Курсовая работа: Измеримые множества

Содержание

• Мера ограниченного открытого множества
• Суммируя по известной формуле эту прогрессию, получаем
• Тогда
• Мера ограниченного замкнутого множества
• Возьмем произвольное e > 0 и найдем столь большое натуральное n, чтобы оказалось mk - lk)> mG - .
• Затем для каждого k (k=1, 2, …, n) найдем такой сегмент [ak, bk], чтобы было
• F = (FkFk’ = 0, k ¹ k’).
• Тогда
• Внешняя и внутренняя меры ограниченного множества
• Теорема 6. Если ограниченное множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества взаимно не налегающих множеств Еk
• Возьмем e>0 и найдем такое открытое ограниченное множество G0, что G0 É Е, mG0 < m*E + .
• Измеримые множества
• Этот способ определения понятия меры принадлежит Лебегу, в связи с чем иногда измеримое множество называют множеством “измеримым в смысле Лебега”, или, короче, “измеримым (L)”.
• Сделав это, положим
• Аналогично мы установим, что
• Отметим теперь легко проверяемое включение
• Тогда
• Измеримость и мера как инварианты движения
• Если j (x) = (-1) s x + d есть некоторое движение, то движение
• Из теорем 9 и 10 следует
• Д о к а з а т е л ь с т в о. Относительно множества типа Fs это очевидно, ибо из ограниченности суммы множеств вытекает ограниченность слагаемых, а так как последние замкнуты, то и измеримы.
• Если Е есть ограниченное множество типа Gd, то обозначив через D какой-нибудь интервал, содержащий множество Е, мы сможем представить Е в форме пересечения измеримых множеств , после чего измеримость множества Е становится очевидной.
• Определение 3. Если множество Е может быть получено, исходя из замкнутых и открытых множеств, с помощью применения конечного числа или счетного множества операций сложения и пересечения, то множество Е называется борелевым множеством. Ограниченное борелево множество называется измеримым (В).
• Например, множества типа Fs и типа Gd суть борелевы множества.
• Рассуждая как при доказательстве теоремы 2, установим, что верна следующая теорема.
• Теорема 3. Множество, измеримое (В), измеримо (L).
• Обратная теорема неверна: существуют примеры множеств измеримых (L) и неизмеримых (В). Первый эффективный пример такого множества был построен безвременно умершим московским математиком М.Я. Суслиным (1894-1919). Суслин открыл чрезвычайно важный и обширный класс так называемых А-множеств, каждое из которых (при условии ограниченности) измеримо (L). Этот класс содержит в себе класс всех борелевых множеств, но существенно шире его.
• Интересно выяснить, существуют ли вообще ограниченные множества неизмеримые (L)? Прямым счетом этого вопроса решить нельзя, как показывает следующая теорема.
• Теорема 4. Множество М всех измеримых множеств имеет ту же можность, что и множество всех точечных множеств, т.е. 2­­с.
• Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего ясно, что 2с.
• С другой стороны, возьмем какое-либо измеримое множество Е меры нуль и мощности с (например канторово множество Р­0) и обозначим через S множество всех его подмножеств. Так как всякая часть множества меры нуль также имеет внешнюю меру нуль и, стало быть, измерима, то SÌM, а поскольку = 2с, то ясно, что 2с.
• Убедимся, что
• С другой стороны, легко показать, что