорость камня в начальный момент времени, ту — его скорость в момент времени ! = 0,5 с. У По закону сохранения импульса ЛЬ = лгг' — (1); 0~1 = —.' — (2); 2 тгз' М!г Р, Мм г; =7„+У,У, где 7„, =г; У,У =у/.

Из (1) 7 = —, тогда тг 71~2 2 М2 2+ 2 2 2 — + д т~ =, — (3). Подставив (3) в пг т (2), получим Ж, =; И~, =49Дж. М~УУ +Угг~д~! 2171 2.69. Тело массой 7777 = 2кг движется навстречу второму телу массой т, = 1,5 кг н неупруго соударяется с ним. Скорости тел непосредственно перед ударом были 77 =1и/с н 7, =2ьг/с. Какое время !будут двигаться эти тела после удара, если коэффипиент трения /г = 0,05? Решение: Будем считать удар абсолютно неупругим. По закону сохранения импульса упгг7 — тзаэ = (тг + 7712) и, отсюда п = - — (1).

С другой стороны, и = аг — (2), где ПУДУ! 7717772 771! + 7712 ускорение а можно выразить из второго закона Нью- 81 тона Р = (и, +и,).а; гг(т, +и ) д = (т + т,) а,.откуда и а = ф~ — (3). Выразим из (2): г = —. Подставим в данное а »г~г2 >и! > уравнение(1)и(3): г= ' ' '; >=0,58с. Мт~+ >гг,) ' 2.70.

Автомат выпускает пули с частотой и = 600 мин ', Масса каждой пули лг = 4 г, ее начальная скорость к = 500 ьь>с. Найти среднюю силу отдачи 7 при стрельбе. Решение: Среднюю силу отдачи можно найти по второму закону в 1 Ньютона Р'=»га=»г —, где г= — — время, за которое Л автомат выпускает одну пулю. По условию п =600 мин '=1Ос '. Отсюда Г=ппт; Г=20Н. 2.71. На рельсах стоит платформа массой т, =!От. На платформе закреплено орудие массой т, =5т, из которого производится выстрел вдоль рельсов.

Масса снаряда т, = 100 кг, его скорость относительно орудия г, = 500 м>с. На какое расстояние з откатится платформа при выстреле, если: а) платформа стояла неподвижно; б) платформа двигалась со скоростью г =18 кы>ч и выстрел был произведен в направлении ес движения; в) платформа двигалась со скоростью г =18 кы>ч и выстрел был произведен в направлении противоположном направлен>по ее движения? Коэффициент трения платформы о рельсы >г = 0,002.

Решение: а) По закону сохранения импульса >ггзгс =(>и, +т,) и, >па~ О откуда и = ' " — (1). По второму закону Ньютона лг, +и, Р =(и,+нг ) а или й(>ггг+лг ) 8=(и,+т,) а, откУда 82 а = /гн — (2). Расстояние, на которое откатится платфорагз ма, д=ш — —, где и=аг — скорость платформы в пер- и вый момент после выстрела. 7 = —, тогда а 2 и аи и — — — — — Подставив 7,1) и 7'2), получим, а 2а 2а 7773 3~О з= ' О; з=284ы. 2(т, + гп ) /гд б) По закону сохранения импульса 77733О -(и, + т,)х т3 "О тг + 'г'2 + т3 ' 3" хи=(т, +и +т ).О, откуда и— 7П, +7П, и = -1,7 м/с и будет направлено в обратную сторону относительно т и 3 .

Расстояние, на которое откатится 2 1 и- и платформа: д = — = —; з = 73,7 м. 2а 2/гд в) По закону сохранения импульса (пг, + т, + т,) 37 = ( 1+Л72+ 3) 3 +т330 =(7Пг + и2) и — П737О, откуда и— ! 7772 и=8,4м/с направление выбрано правильно. Пройденный 2 и платформой путь з = —; ю =1800 м. 218 2.72. Из орудия массой т, =5т вылетает снаряд массой т, =! 00 кг.

Кинетическая энергия снаряда прн вылете Ж„, = 7,5 МДж. Какую кинетическую энергию Н'„, получает орудие вследствие отдачи? Решение: Согласно закону сохранения импульса тг33 = 7П232 — 11). Кинетическая энергия орудия сразу после выстрела 83 ггг,г, И' = — '' — (2). Кинетическая энергия снаряда 2 2 И' = ~ -' — (3). Из (1) т,гг 2И'кг —; из (3) г 2 = — ", тогда тг 1112 = — 2И',; И', =150кДж. т, 2.73. Тело массой и, = 2кг движется со скоростью г, = 3м/с и нагоняет тело массой тг =Зкг, движущееся со скоростью г, =1м/с.

Считая удар пентральным, найти скорости и, и и, тел после удара, если удар а) пеупругий; б) упругий. Решение: Считаем, что движение происходит вдоль горизонтальной оси в одном направлении. а) По закону сохранения импульса ггг,г, +гггга2=(т +т,) и, где и — обшая скорость двух тел после неупругого удара. Отсюда 11111'г + т2в2 и = ' ' - ''; и, =и, =и=1,4м/с'. б) Запишем закон П11+ тг сохранения энергии: 2 2 2 тгаг ггг,г гггггг — +== — + сохранения импульса и закон тгУг + ггг2ггг = Пггиг + 1111111 — (1) 2 2 2 2 ггггиг += — (2).

Из (2) получим ггггвг +ггггтг =т,гг, + 2 +гггги,' — (3). Преобразовав (1) и (3), решим систему гггг(ъг — и,)= тг(и2 — 22), уравнений: , „ , ,~ Разделив первое 111,12, — и, /= 1112ги — г ). Ответ в даиггой задаче не совпадает с ответом первоисточника'.

а) гг, = и, = 1,8 и/с; б) и, = 0,6 м/с, и, = 2,6 и/с. 84 К2 2 к2 111, 2И' 21112И', ! тг 111, ггг~ 2т,И'„2 полУчим Икг = 2т, — (4). Подставив (4) в (2), Уг — Иг Иг — ггг уравнение на второе, получим:,' ', = 2 ',, откуда в-и и 1 1 2 ггг + и, = и, + гг или и, = гг + и, — гг — (4). Тогда из (1) и11', + ггггггг — иг(ггг + 111 -гг) гггг гггг и,— и, 1+ — =гг+ — х т, и,) гп, гг + и (2в - чг )1/ т х(2гг -11); и, — ' ' ' ' ' (5). Подставляя 1+и,/и, числовые данные в (5) и (4), получим и, =-0,2м/с; иг =1,8м/с. 2.74. Каково должно быть соотношение между массами т, и пг, тел предыдущей задачи, чтобы при упругом ударе первое тело остановилось? Решение: Воспользовавшись формулой, полученной в предыдущей задаче, и приравняв скорость первого тела после удара и, к нулю, найдем соотношение масс и, и и,. Имеем гг+иг(21гг вг)/иг и, — ' ' ' ' ' ' — О.

Следовательно, гг + — 'х 1+ глг /гпг и, тг 3 х(2в -чг)=0; — - '= ', откуда — г= — =3 или ггг — 2вг и, 3-2 и, =3»1,. '2,75. Тело массой и, = 3 кг движется со скоростью 1, = 4 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, найти количество теплоты Д, выделившееся при ударе. Решение: Первое тело до удара обладало кинетической энергией П11гг гт'„= 1 .

После удара оба тела начали двигаться с т1 + пг2 Поскольку "гг " ггг (ггг! гггг) и, 2т глгИ," (т, -лг,) И'„;(лг! — лг,) го! 2 а 4лгггггг 4тргг Тогда из 12) И'„, = 5,62 Дж. то И~„', = 0,62ДЖ. 5','а 2аг гГ' =~,Ка,/22гггг'„'.г, от юда г, = ' ' о — г5). Под!и! ставив (5) в 13), найдем скорость первого тела после удара. т! ( пг! =гаг, гг а2ггг"~; 'гтг гг! а2ю,г,' /2 ~~,~' а 2~,55'„', = , г,, 2И'„' (и — лгг) = (ггггг г,) + 2пггЬУ,'э, откуда 2т, 2т И"„'~ ггг! (г'! ) 2 2.77..!,ло массой т, =5 кг ударяется о неподвижное тело массой и, =2,5кг.

Кинетическая энергия системы двух тел непосредственно после удара стала г!'„' = 5 Дж. Считая удар центральным н неупругим, найти кинетическую энергию и'„, первого тела до удара. Решение: Движение осугцествляется вдоль горизонтальной оси. Согла- сно закону сохранения импульса игг ! = (и, + и,) и — (1), где 2! — скорость первого тела до удара, и — скорость системы двух тел после удара.

Кинетическая энергия 2 лг! гг! первого тела до удара И'„, = — — (2). Из (1) (и! + и2 ) ' гг г = ' ' г' . Найдем и из выражения для кине! и, тической энергии системы двух тел после удара. 87 2И„ откуда и = — ", тогда П?! + П12 (гп, +та) и 2 2И; (пг, + пгэ) — ' пг, +п?2 2И"„т, + тт г?! = " ' — (3). / Т1 311 пг, п?,2И'„(т! + тг) (2), получим И'„! = и?, т, Подставив (3) в И'„= " ' -' 'И' =7 Дж. к! к! 1?1 ! 2.78.

Два тела движутся навстречу друг другу и соударяются неупруго. Скорости тел до удара были г! = 2 и/с и ?1 = 4 м/с. Общая скорость тел после удара и =1м?с и по направлению совпадает с направлением скорости ?!. Во сколько раз кинетическая энергия И'„! первого тела была больше кинетической энергии И'„1 второго тела? 2.79.-Два шара с массами т, = 0 2 кг и пг, = 0,1 кг подвешены на нитях одинаковой длины так, что они соприкасаются. Первый шар отклоняют на высоту ?г, =4,5 см н отпускают. На какую Решение: Отношение кинетических энергий первого и второго тела до удара можно выразить следующим образом: 2 2 И'„, ?нр, 2 тр, 2 И'кг 2 тр,' т,г', хранения импульса тр, -тгр2 =(т, +т,).и или и+ 2 т!(г! -и)=п?2(и+22), откуда — = — — (2).