ДЗ №1 «Линейные и Евклидовы пространства» 8 вариант
Описание
по теме:
«Линейные и Евклидовы
пространства»
Вариант №8
Задача №1
Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов равную ноль вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости.
= (-4 ; 5 ; 2 ; 1 ; -7) ,
= (1 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1),
= (1 ; 1 ; 1 ; -1 ; 4).
Задача №2
Доказать, что векторы (0; 2; −1), (−2; −1; 3), (−5; 3; 5) образуют базис в . Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном базисе = (−10; 8; 9), в новом базисе (1; −6; 2).
Задача №3
Построить какой-нибудь ортогональный базис в линейной оболочке системы векторов (0; −1; 1; 2), (1; 1; −1; −1), (−1; 1; −1; −3),
(1; −1; 2; 5) и найти координаты вектора в этом базисе.
Задача №4
Оператор 𝐴 в пространстве 𝒱 задан соотношением 𝐴(𝑥) = · , где = (−5; −6; −2), (−3; 5; −5). Доказать линейность оператора 𝐴 и найти его матрицу в базисе {𝑖, 𝑗, 𝑘}.
Задача №5
Найти собственные значения и собственные векторы операторов 𝐴 и 𝐵. Если возможно, привести матрицу оператора (𝐴 или 𝐵 или обоих) к диагональному виду и записать матрицу перехода.
Задача №6
Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису.
Задача №7
Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
Задача №8
Построить кривую .
Показать/скрыть дополнительное описание
Домашнее задание №1 по теме: «Линейные и Евклидовы пространства» Вариант №8 Задача №1 Найти нетривиальную линейную комбинацию векторов равную ноль вектору (если она существует). Сделать вывод относительно их линейной зависимости или независимости. = (-4 ; 5 ; 2 ; 1 ; -7) , = (1 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1), = (1 ; 1 ; 1 ; -1 ; 4). Задача №2 Доказать, что векторы (0; 2; −1), (−2; −1; 3), (−5; 3; 5) образуют базис в . Найти координаты вектора в этом базисе и вектора в исходном, если в исходном базисе = (−10; 8; 9), в новом базисе (1; −6; 2). Задача №3 Построить какой-нибудь ортогональный базис в линейной оболочке системы векторов (0; −1; 1; 2), (1; 1; −1; −1), (−1; 1; −1; −3), (1; −1; 2; 5) и найти координаты вектора в этом базисе. Задача №4 Оператор 𝐴 в пространстве 𝒱 задан соотношением 𝐴(𝑥) = · , где = (−5; −6; −2), (−3; 5; −5).
Доказать линейность оператора 𝐴 и найти его матрицу в базисе {𝑖, 𝑗, 𝑘}. Задача №5 Найти собственные значения и собственные векторы операторов 𝐴 и 𝐵. Если возможно, привести матрицу оператора (𝐴 или 𝐵 или обоих) к диагональному виду и записать матрицу перехода. Задача №6 Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа и указать новый базис. Записать матрицу перехода к новому базису. Задача №7 Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием. Записать матрицу преобразования.
Задача №8 Построить кривую . .