Задача: Решённый вариант 14
Описание
Характеристики решённой задачи
Список файлов
- Вариант 14
- Thumbs.db 39,5 Kb
- Изображение 000.jpg 194,69 Kb
- Изображение 001.jpg 173,99 Kb
- Изображение 002.jpg 177,33 Kb
- Изображение 003.jpg 164,69 Kb
- Изображение 004.jpg 168,68 Kb
- Изображение 005.jpg 188,04 Kb
- Изображение 006.jpg 138,36 Kb
- Изображение 007.jpg 203,32 Kb
- Изображение 008.jpg 180,04 Kb
- Изображение 009.jpg 187,82 Kb
- Изображение 010.jpg 139,15 Kb
- Изображение 011.jpg 160,33 Kb
- Изображение 012.jpg 190,63 Kb
- Изображение 013.jpg 151,7 Kb
Распознанный текст из изображения:
Задача 1
,'!'Ф(лП ' 2007
1
Данный лла~е)зиад подготовлен на принципы информационноконсультацпонного материала с целью закрепленпя у школьников и студентов навыков практической реализации знаний. приобрезенных в объеме курса по теме «Теория функций комплексного переменного». !)астоя~пий лзатериач предусматривает широкую варназпвность приемов и методов закрепления полного курса в объеме семестра по разделу «Теория функций комплексного переменномш в «Выснзей математике». Рекомендуется изучение данного материала в сопопгавлении всего объема предложенньш решений. Задачи. не представляющие осооого интереса, были исключены нз предложенных решений.
В серии представлены консулыацнонные пособия по
следующим темам:
» Интегральное исчисление
» Дпфференппальные уравнения
» (()зазнъге интегралы
» Ряды
Теория в«роя~настей
» 11ределы
* ТФК!!
» Аношин мекая геометр«и
Лпненная алгебра
Векторный анализ (злементы теории поля)
Г'
! — 1 — ~~'3
Найти все значения корня: ',--- 32
)(арень и-й степени пз комплекса«до числа к нлзеет и разных значений, которые находятся по формуле:
— гр + 2л(л . гр + 2кй )
бт =з(!х!! соз .»!з!п !
и и !
р» = агй(т); ): = О,!....,п — 1: з» 0
Подставляя в зтл формулл различные значения )т найдем
Г1 =((
все значения корня л~
32
г
„'-1 — (л)3 ч3 . 1 Г1 — !«3 .~3 1
32 4 4 ( 32 4 4
„-1-!Л 1 . »3,! — 1 — !Л 1 АЗ
32 4 4 ! 32 4 4
,! - 1 - ЫЗ ! ч'3 . 1 3 . 1 1 . ч'3 1 .; 3 1 32 (4 4 4 44 4 4 4~
Задача 2
Предсгавнть в шпеоранческой форме:соз(я(4 — 2!)
Используем формулу косин)са разности:
сол(л!4 — 2!) = соя(я)4)соз(2г) +з!п(к(4)з!п(2!)
Представим тригонометрические функции с мннмымн
арглменгами в виде показательных:
1 е' 'с'
соз(я!4)соз(2!) «зйз(а)4)лзл(2!) = =—
Я
1 е — е ~ 1 е»с 1 .,' 1 с — е
! е ъе ) ( ! е — е
Ответ: соз(п г4 — 2!) = ! — ——
»
Распознанный текст из изображения:
тякв,в в ~1в
)ялвчя 3
Прелстввнть в гшгебрвической форме:
' 8е!303 ',
А "Оз!
7
хввл-вввввм'в
Задача 4
Вычер.пгть область. заданную неравенствами:
- ' !! > 1. — ч(4 с ягй г с О
Цгункция Ашгй является многозначной и в обшел! виде
определяется следуюшнм образом:
г.' . ! ! 1 ее!
Агс!Ь х = — ! Агссгй! — ' ~ = — ! — Еп — ' — = — (ш
2 к . 2 г — 1
.!- 1
!
8егЗз)3
1!одстввнм вместо х значение — — —.:
7
8-ь !ЗчЗ
8+гЗОЗ ) 1 7 1 8ь!ЗЛ е7
Агс!Ь ~ =- — 1ш = — 1.п
7 ) "- 8ь!ЗД 2 8ь!ЗчЗ вЂ” ?
— — 1
7
1 !5ь!ЗЛ 1 ~ 5+!Л )
= — 1.в -;= =- — Вп 3
2 1ь!Зь'3 2 ( 1-;-!393~
Логврифмнческвя фу нкция 1.п(х), где ге0. определяется как
фу шгцги. обрвтпдя показятельиой, причем:
1 и т = (п!х, .-в ьйг8 к =!и х1+ !(а!8 х+ 2к)г ) Ь = Ок! +'....
Полстдвнм это выраягенне в полученное выше:
1 („5, ЫЗ ! 1,, 5ь!Л! . ', 5ь!Л
з
= — 1п(3) з — ! вг8~ 3---- — — !+ 2сй ! е — 1 099 ь — ( — — ь 2кй ~
Е = 0.81,'
: 8 !3 '3 ' ! , ! ! х ,
С!' в" Асс!)1 .- — '.— - - . = - 1099 - — — — '+ Зт): '.Ь =-Осб(Ы,...
в
!вгг)
в
Нв(х)
Звдвчя 5
Определить вид кривой:
х = -4зЬ5! — !5сЬ5!
Уравнение вида х = х(!) = х(Ц + гу(!) определяет нп
комплексной плоскости кривую. параметрические
урввнеиня которой имеют вид х = х(!), у = у(!). В нашем
х(П=-4зЬ51; у(1)= — 5сЬ5!
Вырвзнм пврвметр ! через х и у:
х 1 (х)
х = — 4ьЬ 5! =в зЬ 5! = —.'— =в ! = — — шх)з~ — !
4 5 ~47
) = -5сЬ51.=в сЬ5! = — — '=в ! = — вгс)з~ — — ) = — гггсЬ вЂ” '
Получим уравнение кривой в виде Г(х,у) = 0:
'х) ()1
()твет: агзй~ — 1+вгсЬ) — ' 1= О
Распознанный текст из изображения:
Задача 6
11ровернть. что о явяяется действительной частью
ааадитнческой функции. Восстановить аналитическую в
шгРестноств точки зч фУнкЦню Т(7) по известной
дейсгвитсльной части п(х.у) и значенин1 1(хв):
в = х — т — 2х+!
Т(О) = !
Зная действительную часть аналитической функции, можно узнать производную аналитической функции по следующей формуле:
гц .еи
1'(71= — — 1-—
дх д»
Найдем производную аналитической функции:
Г(х) = 1'(х + !у) =. 2х -; 2!у — 2 = 27 — 2
Задача 7
Вычисянгь ннгеграл от функции комплексного
переменного по данной кривой:
(сйз ь хк(7: С:!7! = 1:(пзх < О!
Поьжкем кривую, по которой должно проходить
интегрирование:
Проверим исходную функцию на анатвтгзчность. 2(ля зтогоз перейдем от функции й(7) к функции 1(х.у)=н(х.»де(я(х.»). где 7 =х'! (ч;
1г .„г
1[7) = сй(х з(у! + х + !у = — 1с ч + е )+ х ' гу =
2'
с" +е' .е' — е'
сову ь х ь !( — ып у+ у)
2
Т.к. производная существует, то н является действительной
частью анюзнтззческоз» функции. Теперь. зная производную
анавнтической ф» ньции 1(л), можно найти саму функцию с
точносгью:го константы:
Т(7) = !(27-2)г(7 = 7' — 27ьС
Определим констшп» С:
ПО)=Π— 0 ' С=!. С=(
Ищк. анадиышеская функция 1(7) выглядит следующим
образом:
Г(;) = 7 — 2771
(м нег 1'(7) = 7 — 27 . 1
(сйе, 7Н7 = ~~ —. ". — -';7 ~г(7 = — ——
2
1
Отгет: )(ей 7. ' 7)77 = с
е
2! е
Проверим, выполняются ли усяовия Коши-римана.
А~ 1 ,зов 1
— = — е '(е 'сову — сову-~-2е' ! ' = — е "(ег* сову — со,у+2е') дх 2 ГЗ7
си 1,, гзт !
— = — — е 'з!и (е' е!); = — е "оп у(е'" ~-1);~
дъ 2 ох
дн дт
сх Гу е» ок
Условия Коши-Римана выполняются, следовательно, функция явдяегся анадитнчесьой. Тогда рез»льтат от пути ннтегрвроваиия не завысит:
Распознанный текст из изображения:
т~яьа В м.
3алача 8
Найти все лорановсьие рвало«кения данной функпии по
с«епе!«ям д
77 — 196
Г(а) = —,-- ——
72 + 77 * — 987«
!)Реобр«ыуеы ф) пкпню:
77 -196
?(в — 28) 7 7 — 28
7 ч 77' — 987 7 ба+14)(7 — 7) л' (7ь14)(в — 7)
!!Рсдставим один из множителей как сумму двух простыл
слагаемых:
А В Лх — ?Л.!- В7-!-14В
7 — 28
(7414)(л — 7) ть14 7 — 7 (хь!4)(и — 7)
и — 28 2 1
(7-«14)(я — 7) я 414 7 — 7
Осек«ла Г(. ) примет следующиМ вид:
л ' ~ !
Г(я) =
7';7 14 7 — 7
Г)собые топки. 7 = 0: 7 = 7! я = — 14
такн. мь
Рассмотрим оГ«пас! ь(7! < 7:
7 ! 2 1 ', ! ! 1
Г(7) =
~7 — !4 г — 7,' 7- !1
= —.. ! ! '1 - — — + ... ~; 1
!', !4 !96 2744
',л' 14'" 196 2744 1
Рассмотрим область 7
1
7. 7. 7
7 49 343
1 !
77 49 343 !
Г(.) = , ~
7 1 ". ! ь ! ' ! 7
7 7'14 а — 7, 7;!+ ' 7(! — ))
т1 т 7' 7 ) 77 49 34 40!
7 !( 14 196 2744 ! та 7«7' 7' 1)
! ! 7 ~ 7 т 49 343 740!
!, 7 147 !96 2744 ? ( 7' г' т 7"
Рассмотрим облав«ь!7!' 14:
2 ! ' 1 ! !4 7
Г(я) =- — ',,;
7 . а« !4 7. — 77 ж 7(1-«-",) 7(! — —,)~
! !«14 !96 2744 384 !6 ) Г 7 49 343 240! 31!
7 ((7 7 7' 7 ! (7 а
1 14 !96 2744 38416 «, !7 7 49 343 240!
,7. Х 7 7, (7 7 7 7*
Ответ:
Г( 1 1 7 «!'1 1 1 7
!7 < 7: Г( я) =-~ — — — е — — — — '- -«.. ( ' — + — +-- -« — +
147 (96 2744, ~7 7к 49 343
1 ! 1 1 7 ) 1 7 49 343 2401
7
ба ! 4 196 2744 ! 7' 7"' 7' 7"
114 196 2744 38416 ' Г 7 49 343 2401
~47 !4:Г(7)=! — —; «
,7. 7 7 7 ! 7. 7 Л а 7
Распознанный текст из изображения:
зькп. в я
якая ья я
10
)влача 11
Определи ~ ь шп осооон' точки л.= 0 для данной функции;
сокЗл.— !
Пл) =
япл — лглз)6
Представим ю ф) нкцию, каь отношение функций й(л) и
Ь.(л):
со 'Зл — ! й(л) й(7) = сокол. — 1;
Пл! = — ——
япл — к+л' '6 Ь(л) Ь(л) =япл — лгл','6!
Для каждой пз функций найдем порядок произнодной, не
обрашаюпшйся в ноль при л = 0:
й [л) = — ЗяпЗл: '(0) = — ЗяпО = 0
а" (л) = -9сокЗл!а'(О) = — 9соз0 = -г)
Ь(л) = соя л ! — 1 + лз ) 2; Ь (О) = сок Π— 1 = 0
Ь" (л) =. — яп(л) + л:Ь" И)) = — кшО з-0 = О;
Ь"'(л) = — сок(л), ЬЬ"'(О) = — сокО +1 = О:
Ь (л) =ай!(л):Ь (и) =япО=-0:
Ь'(л) == сомл):Ь' (О) =. сокО = 1:,
) ак как порядок пронзводнои. не обращяошейся в ноль прп л = О вьшю лля функции. назодлшейся в знаменателе. го точка .. = О валяется пошосом фзнкппн. Порядок зто! о пол!оса нахо:дыся. как разница межах порядками производных. нс обряпаняцнхся в ноль прв л = 0 для функций й(':) и Ь(, ! )) данном слу ше. зто 5 —. 2 = 3.
Озвсг; )о !ка .' - О является по:поспи Зно порядка,ыя
!ала!шой функции.
Задача 12
Для данной функции найти нзо,ярованные особые точки и
определить их !ип.
япЗл — 3яп л
р(л)—
л(йп л — л)
Изолированной особой точкой является л -- О. За!пинам
данную функцию в ниде отношения я(л) и )йл):
япзл — Зяпл й(л) = к!пЗл — Зяпл
р(7! =—
л(япл — л) Ь(л) = л(к!ил — л).
Для каждой нз функдкй найдем порядок производной, пе
обрашаюшейся в ноль при л = 0:
й(0) = О:
й'(л) = ЗсокЗл — Зсокл!й'(О) = 0:
и" (л) = -9яп Зл в 3ьш л:й" (О) = 0:
й"'(л) = — 27сокзлгЗсоклй"'(0) е 0;
Ь(0) = 0:
Ь (л) = ялл — а+л!Соьл — 1):Ь (0) = 0;
Ь"(л) = 2сокл — 2 — ляпл;Ь"!'О) = 0;
Ь"'(л) = — Зяпл — лсокл!!з"'(О) = 0
Ь'"(л) = — 4сокл !-ляпл:Ь" !0) в О
Так как порядок произволной. не обрашаюшейся в ноль при л = 0 вы!пе для функции. находяп[ейся в знаменателе. то точка л = О является полюсом функции. Порядок чтото полюса нахошпся, как разница между порядками производных, нс оорашаюшихся в ноль. В данном случае, зго4 †3.
Ответ: Точка л = О лля данной ф) нкции является полюсом
1-го порядка.
Распознанный текст из изображения:
тека в я ~с
Задача 13
Вычисли~ь цнз страд:
Задача 14
Вычислить ннтегрс к
~ —; — 1?
Л
соя? 1
, — о?.
сгм ? — 1 ' 1
= йгзг — — — =. ?+ 2,
'~7(?)г(? = 2л(~ гез Г(?)
В таином слзчае
-е' †?
г)? =Вю 1=-Вю'
соь ?ь1
Ответ: ],—.— '-;- с1? = 2г
?, —:г
г е — ?
Ответ: г] с-сг)? = 2Я(
?з
Навдем осооые точки функции !(?):
)очка и = -л нс входит в область, ограниченную данным
контуром, поэгому не рассматривается.
'1очка ?~ . з является простым полюсом. Наидем вычет в
этой точке:
(? — л)(соа ?+1)
гез, Г(?) = йт(!(?Вл — л)] =!пп—
Отсюда следу югций результат:
соз ? 1 .ть . . 1 — г:. — са = 2к(~~ гез, Р(?) = 2л( . — = 2г
У тюй функции одна особая точка: л = О. Используем
разложение в ряд Лоргша в окрестносгн этой точки (т.е. по
степевям ?). чтобы определи и, ее тип:
4? 3?' 16?'
— л ']1. 2?з ->
е х 3! 41
? 7.
! 1 4 3? 16?
? ? 2! 3! 4!
Правильная час п получившегося ряда содержит
бесконечное число членов, из чего следует, что зто—
полюс. Порядок полюса равен порядку старшего члена
главной части. Таким образом, ? = 0 — это полюс 2-го
порядка и льнет находится следувнцнм обрюом:
г)
геаг(?) =1гпз (Г(?)?з]= Йш — (с" — ?)=
о г(? ' г)?
= йгп(2ез' — 1~= ' — 1 —.1
' з
По основной теореме Копггг о вычетах:
Распознанный текст из изображения:
)ад'эчя 15
Вычислить интеграл:
- сЬ4г - Зг -1
г)г
г з)э(6г г 3 )
Особые точки этой функции г =- 3)йэ8. Однако в контэр
попадает только г = О. Определим тип этой особой точки:
сЬ4г — Зг — 1 8(г) З(г) = сЬ4г — Зг -1
Пг) =
г'зЫЗ: '3) Ь(г) Ь(г)=г'з!э(Зг!3)
Определим порядки производных, ненулевых при г = О.
Ь!ы уже неоднократно использовали это! прием, поэтому
на сей раэ мы опустим детальное и громоздкое вычисление
производных и скажем только. что а результате этих
дерютвий мы определнян. что г = 0 предсщвляет собой
простой полюс. Тогда можно рассчгпать вычет а этой
!очке с!!ел) эощиьэ образом:
1 с!э4г — Зг — ! 1 !используем пра - !
~ ез Г(г) = бпдГ(г)г) = )пп,'
— гэз!э(8г(3) э !вилоЛопнталя
4зЬ4г — 16г ' ~ используем пра -1
"' Згэз!э(яг '3! е '., г с!э(кг э 3),~ ! вияо Лопиталя
16с64г — 16 ,'используем пра -!
-""1(бг -';,'г )з)нхг 3) .)бг с!ИЗг ° 3),! !внлодопипьзя
64зЬ4г ! ,'используем пра -!
-""' (6" 64э' М!э(8г '3э ' (48гэ '„',-г'эс!э(8гээ)) ',вяло Лопитсля
256сб4г
Ьпэ
'", (64- -",' г' Мьэкг!3Э- (256г э ",',"" г ЬЬ(хг(31,. 64
По ощэоьной теореме Еощн о вычетах:
сЬ4г — Зг — 1
01 г = 2я),Г ге й ВП = 2гй 4 = Зтб
г, зЬ(8г э 31
г сЬ4г З..э — 1
Озвэпз З -'-. -- сг = Зю
г 'зЬ(8г ' 3)
гааяк,яам
Задача 16
Вычислить интеграл;
3 2 сок ",'
) ~гс!э — . ——
-э-.' г э (г 3) (г 5))
Разобьем этот интеграл на сумму двух интегралов:
3 2 соз '.,'
э) гсЬ вЂ” бг ь ~ —, ' э(г
Рассмотрим первый ннтегращ
3
гсЬ вЂ” — — дг
г — 2
Перейдем к новой переменной:
) ! =-г-2) ' э
э =э гсЬ вЂ” =(г-, 2)сЬ:
!к=!+2, 7 — 2
!эдэиэственээой особов точкой этой функции является г — 0.
Чтобы определить ее тиц. Разложим функшцо в ряд
Лорана:
П ' 2)сЬ--=(! . 28 1 —;+ — р+
2!! 41! 61! 8!!
3' У ~) ( эз' 23' 23'
— г + — ";: — г -г —; е .., , '+ ! 2 + — -,— е — — . — — — + ... ~ =
2!! 4!гэ 6!! )! !„ 2!! 4!!' 6!!"
тг 2.3г 3' 2.3' 3"' 2.3э"
2!л 2)гэ 41!' 4!! 6!!' 6'т' 8'!'
Отче глино аидно, что !данная часть ряда Лорана содержит
бесконечное ко:шчество членов, нз чего следует, что 1=0
является существенной особой точкой. Тогда вычет в ней
находится следующим образом:
гез (! 2)сЬ вЂ” )=С, =
г~ 2!
14
Распознанный текст из изображения:
тек п,ввв
твкп. в т.
Таким образом
той — — — з)7 — — !) (! э 2)сй:з)7 .— - 2ю гез! (1 + 2)с11 — ~ =
!' 9 '
= 21п'.! —. ( =')Ий
Используем вычеты для вития ьпорого интеграла:
2 сок,'
117.
.. Ви — 3)т(7-5)
1очка 7.=3 яяляется полюсом второго порядка. Найдем
вычет а !той точке:
й ~ (и — 3) 2соз'-, 1! . 1( ~ 2созз'-!'~
гез1 Ра) =)лп ~ —.— 1=1нп
'!)7~ (7 — 3)т(7-5) ' 'Ж~ (и-5) )
-.- Ч 3(7 — 51 ~ 3,1 (и-5) 1, 3,!)
Таким образом:
2соз ".,'- в — — й/ =. 2л!. тезП (7) =
, рк — 31! Вг — 5)
1(ай;зем искоднып интеграл как сотстаидяюпн!ь сто.
3 .сов=,
1 тс11 - — — ! — — —.-' (!)7.=
д - 7 (7 — 3) '(7. — 5),1
(13
2тп ! — ,'=ч!
сумму интсгралои,
3
той --'- — Ь
7—
2 сок ",
йт = 9я! ч лт = (йгб
, (7. -3) (к — 5)
йсоз"
()!Иет: 3 ! 7с1! —:-- — —.,— — !Й7..=.10 и
к —" р7-3)т(7-5),1
У подыитегральной функции есть дяе особые точки: 7=3 и
7=5. Прн этом гочка 7=5 не оплачена контуром, по которому
протопит пнтегрироаание. и не рассматривается.
3адача 17
Вы !нслить инте!)тад:
о!
,, 5- к 21з!п1
Интеграл такого вида может быть лреобразоаан л
контурный„используя следуклппе выражения:
1; Дт.
)К(спк !.Ип 1) 1! = 77(т)дт.
Восполтоусмся !гимн данными л переидем к контурному
ин'и".г)залу:
Гй ~ З)7Д !7 т !)7
в 5 — Лами! „,,5 — ",'(7 — ) п,517 — ' (7. — 1)
207. "д7
,,! 01И вЂ” з(21 (7 — 1),, — з 21(7 - )з 21 ! 7К7 — )Л1,'3)
Полыитегральная ф 'нкция имеет дае особые точки:
7=1 '1 7; 7=1721(3;
'!очка ! 2 21 73 не попадает а область. о! раниченную
контэром ннтегрироаания.
Точка '!7(21,17 яадяется простым по:носом. Вычислим а
мой то !ке льнет:
геь Т(и)= 1!пз [Пт)ра — )С2! 7)) =
7 2
— 11т
' — ч7)(7 — 1к21,*3) — „'71(! 21(7 — !Ч '113)
По о!полной теореме Копки о иычеткс:
'!!7
— = 'зги 1еяу(7) = йл!
,;2!(7,„,,'.'1 7)(7 1з!21 31
гй
!йтас: ) ...=-- -- = л
. 5 - 921 мп1
Распознанный текст из изображения:
тек я,ваь„,, ь с
Задача 19
Вычислпзь инзшрвл.
—;-: †. точ
(ьз +5)
) к (ссь !. па !)ж — 5е(тик
~К(х)!)х = 2л(~гев)((х)
Опю*.. ~ —.—;ч)х = — —:.
;(т ч-5(
18
1й
Задача 18
Вы !испить интеграл:
'6 соь. !)-'
Интеграл тако!о вида может бьшь преопрвзован в контурный„
используя следуюпые выраженяя
(( !! ! !) Ь
= с', сот ! .— — ! т + —: кш ! = —, т - — р ж =—
ать тз 'ы
Вькпользусмся этими данньши и перейдем к конг.рномь иьпегркзу:
, (;(6 . сов!) и . (66 4! (г ь '))э
— г(к И ' !1((л+ьбтч5)(геьб Л)~
Полынтегральная функция имеет лве особые точки:
х =-~б 4~5; х = — с(6 — ь(5!
Г гс
'(очка г = — ~б — ~5 не попадаег в обяасть, ограниченную
конта ром интегрирования.
Точка х = — бб 4 ь(5 является полюсом второго порядка.
Вычислим в этой !очке вычет:
а
гс. ((т!.— (пп — 1((я)(я-Лть(6)'1=
'ш
Е 4т 4 . д т
" "г(т;~~ттчз (6)1ь ! о"' йс (к. ~Гз ело(ь
4 Гьч '5 — т 4 46 (з,ьб 5 4 2,6 (6
— )пп
' ' ' "''* ! '6 -тз т) ' (сбь з5 — бчс5)' ' (2>5) зьбь
По основной теореме Коши о вычетах:
4ейх
»- ()(г ' ь(ь тььч)(г-';сб — >Г5)1 " 5>5ь,: 5ь(5
Ответ' )' '- = -2 — я
,, (сб с05 !)' 5;5
Известно. гго сслп ф) нкння рациональна. а ее числитель н знаменатель представляют собой многочлены. причем степень знаменателя по крштней мере на две единицы больше степени числе!ела, го можно применить след! юшую формул!.
сумма вычетов оерезся по всем
полюсам полуплоскости 1ш х > 0
Преобргыуем исходный интеграл
Особые точки:
я = ! с 5 ()шх > О); я = )ч5 Ой!!в О)
ГТочка в =)ь(5 является полюсом вьоршсь порядка и вьшет в ней вычпсяяезся слелуюппзм образом:
С( . ьсс . ь)~ х
'.-Р(к)=1 --[!(в)(-- С5) )= 11 .--1 — — -'-- —.1=
-.'ОЯ .'с1Я, (х )чг5)ь !
2 .ь'17 1
— )пьь
!..ч !>5)' ь4сб
Исполшу и прпвсдснн) ю в на кше задачи форму.!ь
я
, -ф-,-йх =. 2ш
(х —:5) ь4з5 2зь5
Распознанный текст из изображения:
гялв. .я г
Задача 20
Вычислить инге~ рал:
Нг) = — ).т!(( — а)+ . !(( — 2а!
Вр! =- — с "" — е
р р
1,„2
()твюз )(р! =- — — с '" + — е '
р р
20
Для вычисления интегралов гакого вида применяется
спепиазьная формула:
)Р<(х)з(гзХхз(х = !пз(2л(~гекР 0
Исходная функпия полностью удовлетворяет условиям
применения даинои формулы.
Найдем к:
х + 'х + 2 =- 0 о к,, = — 1 и !
С) мма вычетов берется по верхней полу плоскости 1гп л > О.
Из зтого сдедуег:
к„= ( — 1ег)
Эта осооая точка является простым полюсом. Найдем в ней
вычет:
(ка1)(к+! — г) „.. к+!
гек !!(к)е"' = 1!пз, е" = йгп - е" =
к е2к+2 ' -"кь1з-!
— — — е" "=- — е 'оо = — е )соз(-")еггйп( — 2))
†!'!+!ь( 2г 2
Используем записанную ранее форму.ту и найдем интегргьз:
'(х а1)зад 2х
~ — .хв>'"~=
з а2ха2
'г(х ' ! ) з)п 2х
Озвез: 1- —,— ' — 3х =хе 'соз2
)адача 21
!'!о псиному граг)~гзку ориг инала найти изобрагкенис:
,(((г)
о~
а 2а За
Исходя нз стого графика, запинки оригинсы функпнн:
(О. О
1'(!) = ) — 1. а . ! < 2в ',1. 2а <з
Используя таблипу преобразований Лапласа, найдем изобраткенис функпин. как сумм) изобрюкений слагаемых орззггггзиза фз нкпии:
Распознанный текст из изображения:
твкя,вдяиг и.
'Задача 22
Найти оригинал по заданному изображению:
'!3 ч
[р+1)[р +4р 5)
Врсдставггьг жо выражение, как сумму простых слагаемых:
3!з.~. 2 А Вр е С
(рт1)(р е4ре5) р 1 р- ч4рч5
Ар +4АР+5Ач Вр'+ Вр+Ср+С
[р ' 1)(р ьдр-ь5)
(А ' В)рз, (4А з В ч С)р+ (5А+ С)
(р+1)[р -ь 4рч-5)
Решив линейную систему уравнении. найдем А. В и С:
'АеВ=О ~А= — 172
4А . ВчС=З- 'В=172
5А —. С =- 2 ',С = 972
Такггхг образом:
з 1 1 1
г
По такому изображению найти оригинал несложно:
1 1 1 р 9 1
2 р+1 2 р '4р 5 2 р+4р+5
1 1 1 р 9 1
2 рч1 " (ре2! е( 2 (р+2) е1
! 1 1 р-2 7 1
р-ь1 2 (ре ) ч( 2 (0.2)з '1
1, 1 и 7
— — е ' + — е и соз г+ — е а я(п !
(!тает: о(игыгнал фг нкпйн выгдядйт сггедуюшйм об)тазом:
1 ., 7
— — е '; — е' ' соь ! т — е ' з(п
2
Зала ш 24
(Зпз рапиониым методом решить задачу )зонги;
) (О|; О. у [О) = !.
Из ~корпи нам извеспю. что если х(!) сожветсгв)ет июбражеиие .'.(р). то х'О) сопвегств)ет р.Х(р) — х(0), а шВ соозвегспзуег р .Х(р) - р.х[0) — х [О!. Руководствуясь ними соображениями. перейдем от оригиналов функи~й к их изображенияч:
3
2р' У(р) — ру(0) — Ох'(О)+ЗРУ(р! — Зу(0) У(р) =—
р-!
2р У(р) — 2чЗРУ(р)ч У(р) =
р — !
3 3+2р-2 Зр+!
(зр +Зр-ИУ(р)=(рь))(2рт!~У(р)= —.+2=:
р-1 р-! р-!
2ре( 1 1
УЗР) =
(р — 10р 1)(2р+1) Гр — 1)(ре!) рг — 1
Наблсч оригинал у(г):
1
У(р) = —;-- . = у[!) —. ьЬ !
р — 1
[)гвег. у(г! = я1з !
игхчк
Распознанный текст из изображения:
ткал вяя ]н«.
Зядячя 25
Материал,пы точка массы гп движется прямолинейно. отталкиваясь от начала координат с сидой Рь=йх. пропорнноньыьнон расстоянию. На ]очку действует сила сопрогнв.юн]гя ср~ды К=гт, пропорциональная скорости а Прп ]=О расстояние точки ог начала коордннвт хл. я скорость ]л Найти закон движения х=хО) материальной точки.
й = 4]п, г = 3 ив хл = ! м. ял = ! м)с.
Исходя пз втор]]го ]вконв Ныотонл:
ап = Ьх — г]
.'зп — гх + Ьх = 0
Нвчяльные условия:
х(0) =,„=1
х(0) = яя = 1
Подстявнч значения й н г:
хп] — Зп]х ' 4п]х = О
С окрвтпм все выражение нв пк
х — Зх 44х =0
Перейдем к изобрвжениям функции:
Р Х(Р) — Рх! 0) — х(0) — ЗРХ(Р) 4 Зх(0) «-4Х(р) = 0
(р -Зр+4)Х(р) — р ' 2 =0
Х(р) =
р — 2 р — 2 р †', 1
Р— бр+4 (р —,') 4] (Р—,'-) +-; 07 (Р— 4) 4,
По такому нзоорнженвю несложно найти оригинан
,,77 1 ]о] Л
хП) =е" соз. ! — =с" жп- — ]
ч7
Ответ: х(!) = с соз ! — — =е ' ' яп — !
т 2
3ядячя б
Ре]юпь систем) дифференциальных уравнений:
!".=Зх 5],2
]=3' .'«1
х(О) =- О„) (0) = 2.
1!треплем к пзобрвже]пням функций х н у: ; РХ(р] — х(0) = ЗХ(р)-г 5У(р) е !р
',р«г(Р) — у(0) = ЗХ(Р) , 'г(Р) е1'Р
! !олстввим начальные условия:
]'РХ(р) = Зъ;(р) + 5']'(р) «- 2 р
(РЗПР)- .-ЗХ(р) у(р)е! р
Выразим Х(р) через ]'(р), используя второе уравнение.
р]'(р)-2-Урр)-1'р
РУ(р) — 2 = ЗХ(р) + У(р) «-1! р =] Х(р)
Подстелим полученное вырвжевие в первое урнвнепие и нейдем ]'(р)]
ГУ(Р)-2 — ']]Р]-]'Р „Р" ]Л)- 2 — У(Р]-]:Р
3
2Р -' 3'р
у]р):: —-- р — 4р — !2
Зная изображение функции. несложно нютки сс оригинал:
2р — 5 .3'р р — 5 3]]р ! ],р — 6 у! Р)]
р — 4р - ]2 ]р — 2) — !6 4р 4р (р 2) !б 4р
9 р —" 3 4]
.! ]р - 2] — !б 8] ]Р— 2] — 16 4р
-] г!) -",е ' со]ля ° '„'---' ил 4н — ';= — 'е сйз]- (е'ЦЬ4] — — ', Зпяя у(гь нейдем хВ).
; = Зх — ! = х(П =-! (у — ) — !) = ] (Зе'сй4! - -',]4]зЬ4!— — ';с 'сй4(е —;.'зй4! ч! -1) = — ',е 'сЬ4! — '„'е 'яЬ4! — -'. О]вст:
м!) = -е 'сЬ4! 42]е'зй4! — —,'
](П вЂ”,е сЬ4! з Ь4!
Начать зарабатывать