Ответы: Алгебра 1.1

Распознанный текст из изображения:

Чвсть '4

ство. Линейная зависим азмерность и бозио лин

ость и независимость

еииого пространство

Рвзмерцасть

и базис линейного

пространства

Пусть системэ векторае

линеино-независима,а пю

бак система ) векторов

— линеина-зависима,тогда

~испо называют размер.

ностью пространства

сн, г, Существует единственныи нулевой элемент,для каждого зле мента существует единственный противапслажныи

Линейная зависимость

и независимость сис-

темы ввитврав

Пуст~ имеется л векто-

ров х, ««.,.',

Составим линеиную ком-

бинацию

фш)«

Система этих я линвино независимых векторов на зывается базисам липеи нага пространства Рассмотрим систему -( векторов

л',чг.х,г 'и х =

у=.о если э, а, -а — О

система векторов— линеино-зависима Если среди векторов какие го Ь линейно-зависимы, то вся система векторов является линелно-заенснман

Ешш система л векгорое лнненно-неэавнснмэ,го любая час«ъ нэ этих векторов будет ыже лннен- на-незавнснмон

Такое представление называется разложение г' па базису а числа (и . ., и ) называют ко ардннатамн вектора Раз поженив любого вектора в выбранном базисе— единственно

4. Скддяриоо дрвиэрейецие Ввктоййв и ого свойотвд

ненУлевык вектоРов наэываатсЯ и Ь =-(й чб( саыр ив = (и). нр. Ь = (Ь .нрг и

числа Равное произведению этих 1 ~„-( тьч (Л (,

векторов на ысинус угла между

ними 3. и(Ь«-').= ВЬ;-и" г; 4. и =(й(

В. Векторное произведение векторов и ега своистев Три некомпланарных вектора образуют правую

тройку если с конца третьего поворот от первого

вектора ка второму совершается против часовои 1 (й"Ь)= -(Ь"и), стрелки Если почасовой †то лев 2 К(й. Ь) =()Д. Ь'='". ЕЛЬ)« Векторнымпроизведеннемвектора и навектор Ь в,ь Г.„ь) называется вектор ,который

1. Перпендикулярен векторам и и Ь

2. Имеет длину, численно равную площади параллей

лограмма,образованного на векторах и и Ь а>Ь=. и, и, и (гх= иШЬ( юлю, Гдв Р. (и,ь)

3. Векторы и, Ь и образуют правую гранку векторов

В базисе ' вектор « имеет каардина

гы « = х г,- х.г

Е(ьх В«)=),Е>(«)«ВГ(«г)

Рассмотрим я-мерное линеинае про

сгранство

(й):, г'.. г'„

й.; В. Смешанное произведен

Смешанное произведение записывают ут . в виде [а'=Я~С) Е~

-'-'::а

,.":"-' Смысл смещенного произведения сна) :. чала две вектора векторно перемнсжа )ж~П; ют а затем полученный скапярна пере«)Т мнажэют с третьим вектором Смешан 'ОейР нос произведение представляет собой ,"х;, число †чис Результат смешаннага ) -' произведения в объем параллелепипе- Т'~' дэ обраэаваннога векторами

. Своиатва

1.Смешанное произведение не меняется

при циклическан перестановке сампо ;" ", 2.Смешанное произведение не изменится при перемене местами вектор-

« =Дх)=у(хи «хи г лжг„)=

«=хи ««.и,л

— ги, л

Для того,чтобм задать линейные пре образования вэтом пространстве достаточно задать эта преобразование для базисных векторов

'',=Е(И), =ЕТД);;-Е(и)

г*)

. ° .,г +и .«

— — (у у=Ау()

,) )) х,ж)

)«=Е(Е).-Е(» ',+ «Е«г +,Л)=

=л Е(е)чх«Е(г()- г«,, (и',)=

— ,г, г «, г(—

Пннеиное преобразование — матрица лннеиного оператора Каждому линейному преобразованию соответствует одна ма трица лннеинага оператора н наоборот Если имеется квадратная матрица зна чит задано пинеиное преобразование пространства

Матрица лннеииага

преобразования

Пусть Š— линеинае преобразование

пикейного пространства переводящая

1. Ливеияые прострои

системы векторов. Р Рассмотрим непустое множества элементов,ка тарые будем обозначать через « «,х, и мнаже ство действительных чисел На этом множестве введем две операции (сложение и умнаже»ие) Пусщ этн две операции подчиняются аксиомам 1. «-«

2.(«-«)." «-(«х) 3. «-О.

4. -( — )-О.

5 ) х —...

б. О(Т) «)-.Н(г«х)

Т.и( ".«) а О«.

3.(а ЬЛ .а -В«, !..,ц СК

Множество г с двумя апе рациями.удовлетворяющее аксиомам называетсн лммйным пространствам Элементы линейного пространстве называются век тарами абазначают-

ие векторов и его своиства

ного и скалярного прОизведения

(и Ь) и =и (Ь

3. Смешанное произведение меняетзнак Ьгт=-и ть'

пРи пеРемене мест и Ь вЂ” -Ь

любых двух вектоРов-сомнажителен

4.Смешанное произведение трех ненулевых еектарое равно нулю тогда и галька тогда,когда они компг~анэрны

и, и

. ь = ь, ь, ь

Трл зэыорэ ызыеэются камппэнэрны.

мн если реэулыэт гмешаннога произведения Лавен нулю

2. Матрица перекадв от бвзисв к базису. Преобразование координат вектора при переводе к новому базису

г — мерное прострэкстэо, (ии, г и г г' г г «' (х'=О,и(«а,«Сь га г'

ГС вЂ” базис, состаящии из

л векторов В прастранст. )и =гя «« г««Е«. эг.„г,' х=а и','аи', аг'„

ве есп, базисы и> г'„г,',

Введем матрицу перехода (и., ='., ' « гие«ч +г.„«',

3. Евклидова пространство. Длина вектора. Угол между векторами

Рассмотрим линейное пространства ); в катаром уже есть 2 операции(сложение и .л умножение) Вэтом пространстве введем еще одну операцию 0»а будет удовлетворять следующим аксиомам 1. (Ду)=(дл) 2 (хьэЕ х)=( ',))г()ГЕ)

3 (Кху)=)( У) 4. (Лх)=(Е )>0 Указанная операция называется скзлярныл«

произведением векторов

Ш вЂ” мерное линеинае пространства с введенной операциеи скалярного произведения,называется Евклндовым пространством Длиной вектора называется арифметическое значение квадратного карня и скэлярнога квадрата П = Щ ' ) Длина

вектора удовлетворяет следующим условиям ( . .)«

1.,й>с,если'х(=О х=-О

т, 2 ,'Ххы'Л !.*(

, х', э'

. '- К ) Д ул

— саго=

3. )(,)С~К' ,'(у — неравенства Коши-Буняковского

.г, у

4. )«г)))с х)+ у~ — неравенство треугольника "(Л )у,'

Т. Линеииые преобразовании нростронствв. Матрице линейного

преобразования. Связь между каординетвми образо и прообразе

РассмотРим пинеинае пРостРанства ) базис ( " в базис (Е )

в катарам каждому элементу «, в силу

некоторого закона поставлен элемент Т к (г') — бэзис,та верны саыношения

этого же пространства

° Е

х'-лг' г=дх).где х' — прообраз,

*,=и«,г,ги,.г,г

« — образ

Каждому прообразу саатветствуег

° динстеенныи образ Каждыи образ

имеет единственныи прообраз ( †являет ма

Пинеиное преобразование пространст- трицеи пнненно. ! "' Щ " )

ва при катаром существует взаимноад га преобразава

нозначные соответствия ния или линеиБиективнае преобразование ('-.Т(х) ным операторам называется линеиным,еслн еыпалня- пространства

ются 2 условия Связь между координатами 1. Е(хч) )=Е( ') «Е(«) обреза и прообразе 2 Ей )=) Етй )Е «-Т(У)