Книга: Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової системи

Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової системи

Содержание

• МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
• Навчальний посібник
• Алчевськ, 2004
• 1. Функція, границя, неперервність
• Властивості нескінченно малих
• Теореми про еквівалентні нескінчено малі
• Наслідки з важливих границь
• Розкриття невизначеностей
• 2. Диференціальне числення функції однієї змінної
• Основні правила диференціювання
• Приклад 1. Знайти похідну функції .
• Якщо функція має похідну в точці х, а функція – має похідну в точці , тоді складена функція диференційовна в точці х, причому
• Якщо неперервна та строго монотонна в деякому околі точки х функція має похідну в цій точці, тоді обернена функція в точці у має похідну, причому
• Приклад 1. Знайти похідну функції .
• Геометричний зміст похідної
• Для довільних диференційованих функцій та мають місце такі рівності:
• Застосування диференціала до наближених обчислень
• Похідні вищих порядків
• Похідною другого порядку (другою похідною функції) у точці х називається похідна від її першої похідної при умові, що диференційовна в точці х. Вона позначається такими символами:
• , , , , .
• Аналогічно визначається похідна п-го порядку функції , яка має (п-1) похідну в точці х:
• Основні формули обчислення похідних вищих порядків
• Диференціали вищих порядків
• 3. Дослідження функції за допомогою похідних
• Необхідна ознака існування екстремуму
• Нехай на відрізку задано неперервну функцію , тоді за теоремою Вейєрштрасса функція на даному відрізку досягає свого найбільшого і свого найменшого значень. Це може статися як всередині відрізка, так і на його кінцях.