Задача: Решённый вариант 26

Распознанный текст из изображения:

!влача !

11ай)н все значения ызрня:зь27

7ТФКП( 2003

изгое!

1,. найлсз

— 3, 3ъ23

.*,,"з 7

'з

2 2

О)вез: з!27 =-'3; — (г-- 2

Данный материал подготовлен на принципах информационно-

консультационного материт»за с целью закрепления у школьников н

студентов навыков практической реализации знаний, приобретенных

в объеме курса по теме «Теория функций комплексного

переменного». Настоящий материал предусматривает широкую

вариативность приемов и метолов закрепления полного курса в

объеме семестра по разделу «Теория функций комплексного

переменного» в «Высшей математике». Рекомендуется изучение

данного материала в сопоставлении всего объбма предложенных -3

решений, Задачи, не п рсдс тавлякицне особого интереса, были

исключены из предложенных решений.

:-,(

.'1

В серии представлены консультационные пособия по

следующим темам:

° Интегральное исчисление

° Дифференциальные уравнения

° Кратные интегралы

° Ряды

° Теория вероятностей

° Пределы

° ТФКП

° Аналитическая геометрия

° Линейная алгебра

° Векторный анализ (элемент») теории поли)

Корьнг, и-н с)сисни нг козизлексигз~о пгслгг

рпшыз зшнгешпз. когорыс шжо.ы~ся и форм)л"

", г = *,l) сзгь . ": ~ь!)з

1) п

о.—. агр(г). ), = п,)...п — 1: к: о

11о ыив шя в из йю!змзл) рголпчные знп ыюш

все значения корин з 27;

'27=3

!азана 2

11рслс) пни г ь в аисбран чсс кой форм.: соз( и г 6 — 1)

11епольззси форз)м)з ьосннзса !)азноспи

соч(п 6 — !) =. соз(п 'бз)сон(!)+з)щп 6)ып())

Про,(с~авзгз) зрпгоиомегри ыскпс фзиьппн с з)нимыми

арг ) мсшамп в валс показа гольных:

сояп'бз)еоь(1) яп(п'6)ьпцг)=--- ! и — с' ) з(3 с ' ее' .' 1 е — с ' !

1

Огвез. соил )6 — 1) = ! — — .. -,-' !!

Распознанный текст из изображения:

4" 3!

й,'-

з 1

'(х — ))

г!» )), ! ——

1.( .») = 0

й =. 0 я),!-2....

0

3

За,шчя 3

!1ре впавпгь вал!ебранческой форме:

Фунагпя Лгсгй является многознв щой и в общем впл»*

сирс ы:!я» ~ся».!»л»!оггшхг образо«и

Лгс)!з к =- — ! . Лгссгр, — ! = -г -- 1.п — ' — = — 1ш—

!тх . ); ! з;1

2 к . 2 т — !

-). )

г

4чЗг

! 1олставпм вместо к значение — —:

5

4. 3!

! 4ьЗ! ', ! з ! 4иЗгз-5

° .'

.е1

Лгстй! ! =- — !ш . — -- = — 1.п-:—

5,' " ' 4еЗ! 2 4+31-5

.-1

5

! г) ь 3! ! 3)(1 — 3!) 1

= — !ш --. = --1.п = — !.и( — 3!)

— 1 - Зг 2 — ! -ь 3! 2

Логарифмическая фувкпия !.п(к). гпс гиО, определяется кав

ф» акция. обратная показательной. причем:

!.пн = !п)к! !Лгйк =!щд»-!(агйкч2и1с)1с = Оса)~"....

1!о,щшвим»то выражение в полученноевыше:

1,. 1

— !лз(-3!) = — (!гз,— 3!! !(агй( — 3!)< 2п)с)! =

2

1, „! .. 1 г) и

= — )п(3) ' — '(агй~ — 3!)ч 2я)т~= — 1099+ — ( — —" з-2к(г !

2 2 2 2* 2

!)ызег: Лгс(й~ ! = —.1099е —, .— "-ь2и)т ),)г = Оч!ьз

РачЗ! ) ! !

л

'Залачя 4

1!ьгчс!»тить область. зи.щин»го неранено ~ вами. «2< ос...<;2, Кст<1. )п.:я — !

Задача 5

Опретелш гь виз! кривой:

2+!

2 — г ! — !

Урпвнспис вила к -',.(!) — «(!):. !»0) опрелеляст на

к»з»~плох<пой плоское!и крив)~»», парамегрнчсскис

»равнения которой имени вил х — «О). у - )(г). В ивово!

с.гт ' шс.

2- ! )- !

х()!:. - ----: »(!)

! !

Вырвем параметр ! черш х и у:

!

х = — ч 2» — »! .-. 2 — г ы 2»

— -х» — )г — )- ! .х» — ! — ~(» — !) — !

!1о:!;"!им уравнение кривой в в!н)е

2(х- !) ) ! 2(» .1)» !

.-! ) — ! -! у-!

2(х !)

(Нвег ' - — О

:;.!» -1

Распознанный текст из изображения:

!(1) '— '-

гх

я>огся слс ювюе.>ьно Го>ла роз)люа> о> пу>г>

!

Огас>: !!'(;)дх = > ——

10

!

Оп>с>': Г[/) = г. '

5

1алача 6

1(ровс!загь. *>то и является лейон>из>.лапой чистяк>

анщппнчсской функции. Восстановить анюзггтическ'ю в

>крсюностн >очки д, фзнкпию Дя) по извес>вой

.ю1ствителг,ной части щх.у) и значении> 1(ж,):

н =

)ная лсйснщгслыйю часть аналиыщсской ф)акции.

г>г> кно узнюь производную анащгпической функции по

слал> ющсй формуле:

рп .сп

Г'(г)= — — > —.

дх Ъ

1!яйлом произволнуго аналитической функшпн

— хз-.уз+х>+2х>):-'-:уз ч2>хз

С(к) .= 1 'г х + !Г)—

(х еу)

-(х-гу)> Ь[. -'.)з)г

— — — — —, з-1 =! — —;

(к — 'г ) > (х ь 1) ) > (х ч (у) з

Г.к. производная существует. то ц является лейсгвительной

час п,ю аналитической функции. Тенер>в зная произво,гную

апалигнчсскогз ф)нкпнн йв), можно пай>и саму ф)нкцшо с

>очностьнз ло константы:

1 1

Г(а) =. )(! — г)вн = г, — + С

х

Определим константу С:

1(1) = 1 к 1 - С = " о С = 0

Итак. ана:ппнчесьая функция Йк) выглядит следующим

ооразом;

1

!(:) = '-'—

Зв>гачя 7

1)ы щслн>ь ннгщрал о> фгиющн кохи».«ка>щ >

нсрсмснно>о г>о ганной кривой.

!(г 1К(г. Л(!('. г>о>ганах: г, = Н,;,, =-1- !.:

1(окском ломаную. по кон>р Щ .>пал>но прото гпн

ин>щрпроваппе;

1!роверим нс,олн>по фгнкцщо па аналиыгчнос>ь. )1.>я >го>о

А перейдем >и ф>пкппп 0..) к

>

функции йх.у). >ле. л -: »:

1(х.>) = (х») ) 1 = х — Збх у !26>х') ' — 04х'г' +9х>з —,1-г

>.(9хху — 84х'*у' +! "бх'у' — Збх )

!!ровсрнм. выпогшяюзся ли ус>к>вия ![ пни-!'имена:

—.— 9хг — 25 'яд '-60>пх')л — 252х >" 9>" .—.—

ох ' ' ' гй

>7зг

--.-= — 72х г 504х'у ' — 504х'>' .>

г

Условия ).онш-рпмаиа яыполп

ф>пкпня являе>ся ана.ппичсской.

щпщ рпрования пе завпсп>:

к ' . !

Й(4"=)(-'ь!)"х= ---' -'--,

!О, 10

Распознанный текст из изображения:

)эассаггмрнтг оо.щси, /! 5

5 ' ! 2: !

Г(/!

— и! /

110<обрсо м г)~)пкцпю

5/-. 100 5(х. 20)

! -' ' 1, ,5 !

-5 / -1О, /,' /(! ° ') !

5 г 1

Г(х)- -.,~ — -'4

/г (хь5 к — 1О !

0

7

За/гана 8

!1вйтп все горановскпс разлогнспия;инной функпип по

степеням /.

5/ '100

1(/) .=

50х -5.. ' —:

50/ < 57 — х — / (т, . 5)(/ — ! О) / (х ь 5)(? — 10)

1!реле!авнм один нз мнохгтггеггеГ!. как сумму двух простых

слагаемых:

.. -20 Л В Д.— !Олеях-.-5))

(/ ' 5)(х — !0) в+5 в — 1О (гт5)(х — 10)

в+20 — !

.Ф , 'Л = — 1: В =. 2,' =т—

(хн5)(х — !0] ее 5 / — !О

Отсюгга 1(х) примет следующий ннд:

Г)собыс гочки: / = От = — 5: х = 10

! 2. !25: !О !Оп 1000

! ! ! /:,,/1 ! !

5/ 25 !25 ,' ' / !ГЫ !ОО 1000 Рассмотрим обдаюь5 <,х! <1О;

1 ,,' 5 25 !25 625

— — — -- ., °:!

10 !00 !000

! 5 25 125 625 ; ,' ! !

; г / ' :. /" , / !О/ !00 !000

Рассмогрпч обдаю ь!/( > 10:

5 ) ! 2 ', ! ! 5 10

х' '(/ 5 / — 10 / х' ! г(! '! /(! — '") ~

, '1' 5 25 125 625,'10 100 )000 П)ОПО ) )

(х/ / / . ),/: .:' !2

5 25 !25 625 ! ( !О 100 !000 !0000

/ / ' ) (/. /. / /

()твсп

111 / ',(111 /

,;! <5'Г(/) =-; —; — -" +

/ 5/ 25 125 '; 10/ 100 1000

1 5 25 !25 625 '* ! ! ! !

5

/' / ) ~/ !О/ !00 1000

25 !25 6'5 ', !'!О !00 !000 10000

!/. >10:Г(г!.—..:- — — -- е — — — — —. -;-... ,'—:

/' /' ) ( /' /'

Распознанный текст из изображения:

)влача гз

1!айги все лоргггпзвскис разложения ланиой ф)нкппи по

сгспеиям, -,.;,.

27

Г! .,) .= †, — . сь — — - 3 -.

к 4

! )реобраз) ем лани) из фу акинин

".'7 ! !

Г!7) = -;

7 т4 7 — 2! 7ь2!

! (сиз»лизу си разложения в ряд Гейлора в окрестности точки

1 ! 7. 7. '. к ( — 1) 7

яьа а а а' а' а

1 1 ' ( — 1) (в — 7 ) ~ (7 — 7 )

1 ( !) (к 7-) т (к 7»)

7» 2! (7.— 7,,) — Зьл!»ж ( — 3 41)' „»(3 — 4!)

Таким образом:

1 ! (я — 7)' ' ('.— 7 )"

((7) =- — -. — =-У- .„,ч--~ —. — '-,—

7 — 2! 7 21,. в 3» ' „„(3 — 41)" '

! !

(3 — 4!)"' !

1

Озгвс: Г(7) =.— ~(». ь . г ((" — 7 )

„,,~ 3" » (3 — 41)'" !

Заляча !О

2(ггпиукз фуикниго рагложнть в рял !!иргиз» в жрссииж~и

~очкгз ж,

Г(7) =: мп —, .7,, = !

(: — !)

!!ерсйлем к новой переменной. ' 7 и,

Ь»»ж —. 7-П»ы ..—.( ° !Иж М

7'

!еперь нач остается найти ра~льпксиие пал) нвгпейся

фзиьнии ог 7' в гзкресп~осиз точки 7'»-4. 2(ла »пи о слсттье~

испоьп зовать табличные разложения в ря,г ! ейлора.

1, . 1 . ! . !

Г(7(=-7ь(п)соз +ксозз)яп —;ч йп!сок -- ьсоь)япз;-- 111),.(1!!

! — — »- —, "-;-, »... йяйз! ! .— — - - ' ..—,. —.. 1,'сов!

2Ч' 4!7и 6!;"' ) г 7' 3!7'* 5!7"

соя1 соз! яп) мп1 сов1 соь!

=-7'з(п(» яп! —,

7' 7' Лкл 2! " 3!77 3!7"'

!1ронзвсдем обрагнукз замен) переменной и, гаким

образом. получим разложение псколной фтикпнп в рял

.'!орина в окрестности и»яки дс 1;

соь ! соз ! ь!и ! ып1

('(7) —: ма! — '

7 .! (7 - !) 2!(7- !)' 2!(7 -1!'

соь! соь!

3!(7- !) 1!(7 - !)'

()гвьч

соя! сов! йиз ! йп !

Г(:) - кь~п !—

[7 !) 2!(7 !)' з>(, !)'

соч! соь!

3!(7 !)' Зйк ()»

Распознанный текст из изображения:

За,[а«а 1!

[)г?)телслп гь г пи особой ючки: = 0 тщя лвнной функции:

с)?Зг — !

1(г) =—

я[пг-г-г' 6

11рслсщвит! гы функ?шю. как озношщшс фупкиий (г) и

й[г)

сйЗ: — 1 я(г) й(я) = сйЗг — 1:

Ггг)=

я! г — г г '6 !з(г) 1?[ ) =ш?!!г.— г'16:

Дггя кажлой нз функппй найдем иорялок производной. не

обращаитщеГ!ся в поль при г . О:

й (г?= Зь)з?г. (0) = ЗайО = 0

й" [ ) = 9сЬЗ.',д'(О) = 9сйО = 9

й'(г) = саь(г) — 1 ь г ' '.Ь'[0) = соя Π— 1 = 0

й" (г) =. — ып(г)-; г:Ь" (0) = — в)пО + 0 = 0:

11 (г) = — соя(г) ! 1:(з \0) = — сосО-> ! = О!

Ь' (г) —.-я)п[г)сй ' (О) =-шпО = О:

)з' (г) = соиг):й' (О) =- совО =1;

Гак как порядок ороизволной, не обраптающейся в ноль угри ' ' 0 вьпнс д.1я фтикши!. Нвхоляптсйся в згиысивгг.'зс. зо го птл — 0 являсгся полк!сом функпии, 1)орядоь я!ого полюса нато.ппся. каь разнииа мещду порядками произволных. не об?раша?о!?(т?вся в ноль ори г = 0 для ф)нкинй й(г) и )з(г). Г? данном случае, зто 5 2 = 3.

[Угвег: ?очка и -: О является полюсом 3-?о порядка зля

за?анной функпии.

?ялячя !2

ЗГя гвши и г)пнитгш ивйги игг нг[тешзные о обыс шщн н

опрслс.ппь нз ~ ип.

1 1, соя(1! г) — ып(1 и)

1!7) = Стив

г, г .ш(!

1!Срейлсм к штвой осречсннон.

1 . см! — ! ь)п(

! = ; Г(1)

ьгп !

Ив ф)июшя нс явгщегся аналити юсь и прн мп ! П 1!вилем !.

оогв 1ствукипис щом) слтчаю

йп[=0;:>[=к)и1 г

'?апнщсм лагнп)го фуикишо в виде шношсния функипй я(!! и

!1[!):

соя[ — ! шп ! я(!) = сов( — 1 в)п и

1(1) —.. ——

в(п ! )т(!) =- я(п !!

гбзя ка клей из функинй найлом порядок производной. не

обращаюн[ейся в ноль прв ! = яь:

й(п)т) ы О

)з(кь ) = 0

(з'(!) = соя[; й'(лй)и О

! ал кек 1юрялок ирои гволно(з. нс атбршгагющейся в ноль при 1

;ть выше .тзя ф) нкпшь иачоттящейся в зпямснагеле. ю ~очки !—

являююя нолвюатш фуыюгг~и )Ьря.ток зпп, по.носов

нвюглшся. как ревзина менчу порялквяш проижолныь. и

обрашаюшнкся в ноль при ! = лй зля ф)икций Ь!) и ОИ), В

,щппюг слукш. и г) Π— 1

1 1

! =- яй ~ г = - = —: )г е .

пй

Рассмоцтнм ~очьз г: О (залкюогоб Осущащв)егзаксс шэченпсй

по,) я[Об 1аким обраюм г О не ягыяезси июлирован|юй осщч и

шчкой. звк квк про~ ивор чит опрелслегяво. ~ ласягнему. по фз нюша

толяагв огя~г, аивлшнчщкой я некоюром колы!с вокруг втой инки. в.

какай оы мы ие взяли ралитс кслыи, в нет~ нвйле~ся особая то вв

вила ! як. в коттзроуг функпия не являешься анвлиишсской

[дгвсг 1очкиг = 1,'пк:й е г еля .гвгзнтзй фушошн яеяяктгся

по посвьзи 1-го поря.гка.

10

Распознанный текст из изображения:

Задача !4

Вычисли? ь пи геграл:

Задача 13

Вычис.~ига нни стрел:

е' -1

— -,(а

?'

ып?

— — — с(? ,.(. — и)(. -'и 3)

? 0

В !анноз~ случае:

с" — 1 „.,' 1'

г(? — - 2к(. ( ~— — ~ = —.и

?

(з

1(вилем осооые гочки функции й?):

В рассматриваемую область ггопюзмоз только ючки ? = 0 и

? = и.

1'очка ?л = 0 является устрангяой особой точкой,

следовательно. вычш в точке ?~ равен нулю.

1очка ?. = л является устраинмой особой точкой,

следовательно. вьшет в точке ? такяге равен нулю:

Отснзла следующий результат:

? -!- 51~з 2.

Оя = 2к)~гав, !'(,г) = ОпВО = О , (? — ьй враз(? ( 2)

?' —, я(п2

Г)гвсг: ) — . -- — ---Г -й? = О

...(? — п)в(п(. '2)

У г~ой гй)нюши олна особая ючка. ? О. 1(сшсьг)см

рю:кпксннс и ряд Лорана в окрас~ноши з.ой ючки (ье ~ггз

с~епсяяьз ?и побы опрслсзить ее пгп

1I '

— ! ((т(?—

2~ !

? ?

! 1 ?

? 2!? 3' 4!

1(равильная час ~ ь пгзл)мившш ося ряда солергки ~

бесконе шос число чзв".нов, из чшо слс.!уст. что зго

полнзс. Г(орялок полюса равен порялкз старпюго члена

главной час~и. '(аким образом.. = 0 зго полаю 2чп

порядка и вычез нано !пася сдедуюгпич образом:

О .. О(с" — 1(

геь Г(:! = !пп- - (Г(?)?л ) = !нп — - (

" г(?

, (е' (с' — 11 ~ ., ?(е" — е" — (з( !

! 1о основной ~еорсмс Каши о вьшсгах:

с!!'(я)б? = 2к( ? гечГ(?)

г е' — 1

Огас?: Π—, -г(? = — ю'

?

13

Распознанный текст из изображения:

)алана 15

!) ыни ел из ь ил гсграл.

' — ! — зпз 41

— - с)1

гзз)1811

3яляча !6

В!л зислить иизегрьчг

1

:~ )18 --. '-,-'---)б!1

. — 4 !1 — 3) )я — 1)7

Особыс точки ноэй ф)нкцин х = л)78. 0 !пако в коьпзр

попалас! только 1 — О Опрелелим гнп мой особой точки:

с' -! — з!!з41 811) 811) =со -.1 — ып4х

Г)1)

1 яй811 )з)я) !К1) =- я з)!818

Опрслслим порялки производных ненулевых прп: = О. !г)ы эже нсолнокразно использовали этот прием, г!потому на сей раз мы опустим Летальное и громоздкое вычисление производных н скажем только. что в рсзулюате э!их лсйствпй мы определили, по 1 = О прелсзавляст собой простой полюс. Го!да моэкно рассчитать вычет в этой точке следующим ооразом:

: ео — ! — мп41'! !используем нра-! газ Г(1) — )пт~)ГГг)1! =- !пп

— 1 ай 8)я 1 , 'вино 3!ониталя

4со -4соь4. ),'истюльзуемпра! пп' —. -- — — — — — — - 1.= !

" ':", )яп81-' 811со 81) ! вилоЛопиталя

!Ьс" 16МП41 ' !6

.—. Ьп!

"; !Гясоз8: . Гэл)тяп 81 ' 16!

По основной !соремс Коши о вычетах:

с' — ! — з)п41

с!1 = 2 п)~~~ гсв1зя) = Ъп.1 — !) = 2я

1 аййгя

с" — ! — мп 41

Ответ: .5'; -' — - — -дх = 2гг

"я88гя

Рюооьбм мо~ шггшрю! на сумм) лют пн!аралом

! г ймп„"

1з)! — — з) х — ' ~ — — —; —" . Н1

, ~,Г, 3)11, 1,

Рьююмозрим первый инте! Рал:

1яй -. -г)1

1 — 4

!!срсйдсм к новой переменной:

))=1 — 4' 1 !

азй — - = !! э4)ай.

1=)э4) я — 4

11 гг!не~венной особой точкой з!ой ф) нкшзи является )=Г)

г!тобы определить ее пш. Рахюжим функцию в рял

! )О!тана;

1,'1 ! ! 1 !

1! + 4)зй =1! -' 4), '— '—

',1 3!!' 5!! 7!! 9!!'

1 ! ! ) ~4 4 4 4

3!! 5!!' 7!!' , ),. 3!!' 5!!' 7!!

4 ! 4 ! 4 1 4

! т!! .4 ! 5!! 5!! 7!! 7!!

О!чс!лино вилис. что !лавная час!ь ря ш Лорана солсрж!и

бесконечное коэи !ее~во шопов из чего с.!сдусг. чзг~ г::))

яв !яс!ся сэшествепной особой из пггяй '! о!ла вычет в ней

пахо зп юя следую!пнм образом:

1!

ген 1! э 4)з)з - ! = С, = 4

Распознанный текст из изображения:

1аюга образом

1 г ! . !

к«й .- «1г = 3 (( +4)а|э- па = 2гбгез|(! з4)зй—

— 4, ( '", 'г

= 2л! 4 =йкэ

Использ«см вычеэы лля взятия второ«о инэеграла: 2 «| «э (г — 3) (" — 1)

У подынзегральной функции есть две особые тоюги:; =1 и х::-3.!!ри эз«э«э пэчка х-1 не охвачена конт«ром. по которому про «олнт интегрирование. н ие расс«ипрнвае гся.

Точка г=3 является полюсом второго порядка. Найдем

вычет в этой точке:

«( ! (а — 3) -2з(п' ) . й ~2ып, ~

тех|э(:) =!пп —.! - — —, " , '= йт

'«)х! (х — 3) (х — 1) 3 -'«)х~ к — 1

° о)3(а И ~ Ь,' (. — 1)э 'уй )!

! аким образом:

2з!гэ,' ( 13

— да= 2я( геьГэ(х) = 2тб ) — — | = — к(

,,(к-3) (а — 1) =' ' х 2/

!(ай«де«э исходный интеграл как сумм«интегралов,

состав.эякипп; еэ о:

( 1 2з!«эм! э г 1

, :аз|э -, —.—.—,--' — )ох = з я«й оа .

к — 4 (х — 3)э( — 1)), э — 4

— зэп

— йк = йю! — к! =- 7«п

.(У.—.э) (г.— 1«

э 2з(п

Огвеэз «( ( кзй ь, " !«(т= 7гй

: — 4 (х — 3) (х — 1)у

Задача 17

Вычпо.ш гь э эн э сг ра.э.

«(г

«7 ми(

1!нэсэргпэ гакого вила могксэ оыэь прсоораюван в

ко«э э«рный. исээогээ э«я с.эел)!О«пи ' выражен««я:

дх

г — е'.««э«'.= — г — з«ы э =,: . «4«

(к«э.«эа «)а« = 4('(х)д/

|Зо«яюльт,смея этими данными и перейтем к контурному ни гетра.г:

„ч7ь|ээг +4, э ',, (х — ')+4, э Д«(к — 1) 4!к

2йк 2дх

,,;«7(г — !)-э )((х, э «(7(та|;(7)(г +э) з(7)

1!одыпэегральная функция имеет двсособыс точки:

г.= — (мэ): т.= — э'ч7:

!очка — !ч7 не попадает в обласэь, ограшгчспную

кон Ором иэпегрировавия.

Гочка — |«47 является простым полюсом. )3ычэгсээи«г в

этой точке вычет:

гсь Г(х) = йю (!(г)(гэ эгч7)! =

э

— |пээ

Г' х)7(кь|с7) «7( — |э.,'7 «-!««7) 3

1!о основной теореме )«ошээ о выче сох:

2«(к

— -----,=- = 2л|~гсз! (я) .= 2кэ | — — ~

«,ч«7(х~-!х)7)(. ч! ч7),;: «3,«

гй 2

Ответ:

7з|п(«-4 3

Распознанный текст из изображения:

Зала ш !Я

Вы ~испить июс~ рвл.

ш

- (2.- с~зь г)

1!н~с~рал ~якого внлв может оьпь преобразован в коптурныгь

используя еле и юшнс выражения;

1~1'!

2( т) 20 7! )г

)К(сш г.пп г)д! = Е(г1дг

Восполюуеьшя в~ ими ланнымн и перейлеч к контурном) интегралу:

Х

д! 1 д,'!в

, (2 + сов1)з 3, (2-ь 1(к ь ' ))з

.Г кдв,г ,",!(224!(2 з-1)), 1(в за '3)" (242 Д)

1!одын гегральиая функпия плюет две особые точки:

Д . — 2зДл

Го ~ка к = — 2 — з не попадав~ в область. ограниченную

кон ~3 ром ингсг рп рован ия.

Гочка г = — з з 3 является полюсгзм втгзро~о порядка.

Вычислим в втой точке вычет

д . )-г . д 4к

шз Г(г) Йп (йт)(к-ь2- з3) ).— !пп

'д~' ° -' .:де,( ь лД~'

4 4 . — т." д3

)пп .- . -, --.— — —.: = — )пзз

(». Взд)! ' ' ' ''(г-2 зз~

,3 '-з3 4 4

— 2-зл) ! (2.г'3)' 3 '3)

1)о основной георсчс Воши о вьшета.с

!

Озвсо

гй 4

, (2 з соь !) Зс'3

Залача 19

Вы пзсгпп ь ш!тсгрзаз;

,(л 1)'

11звссзно. Во есгш фтнкш!я ращ!ональпа. в се шс,пыегш н

~нггт!снгз!с:н про югавляюг собой мншочлены. причем

сюпеш шаеенагеля по крайней морс нв:гвс елннпны

Оо.н шс с!сч!СБп '!Ислнгсля. !о знзжно !цзнзгьпизь

слелуггз~ггую формул;

-- '>

сумма иычеюв бере!ся по вьем

'к(к))» = 2л! 3 гез В(2)

по!носам полу!злосюк~н )ш: > 0

1)реобразуем исто зныи инге! ра.г

Г

дк "Г д,

„1к г т 1) ', (в -ь 1)'

Особые точки:

2=-1 ()шв>0): я= — ! ((шв<(И

Гочка: =1 является полюсом !рез ьсго порядка и вьшет в

ней вы ~ислясзся слс)гуюгцич образом:

1 . д' . . з 1 . д' 1 !

гся Г(к) = — )пп — ) 1(к)(в - !)' ) = — !пп — -, , '- — -, ) =

6 - г!. 6'" дг*)(241);

1. д'; — 4 1 1. д~ 20 ) 1. -ГО 5

6' дг ~(г !1 ! 6'"Й)(7 !! ! 6'"(ет)) Зз!

Ис!юль и ем нринеленп) ю в нича !с задачи формтл ы

дт .5 5т

--. -'--- = 2л!

,(х +1)' 32! 16

дк 5т

Ответ:

, 1)' 16

!9

Распознанный текст из изображения:

!

— — 0<1<а а

!'(1)~ — 1. а <1 < 2а

!ба — 1

— Оа <1

й

1 — 9 ь16з)(3! г 31) 42!

20

21

Зачача 20

Вычислит ь ззн ~ е! ра и

,9'+ н» 5 з: а.'.ч'

Для вычисления интегралов гоко!и вн;1а применяется

спешза:зьн тя форму ~а:

)К(х)совйхйх.= Кс:,2я)~гетК(я)е"' (.). > 0

Исхолная функция полностью )ловлетворяет условиям

применения лвпной формулы.

11айзлеъз 7.„,:

(.. ' -'16)(х + 9] = О =-х х, з = 53ззк,, = й4з.

С ) мма вычсз ов берегся по верхней полуплоскости 1ш т > О.

1!з зтого слет ст:

:, =(Зг;4И

'3 ~ и особые точки являются простыми полюсами. Иайдем в

ннх вьшсты:

(я — 3!) „. с'

1)гсяК(х)е"' = йт,, е" =. Кш- —; — — -- — — — — =

' " (тз 16)(я', 9) "(: е16)йкч3!)

(х — 4И

2)гсхК(х)с" = йпз.- и., е" =- !пп

: -" (х, 16)рн + 9) " (я . 4!)(т + 9)

е

(4! ь 4!)( — !() е 9) 561

Исполни)си записанную ранее форм) лу и пай зсм интеграл:

1 - соз' ! ! . „,' яс ' яе '

ох = — Коз 2п! у геяК(х)сл' '; =.

2 "(х' ь16)(; з-9) 2 ', „, " ) 42 56

соь х яе гс

;, (х . 16)(х' +9) 42 56

3адачв 21

Ио,шипом) графику орш инала найгн гззобраягс~зпс;

Исходя нз ного ~ рафика. запишем орппшал функппи

1 1 — а 4а — 1

р(1) —.— --.з1(1)-, ~1(1 -а)",— з)(1-йа) а а а

Исполшуя гаошп() прсобраюваний Лапласа. пайлехг изображение функпин. ьак с)мзз) изобразкешш слагаемых орипшала фупкгтгпз:

1 (' 1 !', .„, (4 !

!.(р) = — +, '— —; —. (е 'я-) — —, )е

ар (ар' р):,р ар',!

Опзег: р(р) =- — --,.ь), — — (с '" +( .— — —; (е ""

ар- йарз р! 1,р ар х

Распознанный текст из изображения:

Залача 22

1)ай(и оршинал (ю заланном«игобра»гспшо

з

(р — 2)(р — 4р+ 5!

1(рс шшвим мо выра кение. как су«гагу пр«гс(ьш слагаемьш:

— р Л Ври С.

(р — 2)(р — !Р-)-.«) р -з рз — !р.(-5

Лрг-ллр)5Л Врг- Вр Ср- С

(р — Зйр' — 4р -5)

(Л В)рг +( — 4Л вЂ” 2В+С)Р+(5А — 2С)

(р — 2)(р — 4р + 5)

Решив линейную сне«ему уравнений, найле«г А. В и С: , 'А ь В =- 0 )А= — 4

(-4Л-ЗВеС--3= )В=4

(5Л-2С=2 ',С =-11

'!'аким образом;

2 — Зр 1 р 1

— — 4 "-- — е 4. —: — -- -- -- — 11 —; — — --— (р — 2)(р — 4рч«) р — 2 р — 4р-(-«р — 4р-(-5 11««гакому изобрагкепин«пайп« ори(инею исслогкно: — 4. — — -ч4 —, — — 11.

р

р — 2 р — лр+5 р — 4р'5

.— — 4 +4, — 11.-- р

— (р- )г з) (1«-2)г-.)

р — 2 „1

=-4.. — е4- --, — 3

р — -' (р — з)' е) (р — 2)г е) — ь — 4 с ь 4.сл сонг — 3 ез* з)пг

и

()твс(( орш иоал ф«икиин вьнл»лги следуюшнм образом;

— 4 е ' а4 е ' со»! — 3 е ' яп!

Залина 24

Оп раниоппым м.(олом решигь з.шачу 1;оши

С*.З«ь-)0« = 47со. 3) — яп )г

у(О) =3. у )0); -1.

Нз (е(грин пам извес«но. по «а(и зн) соогвегсгшс( июорако(ше Х(р). (и х(О соево(с(вуе( РХ)р) «(О), а ;"(г) соо(вс(с(в«с( !«Х(!г) !з (0); '(И). Р«(«ово,гс(в«»сь г(гг«и( ш(поражена»мп. псрейлс«( ог оргии(ш.юв функпнй к п«изобршье( н»м:

47р 3

р г'(р) — р«(О)- «'«0) г Зру(р) — у(0) — !ОУ(р) .-- р -9 р ь9

47)з л

р У(р) -Зр-1» Зр Ор)-9 — )ОУ(р)

р «9 р(+9

Зр' ар ь 74р б9

(р еЗр — 10)У(р) =(р 5)(р — 2)У(р) =

р +9

Зр , йр к 74р + 69

у(р) =- --,— ' — -- ' —- (р .(. 9](р+ 5)(р — 2)

Рюлогким л«ф«нкцию на простые слагаемые и найлом

оргп пиал «(Г):

Зр«-Зр (.74р б9 Ар В С В

у(р)= .—; -- "---'--- .=-.'-;. —.. — ——

„«го) рчз

(Аебзьв)р е(вьЗА — Зсь51))р +(3!3-)ОЛ -9( +9!))Р-)О — 1%:+45!)

(р -,'9)(р 5йр — 2!

(Л-С В-3

113-ЗЛ-ЗС ' 51) =й 'В=.З р 3

)ЗВ-)ОЛ»9Се91)=74 !С.=з р;.9 р(зо р+5 р-2

1 — )О — 18С г 451) = б9 . 'В = 3

«у(г)=--Зсо»3( яшЗг ' Зе ' зЗе '

О(нег: у(г) = — 2со»3)+юпЗ) г зс ' Зе'

Распознанный текст из изображения:

»=.».2

х(0) =- [. »(О~ = 0

хпз+ Кх =-0

На пюьныс условна:

х(О) = » „= 5

х(0) = 0

! [одставнм значения 1»;

ш.

хш» - х=О

1

р(р ь — )Х[р) — 5 =- О

1

р[р ь — )Х[р) = 5

5 15 15

Х[г)

р(рь[ 3) р рь1,'3

Ответ:

х(И = Зе' —"

у(И.= Зе — 3

Ответ: х[[) =-15 — 15е

Задача 25

Иа маюрпалыг ю ючк) массы ш действу»г сила

с»»г»1»»»тннзеш»я !»=ь»х пропорпиона.п,ная скорости». Какое

рассзояппе пройлез точка за неограниченное время. если

ей сообшена на аыьная скорость»а

!» =- гп[3. »„5 мгс.

Исходя из в»»»р»»~ о закона Иьютона;

аш = — 1ж

Сокрапгм все выражение на гп:

:" »- — ' = О

3

11срсйдсм к изобра кеннан фуньчгигЗ:

1,. 1

Р Х(Р) — Гх(ГЗ) — х[О) ь — РХ(р) - х(0) — -0

! [о яком» н.юбразкению несложно найти оригинал

х([) =15 — 15с ' '

Задача 26

Р»шить сне ~ ему 'ифферсшшальньс» уравнений:

(х = »

11сре[глсм к изобрая енням»[зупкпг»й '. п ):

[РХ[!з) - х(0) -... У(р) ь 3:р

[Рг'(Р) — у(0) = Х(Г) ь2 Г

1[одставпм начальные»еловая:

г РХ(Г! 1= г(р) ' " Г

!Р'[Р)=Х(Р>' з'Р

[За»рахн»» Х! Р) через»»(р). исполыуя в го!кж ) равнение:

р г [Р) — Х(р) з г Р

Х(р) .=- РУ(р) — 2! р

11одсгавим волу юнпое выражение в первое»равненас а

нагшем У(р):

Г(р~[Г) - 2[01-1='г[р) 3'Г

3+3[р

у[р) =:

р -1

Зная н»ображение ф) нкпнп. несложно майш се огныиид:

'»'(р)—

р — 1 р — 1 р р р — 1 р р-1 р

-ч у[[) = Зе' — 3

Зная у[[), найдем х(рк

»'=х ь2~х(!)=) — 2=3е' — 2

Распознанный текст из изображения:

ПРИ 1ОЖЕН)!Е

)зоран! и-й степени

5: ! !

твк — ',1!

с' = с'(соьз ь(ып1)

З1ПХ=

21

соз, =--

З)1 Я .= — 1 Ю П Ге

Еп г = !п(х, " 1Агй х

)е!я

Лгс1й т =- — — !.п

2 ! — )к

1 У вЂ” !

Агссгй = - (ю

2 т. !

Аналитические функции

Зала ча 27

Выя ннп,. во 1го прсобргызе!ся 1еометрнчсская фигура при

юбражении с почопп ю функции и =. Г( )

!й(т), по!юса Осхся*а

Еаилая 1и вергнкюи,ных линий в полосе преобразуется в дугу,

опнраюп111ося на гочки (О;!) н (О. !), ((а рнсзнке показаны

!ренины получающейся области и примеры лу1:

1р —, п(, ют кй

:,,' = зов,", .соз-' —.--" -)5(п †.- )л!з — -аглай =Ой ...„и (:, -О и п

Племен гари!ае функции комп.1ексиозо перемени!но

! 1-Е

с)1 т = соз гк = -- ——

Лгй я = агй т + 2п)ч )5 = Оуа 1,'-2..

Агсмпх= — !!о((х-з)1 — я ) Лгссову= — 1!.п(тч тх — !)

Функция и=!)(к) пазывасгся анагн гнчсск!зй в инной !очке А есяп о1ю гнфферсицирусма как в самой точке к. так и в некоторой сс окрестности. Фзпкция п=Г(т) нгпьюаезся вняли пзческой в об:юсгп О. сслп она аналитична в ка кпой точке ти(!.

Произволиаи аналитической фтикиии

и =- Г(х) =-1(1 +)) ) =- п(т.у)ей(х.з)

ги . От ст Рп сзп . ги 171 . гз.

1'(х) = --.-ь ! г!х сх гз г'1 Ох Гз с! Ох

27

5