Задача: Решённый вариант 9
Описание
Характеристики решённой задачи
Список файлов
- Изображение 000.jpg 170,81 Kb
- Изображение 001.jpg 155,8 Kb
- Изображение 002.jpg 192,11 Kb
- Изображение 003.jpg 165,36 Kb
- Изображение 004.jpg 170,67 Kb
- Изображение 005.jpg 219,83 Kb
- Изображение 006.jpg 154,14 Kb
- Изображение 007.jpg 194,97 Kb
- Изображение 008.jpg 175,65 Kb
- Изображение 009.jpg 181,2 Kb
- Изображение 010.jpg 156,87 Kb
- Изображение 011.jpg 165,4 Kb
- Изображение 012.jpg 189,29 Kb
- Изображение 013.jpg 155,88 Kb
Распознанный текст из изображения:
Задача 1
Найти все значения корпя: й — 16
сТФК!3 ' 2002
Данный матсршш подготовлен на принципах информационнокоисультацвонносо ссашрнзла с целью закрепления у школьников н ст тентов навыков прзкснческой реализапип знаний, приобретенньг в обьеме курса по теме «Теория функций компдекснос.о переменногоэ. Нассояшпй материал предзсматривает широк)ю ва натнвность приемов н методов закрепления полного кзрса в объеме семестра по разделу «Теория функций комплексного пе сменного» в
ногос в «Высшей математикея. Рекомендуется пзученис данного материала в сопоставлении всего объйма предложенныл решений. Затшчн, не представляющие особого интереса. бьши исключ«ны из предложенных решений.
В серии представлены консультациоцныепособияпо
следующим темам:
« Испегральное исчисление
Дифференциальные уравнения
Кратные интегралы
Рялы
° Теория верояпсостей
Пределы
«;, :ФКП
* Лнзлитичсскзя с еометрия
«Линенная алгебра
Векторный анализ (элементы теории поля)
Корень и-й степени из комплексного числа я имеет и
разных значений, которые налодятся по формуле:
— ср -> Зк1с . ср+ 2яй 1
з к =" .а)) соз — +сз)п — —;
и
и
ш = агй(к); 1, =. 0,),....п — 1: х «О
Подставляя в зту формулу различные значения )с. найдем
все значения корня 0 — 16:
()' ! б =.,)2 ь 1,~2
сз) — 16 = )2 ь),сб
'ч' — 16 = — я)2 — )з:2
() — 16 = О-. — Ы2
Ответ: 0-16 = (,2 )л)К 2 «1 ~з.,з
Задача 2
Представить в алсебраической форме: ! ц 3 .;)
Логарифмическзя функция Вп(х), где х«0, определяется как
функция, обратвая показателыюй, причем:
1 па = (п)ха сдгйх = )п~х(г !(агйх — . 'Зк1 ).1, = О+! +2....
Подставим в му формзлу значения т:
1 и ( )3 «с) = )сз) ) 3 а 1~ а )Лгй( з 33 г 1) =1п 2 + 1(агя(я) 3 «П т 2к1с )
й = Охб).а2....
Вычислим значения логарпфма н аргумента:
Вп(ЧЗ «П =0693а К вЂ” Зкй),)с = О а!+з,,
к
б
Ответ: 1 и (-,с3 + с) = О 693+ с( — + 2хх ) ~ = О я).Ы....
6
Распознанный текст из изображения:
Лгсв!ив = -1(.п!17 + м! — к )
(т)
Задача 3
Представить в алгебзранческой форме:
. !17'!
Лгсв!п~ — !
3 '
Функция Лгсьйп является многозначной и в общем ниле
определяется следукндим образом.
17
11одстаним взп:сто в зла'гениев
17 . 117, ) 717)
Лгсв!и —.= — В.ш — ! ь !1 — ~ — ) 8 )8 ),3)
! 17. ! 225 !
= -!! п~ — 1 + !~ —: ! = — !).п(4 г)
й )( б4 )'
7!оз арифьгическая функция! п(к). где каО, определяется как
функция, обратная пшазательной, причем:
1.их = 1п!т! ' )Лгйг =- 1п)к!+!(агйг+2кг) 1: = Ох)+2„...
1!олставнм зто вырагкеине в полученное вылив:
— й п(4.!) = — !)1и!4. !!ь!(щ (4 г) ь2хй)) =
— )йз)4)- агй(4 1) 2ик = — ! ),Зв(г+ — т
2
Ыз, - Люяп! ~ = — .! 786-' .— ь 2ткЛ вЂ” Π— 1 — ' — ".
Задача 4
Вычсртгиь ооластгь ыданную неравенствами. )к — ' — !! < 2. Рзе к = 3, )пг а < 1
3 -! 0 г 3 3 вег !
Задача б Опрсдетить ви.! кривой х =- сгй с — !2 соь ее ! уравнение вида х =- т(!) = х(() —: !у(И определясг на комплексной плоскости кривую, параметрические уравнения которой ямеют вгьт х =- х(1). у =: у(!). В нашем случае: х(!) = с!О ц у(!) = — 2созес ! Выразим параметр ! через х н у: х =- сей! =э г = щссгй)х)
у = — 2соьесз=:- з)в!=-к~ != „;„)
миг
— — — )= — агсв!и л
!)олачпьз уравнение кривой в виде Р(хб ! = О:
агссгй (х)= - аюз!и ! — ( ю агс )в †, — мсс$й (х) = О
Ютв.т. а:смп ! — ! - ассе!к (х ) — П
Распознанный текст из изображения:
Задача 6
Проверить, что с является мнимой часзьиз аналитической
функции. Восстановить аиаяитическую в акрестносзи
точки хс функцию ![х) по известной мнимой части л[х.у) и
значению !(вфв
(х.1) еу
1(0) =1
Зная действительную часть апалитнческой функции.
могкно узнать производную аналитической функции по
следующей формуле:
с)з . сз
П(2) =—
су ох
Найдем производную аналитической функции:
— (х «- 2х + 1 — у' — 2«ху — 2(у)
«
! (х) = Г [х ь !у) =—
(х ь2х —:!«-у )'
— [(л - Ц' — у' — 2!у(х «-Ц] (л+! — !у)'
((х Ц у ) [х+ !+ !у)'(х+! — г')
1 1
(х-1+!у) (г ' Ц
1.к. производная существует, то т является мнимой частью
аиа ш пшеской функции. Теперь, зная производную
вняли пс «вской функции йх), можно найти саму функшпо с
то шос гьк«до константы:
! 1
Г(х! = — ~ — —,«)к = — +С'
( а «- 1) к «1
(уоредесшм констант« С:
Г(0) = ! С =1 о С вЂ” -0
Итак, ана,!ин«ческая функция йх) выглядит сведующим
ооразол«:
1
1!х)—
1
1
Отшс Г(,)=—
г+1
Залача 7
В ычислить интегргш сл функции комплексного
переменного по данной кривой:
йе-«(х; ЛВ:,',х', =-1. Оп; > О), ВС' — отрезок,хг = 1[2, = з
в
в
Аж:
Покажем криву!о. по которой дол кно проходить
интегрирование:
Проверим исходную функцию на
аналитичность, Для зтого
перейдем от функпви Дх) к
функции Г(х.у). где 2 = х + !у:
Пх) = йс- = йе ' — =
х х+(у
с — 2!хл: — л х' -у'
г
х !-л" х -;зл
Проверим. выло сняются ли условия Коши-Римана:
Оо зх(2уз) сч со ск
дх (х «-у ) ду с'х су
Условия Кошгс-Рплзана не выполиянзтся. значит. функция
нс является аналитической. Тогда представим части кривой
в парах«ел ри веслом виде:
АВ: к(Ц = х(Ц ' !у[Их(Ц = (у(Ц = л! — 1 (ях = я( — 1)свв си(1)
ВС:х(!) = х(Ц-,ьу(Ц х(О = 1;у(И=О к„= х(1) хс =х(2)
То~да и~От~ исходный интас(зал «сесложно:
~Г(х)с(к = ~Г(к(ц)х ([уй + ~((к(ц)я ([уй =
,«вс
«в
Ответ: )1(к)с(я = — ——
«'х
3 3
Распознанный текст из изображения:
Задача 8
Найти все лораиовскис разложения лаииой функции по
степеняы у..
97-!Гз2
Г(г) =—
2г' + 97! — 81 '
Преобразуем функцию:
9г — 162 9 г — 18
97 — 16
27' + йгз — 81г г(г а9)(зг-9) 27. (7+ 9)(г-45)
Представим один нз множителей„как сумму двух простых
ела!тзеыых:
Аг — 4,5А -~ Вг+ 9В
(7 ' 9)(г — 4.5) г+ 9 г — 4,5 (г+ 9)(г — 4.5)
7-18 2 1
,'А=2)В= — В=в
(г" 9)(г-4.5) ге9 г — 4,5
Рассмотрим оолаеть!71 < 4,5 .
9 Г 2 Г(г) = —.)
27 'г+9 г — 4.5,! г )- 8 ! -7! = ....)), ' ' '-' ),! 27 47 8г'
8! 729 , ! ) и! 72 ) — 2 )г 87-'
729 ! ( г 9 8! ' 729 ' Рассмотрим оо ысть4 5 <)г < 9
9 ( " ' 1 Г 1 Г(г) — —.! — — -—
27 ',7-9 г — 45) г
! )! г 7' у' ' Г9 — — — !)1 — — + — — —, ...),! — -+ 7 (( 9 8! 729 7 )27 )1)гу))'98 , у. 9 81 729,, 27' 47 Рассмотрим область!г! > 9:
Отсюда Г(г) и)зимет следуюьиий ВИЛ:
')
Г(г) = 27 ! ге9 г — 45~
Осооыс точки: 7 = 0: у = 4.5; г = — 9
9
27 (у-9 7.— 4.5,! г ! У()- ГГ 9 8 ! 729 656!
7 ! у у у у
69 8! 729 66!
Ответ:
)У)<4.5:Г(г) =.! — — — ь — ' — .+
'1 ! г гз
( г 9 81 729
!'! 1;. Уз
4.5 < )г! < ); Г(у) =.! — — — -!.—
',г 9 8! 729
81 7з9 656!
!У)~9:Г(г) = —,
(.7. 7 г у
Распознанный текст из изображения:
Зялвчв 9
Найти все .юрвновсьнс рпзложения,чвниой функции по
С ГСПЕНЯМ 7.-77,.
ПЕ) =; —. е, = 2 4- ! 7 — 1
Преобразуем данн! ю функцпю:
743 2 1
Г(7) =- —,
7 — 1 2 — 1 241
Используем рсоложеиия в рял Тейлора в окрестности точки
еж
1 1 2 7 7. ч (-1) 2
Л
7»п В П П' а а'
" ( — 1)"(2 — ез)
— з
е — ! е — 1 (7 — ес)41+1, с, (1 . !)
( — 1)" (Š— 2»)"
Ф
(2 — 2»! Ззг,, „(Зьг)си
Таким оорвзом:
( — 1)" (2-2,)' " ( — 1) (е-кс)
1(е) = — - -- =" ~ — ' — — „,"'
— О+1)"' ' „с (3-»П
= ( — 1)'~,' — — — — — —., ~(Š— 2»)'
., з! (! с Йз ' (3 е()"
!
Отве!. Г(гы = ( — (Г'~ ( — -- — — — —. ((2 — -;, )"
Звлвча !б
Данную функцию рпзсюзкить в рял Лорана в окрестности
точки 7».
Г(71 —. Е.ып —.Е,, =!
." — !
11ерейдсм ь новой и~ременной 75=2-дз.
е, ггс1
7 =7 — 1:е чп — =(7 1)яп — — =(е з!)(Мп1соз — з соз(а»в
е 7. 7-
1, ! . 1, !
= е з(п (соз — е соя 1ып — - з(п! соз — с соя(з(п — —. Г(7' !
72 7. 7 7.'
Теперь нвм ос!ветел найти разлоясение получившейся
функции от 2' в окрестносп! точки 75»=0. Для зтого слелуег
использовю ь гволн гиые разложения и ряд Тейлора:
1, . ! . ! !
Г(е! = еяп 1спз — есп»1ип — .'в ! ссз — * ссз ! Пп — ——
7
! 1,. 1! ! !
=.'1- — —, — — —. )е Ип ! — — —, с .— —; — .)е'со»1
2'спз ! — Пп ! 2!спз1+3!зы ! 4!Сп ! Из!»!
=е яп ! сспз! згп!
И7 ~ ~7" 3!4! Сп
4!5'(: — 1!
ям;;;
4'соз 1; 5!зпп!
4 51(7 11'
Ответ:
2!со ! — Сш ! ".(сси! ." имп1 4!сю ! Згип!
((71= 7»!П ! СПЗ
Р(7 — !) 2!И(7 — !! 3!4!(е- !!'
'!спз ! ~ 5'чп!
Распознанный текст из изображения:
Ь(л)г) = 0
и
)О
?влача 11
Определить тип особой .гочки г = 0 для данной функции:
в!пг — г
Йг) =
созг — )ег
Разложим числитель и знаменатель в ряды Лорана в
окрестности гочки 7 =- 0:
г г г
к е
— +г- — †. — +
Иг)—
щи 7 3! 5' 7'
сов г — 1 + г гз з, г г г
— 1-кг !2ь! — --+ ——
2! 4! 6!
и
7. г г г г ге
3! 5! 7! 3.' 51 ?!
к к
4! 6! 81 4! 6! 8!
предсгавим зту функцию. как отношение функций 8(7) п
Ь(г):
Ю
7 7. 7. г г',ги
8(г) = — — + — -' — -'; ...;
3! 5! 7! 8(г) . 3! 51
1(г) = — '
1 7. 7, Ь(г) 1 7 г
Ь(г) = — ——
4! 6! 8! 4! 6! 8!
Для кажлой из функпий найдем порядок производной. не
обращающейся в ноль при г = О. Поскольк)
рассмгприваемыс функции представляют собой обычиыс
отененные много гленьг. згг несложно увидеть. что 8"(0)иО
и Ь(0)еО.
1ак как порядок производной. не обращающейся в ноль
цри г =- 0 выл?с для функции, находящейся в знаменателе,
то точка г = 0 является пояюсом функции. Порядок этого
па.паса находи гся. как разница межлу порялками
производных. не обрапщницихся в ноль при г = О лля
ф) нкпий 8(г) н Ь(7). В данном случае. зто 2 — 0 = ".
Ответ: !очка г .= 0 яв:щется пащасом 2-го порялка для
заданной ф) ггк~гигг.
?влача !2
Для заннаи фзнкции наизи нзо.пзровзнные осаоые тачки и с предслить ил з ни.
1'(г) = сгйПсрейдем к новой переменной:
! = —:Р(!) =сгйгг
7.
'Зга функция не является аналитической прн бп г — — О. Пайвен г, соответствующие этому случакз
згп ! = 0 =л ! = кй: 1, и г
Запишем ленную функцию в виде шнашсния функций 8(г) и Ь(г).
сов! к(г) = сов()
Г(() = — -'
щи г Ь()) = в)п ц
л(зя каждой из функций найлем порядок производной. не
обращающейся в ноль при г = кй:
8(лк) и О
Ь'(г) = соа(:Ь'(к).) и 0
Так как порядок произволной, не обращаюцгейся в ноль при г =
к!г вынге лля функции, находящейся в знаменателе, та точки Г =
!г являготся полгасами функщгн. Порядок зтих полюсов
нэл здггтся как Разница ме кзз парядк гни прап лигзголл не
ооращакицнхся в ноль при г = вй для фзнкций )з(г) и (О 0
паннам случае, это 1 — 0 = 1
! 1
— л -= = — ?1.нг
и'к
! 'к-'лагргм гочк) г = 0 '1ля любою азО елщссгвтет гзкое значение )г
чзх ,'),глй,.б. П
аким образам г = 0 не ящиется июлироеенной особой
гачкой, так как прп иворечнт опр:делению. гласящему. па фунюия
должна бьггь аназггпгческог) в иекгларом казьце изк)зут
це вакрлт этой точки, а,
какой бы мы нс взяли Разило кщв,пак в нем найдпся особая точка
вила )ьй в которой фунщзия не является анагигической.
Ответ: )очкиг=.1зк)г:)гих лля данной фзнкцин являкпся
палюсамн ) -га па!зал«э.
Дййййг??0 Вийна
Распознанный текст из изображения:
Задача 13
Вычислить интеграл:
Задача 14
Вычислить интеграл:
е" †!
— ч(г
гзгь1)з
51Р 2кг
г = 1 /2. й и 7.
Озвег ) — ' 5!к=41
г(га!)
5!и 'Яг.
— 1
Ответ: 4, з(г = 4 из
!3
Найдем особые точки функции Г(г):
В рассматриваемую область попадают только точки г = 0 и
г = 1.
То пга г~ =- 0 является устранимой особой точкой.
следовательно. вычет в точке г~ равен нулю.
Точка г. =- 1 является простым полюсом. Найдем вычет в
этой точке:
г(г — !)(г+1)э [1='г — 1[
гез, Йг) = 1пзз[((г)(г — 1)) = йш
— 5!п2яг [к=1+1[
И(., !)(1 -1+1) . 1(1- 1)(гь!+!)
=. (пи — —. = Ьп 5!п(2ша2я) ' ' 5!п2ш
И1т))(1 -1+1)з, (1е1)(1 ! 1)з 4 = (зш — — -' = 1пп
'к1 Зл 2и Отсюда следзючпии роз!лэтит:
г(г; П
' — — — — г(г =-2гй~гез, Вг) =-"я! дг = 4з
этой функции одна особая точка: г = О. Нсгнэльзуем
разложение в ряд Лорана в окрестности этой точки (з.е. по
озеленим г). чтобы определить ее тип:
4г' Яг" 1бг'
— 15[1. 2г +- -; .. -„!
— 1 з 2! 3! 4! )
г г
4г Згз !бг'
г 'зз 3з ф
Правильная часть получившегося ряда содержит бесконечное число чггенов, нз чего следэет, что это полюс. Порядок полюса равен порядку старшего члена главной части. Таким образом, г = 0 — это полюс 1-го порядка и вычет находится следующим образом:
геэйг) = 1пв[1(г)г[ = !зш,, —, = йззз[' г-„— =1зглй =2
По основной теореме Коши о вычетах:
з) з(г)г(г = 2я)У гез!1:)
В данном случае:
е" — !
—.,— Йг .= Злз 2 = 4зп
Распознанный текст из изображения:
Залача 15
Вы шслить инте!раж
вЬЗэ — з)п Зк
: з)з2к
Задача (б
Вычисли гь ин ге! рал.
Особыс точки этой фуньпии к = йгл)2. Однако в контур
попа ше! колько к = О. Определим гнп этой особой точки:
яЬЗк-з)пЗя й(я) й(я) = зЬЗх — зьпЗя
р(я) = ---,
я'зЬ2к Ь(ь0 Ь(я) = я яй2я
Опредсгшм порядки производных, ненулевых при в = О.
Мы уже неоднократно испольэовали этот праем, поэтому
на сей раз мы опустим детальное и громоздкое вычисление
проншодпых н скажем только. что в резулыате этих
денствнй мы определилн. что я = 0 представляет собой
просгой полюс. Тогда можно рассчитать вычет в этой
то шс следующим образом:
( ьЬЗк — гйп Зт 1 !'используем пра Л!
' 'Я(, к'яЬ2к,~ (впло Лопиталя
ЗсЬЗх — ЗсоьЗк ) ~используемпра-)
'-"~ элзЬ2к + Зк сЬЗту 1вилоЛоппталя
9зЬЗе+9айзЗк 3 )исполюускзпра-~
=йпт .—
2зЬ2х ! сясй2г -> 4я зЬ2г ) 'внло Лепи!яда
!' 27с)т)хе 27созЗк '! 9
= й!!)
",12сЬЗе, 24яаййк -, Ьг сЬ2я; 2
По оспошюп теореме Ко!пгт о вычетах:
ьЬЗг — ьй!Зх „', 9
бе = 'я! ) гея((т) = 2л!.— =9я)
х' Ь'
° яд 3.!. — мп Зх
Ответ!:1 ':."' — -': — 0х = 9я!
г'зй2г
Разооьем жот ннзегргн! на сумму лвух интегрююн:
Используем вычеты для взятия первого интеграла:
2 з)п;,",;,
! ! Вя — 1 -71)г(х — 3 — 7П
У подьштегральной функппн ссгь две осооые то*лен: г=)+71 н с=-3-'-7ь Прн этом гочка х=-Зе71 не охвачена контуром. по которому проходит интегрирование. и не рассмазривается.
1очка я=)-,71 является полюсом второго порядка. Найдем
вычет в этой точке:
-- ' " 'нт~ (я — 1 — 7!]'(к — 3 — 71)~ ' ььдг (х — 3 — 71) ~
(7-й)л (7-1)яа 2 '7+!),.
« -„50(. -3 — Л) НЮ (т-3 — 70' 100
7.!л!!
зсЬ ' зЬ ' 0 552 1 229!
100 2 2 2
1 аким образом:
— — — — —,» )
2 зги, ".',,
— — — йв = Зш гез 1!(в) = 2к.(1229 — 0552!)
Распознанный текст из изображения:
Рассмотрим второй интеграл:
Оа
я(х — 71) (используем правило!
гезрз(х) =!!Пз - - — „---=
— '.' е" + 1 ! Лопиталя !
к т 2 2
Таким образом:
и
— — „— гг)х = 2ю. гиа Тз(х) = Зю 21 = — 4я
, „,е"' +1
Найдем исходный интеграл как сумму интегрююа,
составляющих его:
2з)п,'.,ь х
...,((х — 1 — 71)'(х — 3 — 71) е"" +1!
=о х = 41 — 1, 8 — к
Из этих цщск только одна охвачена контуром 1х — 71)=2 и
приниматься ао нииьгаи~гс. 'Зто точка я=78 являкнлаяся простым полюсом. Найлем вычет в этой точке:
2ь)п, -';,
а
,,(к — 1 — 71)'(х — 3 — 71),, с" е(
= 2я. (1.2 9 — 0„5521) — 4х — — — 2х (0.77! +0,5521)
Огвсг:
Л,
2з(п.,",,
— — — )г)к = — Зл (0.771 + 0.55211
;(г — 1 — 7В (г — 3 — 71) с'"' ь))
Задача 17
Вы*щепать интеграл;
,9 — 4 '5з)п!
Иитеграя гакого аида мотает быль преобразован в
контурный. используя следукзщие аырагкения:
!( !' 1( !) лх
Я г,' 2(), г )З
)н(соя ьзв Вгн .= )Р(
данными и перейдем к контурному
Воспользуемся этими
интеграл:
г)т
,, 9 — -780 з) и ~,ы 9—
,"'(я — -') „, 9(х — пз (хг — !)
20х
,,18(х — с 80(к — 1),, —; 80(х — иэ ~ 2)(х — 2~;Ь 5)
()одынхегральнач функция имеет дае особые точки:
х=)~'5)2: я=2)~эс'5:
Точка 105)2 ис попадает н область. ограниченную
контуром интегрирования.
Точка 2)ч5 ц является простым полюсом. Вычнсянм в
этой гочка вычет-.
гез 1(х) = йп (((яйа — 2)Я)5)) =
)и
' -'" ' - з80(х — )ъ5 '2) — ч80(2)С5 35 )з5)2)
По основной ~еореьге 1(оши о вычетах:
2ск
= 2х)~~ гек)'(г) = 2я) ( — г) = 2к
, — ч80(х — 1~5 '2)(г — 2гч 5: 5)
О!
(3твсзз ~- — --=. — -- = 2к
,, 9 — 4т5юпг
!6
17
Распознанный текст из изображения:
Задача 18
Вы !нслнгь ннтв! рюз!
б!
„!-;*7 -г 2 со: !'!
Ингмрая такого мша может быть преооразован в контурный,
используя следуюшнс выражения:
! (
т) м(, с! и
(В(соз !.з!в г!Ф = ЗГ(г)ет
Воснолюсемся !гимн данными и перейдем к контурному интегралу:
1' Гу
сй 1. бя(!у
,;( 77 гзсоьы,з,(„(7 ь(яь — '])!
! т!' ' ° !г .,!(!*- ':зг*.:, Г!Г
Подынтег раяьная ф) нкцня ил!ест две особые точки:
х =- (Л вЂ” з(7)! 2; х = ( — ч(3 — Ч 7) (2!
Гочка я = ( — " — з(7)ГЗ не попадает а область. ограниченную
контуром интегрирования.
)очка х = ( „'"- — з(7) *2 является полюсол! второго порядка.
Вычислим в зтай томке вычет:
геь Г(с)= (пл [Г(Я)(с-(з(3 — С7)гд) 1=
*! -'дт
г( г ! г1 т
лг((с ( !3 т .7г: 1 ''"" ' ' !ля(гь(сзг гз)гз)
зт >3 ! 4 3 7 — зз-зт 4 >7 >7
По основной теореме Коши о вычетах:
— —, =За)~ гем"(а)=-2к!., '— = — к
,, фт )(а ': )~ .=! ":,3>Г31 3;3
(Угас !' ьй 2„'7
;,(В!7 г "сш ) зчз
,,: .гс'
Задача 19
Вычислгпь интеграл:
~- —,-'- — ! х
.(х ' .3'1'
)К!х)г(х = 2к!ч! геяР(х)
сумма вычетов берегся по всеь! полюсам пол!плоскости!юг > 0
Преооразуем исходный иптегрнл;
! — —;с(х = ! —,- — тбя
(х е 3) (х! Г 3)
Особые точки:
я = !з(3 Пйп е > О)! я = — 1> 3 (!ш х < О)
Зечка я = !сб яв.шется полюсом !порото порядка н вычет
в ней вы и!сдастся следуюшим образом:
!) я
гез Пя! =- 1!п! — (1(и)(я — !ч(3) ).= !!гп -- — — = —, /=
-.: б ~(ве(03)-',
Зз(згт, чЗ
— рйп
" '(яч !сз)' 12!
Используем привслсниую в на иле !югами формул
.03 я
.(х' 43)г 12! Зд
Отвез; ~, Ах =
;(х! ..)!
Известно. что если функция рациональна. а ее числитель и знамена гель представляют собой многочлсны. прнчем сзепеиь знаменателя по крайней мере на две елиигщы бодыпе степени числителя. то можно применизь следуюшую формулу;
! с!
Распознанный текст из изображения:
)влача 20
Вычислить интеграл:
1(
Для вычисления шшегралов такого вида применяется
специальная формула:
)К(х)япйхг)х =!пз)2я(~~! гел)1(х)е" Хз > 0
Исходная функция полностью уловлетворяет условиям
применения данной формулы.
Найдем к„:
х' +9х '-20 =-0 =ь с, з =+2нвьз = чзз)5:
Сумма вычетов берется по верхней пол)плоск!хин 1ш х > О.
Из чтото следует:
т „= (2с(з)5)
Этн особые точки являются простыми полюсами. Найдем в
ш~х вычеты:
(х* — г)(л — 2!),, (л — х)е
1)гетр4л)ел = 1!пз- „', е' =1пп — — —,
'-ь(х н4)(лз -ь5) ' л(к+21)(х' ' 5)
(-4-2!)е (2 +!)е '
(21 ч-21)( — 4 ь 5) 21
° Г
(хз — л)(к — )ч5) „. (лз -л)е"
2) тех Й.(л)е" = 1пп ---,— " ', е" = 1гш — -- — — — — =
-»' (х' тих ь5) ":з(х ь4)(хе!05)
( — 5 — 10)5)е " (ч5 +1)е з
(-5-ь 4)(гя!5 ч !ч5)
Исполь!уем записанную ранее формулу и найдем интеграл:
"' (х — х)япх !„. „) 2ас ' 2ле '
— — — =' — '— дх =)п!) 2з!"! гелй(т)е" ) =—
,х' -9х ь 20 ) 2 2
Залаяв 21 По данному !рафику оригинала найти нзобрюкение: Исхоля нз чтото графика, запишем оригинал функции: (! — а
— 0
2а — ! Р(!)(, а <1<2а
г ,'О, 2а
г--а За — 2! ! — 2а Р(Н = гй!) ' — !1(! -а) з — — 1(г-2а)
а а а Используя таб:шцу преооразований Лапласа. найдем нзоораженне функшш. как с)мму нзобрагненпй сдгнаемых орн!инала функции:
ар р (р ар,! (ар р~
ар' Р ~!з ар ) 'ар Р)
Распознанный текст из изображения:
Задача 22
Найти оригинал »ю заданному изобрах»ению:
1
!э' э!э'
Решив систему линейных уравнений. найдем А. В и С;
(А= — !
~В=О
=э »С =1
! В' Е=о ',Л 0=0 !В=О
~О=-1
(Ез =-0
Таким образом:
1 р
— — — /- Рьрррр
По таком) изобрюкению нанти оригинал несложно:
р
— — — -э — ! э — +соя!
р р' р-91 2
Ответ: ории»нал функпип выглядит следгыоп»им образом: ! — 1+ — ' соз!
Предст»внм это выражение. как сумму простых слагаемых:
! 1 Ар +Вр+С Р)р+Е
Р Р' Р'(Р -1) Рз Рэ+!
Ар + Вр', ( о .+Ар + Врт Се Ор' »- ЕР
р (рз»-1)
(А<-0)р' »-(В-'(')рз ч(А»-С)р +Бр С
р (рз е!)
Задача 24
Операционным мезодом решить задач> Козни»:
2»" — С= з!и 3!
у(о) =:, у (о!.= !.
Из теории иам известно. по еаш х(0 соответствуез
и»образ епне Х(р), то х'(!) соотвстствуег Р.Х(р1 - х(0). а
х "В) соответствует р .Х(р) — р.х(О! — х'(0). Ртководствуясь
этими соображенняьш. перейдем от оригиналов функций к
их пюбраяюнням:
3
зр У(р! — 2ру»0! — 2Х(0) — РУ(р! —, ) »О! = —,—
р +9
зр'Уч Р! — »р — 2 — РУьФР)
р. 36р
(2р - р»У(р)=
р'ь9 ! ° 9
У!Р) =
4р' ' 36р . 3
(р' —;982р т Р!
р»»зло»кпь! эту функпию на врос»ью сла»-аемые и найдем
оригинал у(И:
4р*, 36Р-.3 Ар В Ср+О
У(р) — — —,--- —.—,
(р' чго( р»-р) р-, 9 эр' г р
'Ар' .Ар — Вр - Бр —,— ('р — '»Ср ° вЂ” (Эр ь 90
02 -9)(2Р -Р)
. 2А —.'- С =- 4 'А= — !1(1!
А-20 1)=0 'и= — !8!(1! ! ( — р — !8 4»ар+37,
!'В 96=36 'С=446:1!! 1!!( р '9 2р' » Р
!9(э = 3 13 — »7 '! 1!
» !» !86 37
!11', 9 '9 Рз'. Р!
- омв 3! — сов 31 186е ' 37
— у(0 =
1! !
6»в 3! - соз 3! !86с '
Ответ: з(!)
! ы
Распознанный текст из изображения:
Задача 25
Матерггшгьная точка массы ш движется прямолинейно, отталкиваясь от начала координат с силой Г=Ех. пропорпиональной расстоянию. На точку действует сида сопротивлешгя среды ((=гт. пропорпиональная скорости т. Прн 1=0 расстояние точки от начала координат хе, а скорость «ь Найти закон движения х=-х(ц материальной точки.
й = 2ш, г= т, х« = (м. та =-О.
Исходя из второго закона Ньютоны
ат = (»х — г»
хгп — гх» ч йх = О
Начальные»словня:
»«
х(0) = ».„= 0
Подставим значення й и г:
хпз — шх + 2шх = О
С'ократим все выражение на ш:
х — »е2х =0
Перейдем к изображениям функции:
р»Х(р) — рх(01 — х(0) — РХ(р) х(0] + 2Х(р) = 0
(р — р, 2)Х(р) — р" 1 =0
Х(р) =
р-1 р-1 р-,'
!3 — !3 2 (Р— ")з +,' (Р—,')з ч,-' 07 (Р— 1)з -1- ';
По таком, вюбражению неелов«но найти оригинал: х(И=с' соз- — 1 —, ег з(ив
;7 2
Задачи 26
Решить сне!ему днфференцнш!ьных уравнений: х = — 2» +б» +1
»= хе2
х(0) = О. у(0) =1
Перейдем к пзобрая епиям функпий х и у:
(РХ(р) — х(0) = — 2Х(р) + бу(р) ~-1,! р
) р»7(р) — у(0) = 2Х(р) е ",' р
Подставим начальиыс условна.
)РХ(Р) = — 2Х(Р) . 6У(Р) +1,гР
1р)'(р) -1= ОХ(р)-"ур
Выразим г'(р) через Х(р)., используя первое уравнение: РХ(р) = — 2Х(р) ч бУ(р!.ь1,гр ~ "г"(р)=
6 Подставим пол»ченное выражение во второе уравнение и надина Х(р):
РХ(р) ь 2Х(р) — (,гр „,, 12)р ' 7 р( — — — — — — )-.1 = Х(!»).!-Ог!» =» Х(1») =
6 р 2р — 12 Зная изображение функпни. несложно найти ее оригинал:
1 р †,7 р 9 ! р+9 - (р1
р 3р- 13 р'."др — 12 р (р 1) -13 р
р;! Я)
»10 = е ' «о. 1013 г(р.!» 13 ч13 !р-11 -13 Р
— "'. « ' ыч ~»13! - ! ' ««Ь;331- " е '.»Ь (31 — 1 Зная х(1). найдем у(О:
» = -2» г 6» - ! = »(г1- — '1» -, — 1) = -'(7е 'сй»Г(Э1 ' — '«е 'ь!»»!~31 ".
зе 'сЬ Л31 — — "с ' Ь Л! . 2 — !) =-,'19е'сЬ 1131- — "е '»Ь»131 . 3) =. .= —:«Ьййч))г — ' е 'з)»;13» — — '.
,г 97 1, »7
Ответ: х(П =е ' соз 1 — — е" зш
з 17 3
Ответ.
Ыг) =. е 'сЬ; бг г 3-е 'з!г,'131 — 1
у(1) .= —:* е 'сЬ»«!31 — тдге '»!»»! 31
Распознанный текст из изображения:
ПРИЛОЖЕНИЕ
Корень и-и степени
— р+2кк .. ф ' 2яй'!
"з)г = !!!)г! соз — — -е)Яп )!в =агйг)! =01.....п -йг е 0
и и
'Элементарные функции комплексного переменного
г=-х '1у
е' =е" (соху, !япу)
е" +е"
сонг =
2
е'* — е '
ЯП Е =
21
г
Л1<ЯП г = — 11 п(17 ! в! — г
1
) Лгссозг = — 1!.п(ге з г — !)
г — !
Лгссгя г = — 1 и
2 г,1
1, гг
Агс!Кг = — — 1.п
2 1 — 1г.
Аналитические функции
Фзикцня !1=Г(г) ца!ывастся аналитическая в данной то !ке г. если она дифференцируема как в самой точке е. таь н в некоторой ее окрестности. Фъикция зь-=Г(*) называется аналитической в области б. гслп она аналитична в каждой точке геб.
Производили аналитической функции
и = Г(; ) = П х з !у) = ц(х, у) з !т(х ! )
си . !Д г)з.. Ея с'ц, !)ц Ж сз
! (Е)=- 1 — 1 — 1 — 11
Рх Ъ с' сх Ъ сз си
2б
Задача 27
Выяснить, во что преобразуется геометрическая фигура
прн отображении с помощью функции ж = Г(г) .
ж = !п(г); угол О<агй(г)<аы~л.
Представим г в виде К.е'иго).
Произведем отображение г с помощью функции ж = (п(г):
ж = !п(г) =- !п(ре"""!" ) = !и К вЂ . !пе' -'" = !и Р е ! агй(г)1пе =
= 1п Р. ' (агй(е)
Поскольку К>0, а 0<агй(г)<а. то заданный угол
отображается иа комплексной плоскости как полоса
.а<Ко(ж)<:с, 0
е' — е '
айг, = — 1яп17. =
1.п г = !и!!Е) + !Лгй г
е' з-е *
с!! г = соз !г. = ——
2
Л гй г = агя г + 2л11е К = 0 й! Я2...
Начать зарабатывать