Книга: Компьютерная графика, методичка №2

Распознанный текст из изображения:

-2-

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Освоить работу с двумерными преобразованиями координат.

ЗАДАЧА: создать программу, формирующую заданное динамическое изображение. Преобразования координат должны выполняться

1. Преобразование координат на плоскости Из всех возможных линейных преобразований координат особую роль играют четыре

следующих частных случая, с помощью которых можно описать любое преобразование или

движение объекта на плоскости:

1. Поворот вокруг начала координат на угол <р..Если ~р > О, то поворот совершается против

часовой стрелки, если <р < О, то — по часовой.

И. Растяжение (сжатие) Вдоль координатных Осеи, Если Й„й <1, то происходит сжатие. Если

й„Ж, >1, то происходит растяжение. Если й, = й,, то происходит пропорциональное изменение

линейных размеров объекта.

(1.2)

Рис. 2. Растяжение

прямоугольника при

сов(р) яп(р) О

[А1 = — яп(р) сов(р) О

О 0 1

А„О 0

и=о ~,о

О 0 1

Рис. 1. Поворот

на угол (р вокруг

начала координат

Распознанный текст из изображения:

Ш. Отражение (может выполняться относительно начала координат и координатных осей).

+1 0 0 ~М1= О +1 О ~1.З1 О 0 1 Рнс. 3. Отражение относительно осн абсцисс 1У. Параллельный перенос

1 О О И=О 1 О ~Й йу 1 Рнс. 4. Перенос при 4Ьъ-"1ф Если А — обычная ~собственная) точка плоскости с координатами х и у, то ее однородными координатами можно назвать любую тройку чисел~,"„~,, ~,) „связанных с х и у следующими соотношениями: — =х, — =у,с~~ ФО. 41 ~2 4 4' Обычно используют нормированные однородные координаты, когда ~,", =1. При однородные координаты любой точки ~х, у~ получаются простым добавлением третьей единичной координаты: ~х, у, 1).. 2. Программирование двумерных преобразований координат Типы данных и процедуры, используемые при построении преобразований координат удобно объединить в отдельном модуле и затем использовать его во всех программах. Ниже приводится листинг такого модуля таЖсея2В.рая.

Распознанный текст из изображения:

4

+ Модуль содержит объявления типов данных и подпрограмм, *

* необходимых для построения двумерных преобразований

* координат в матричной форме

******************+**************************+************** )

цп1г тагг1сез20;

1пгеггасе

гуре

//двумерный массив для представления матриц

//преобразований координат размером ЗхЗ

ТТгапягогт = аггау(0..2, 0..2) ой'ЭоцЬ1ер

//одномерный массив для представления матрицы

//однородных координат одной вершины

ТЧеггех = аггау(0..2) ой 0оиЬ1еу

//осуществляет преобразование координат вершин фигуры, переданных в массиве ч,

//с помощью матрицы Т: (Ч1):= (Ч) *(Т):

ргосес1цге Арр1уТгапяйогш(~аг Ч1 : аггау ог ТЧег~ехр

союзам Ч -: аггау ой ТЧеггех;

сопят.Т : ТТгапягогш)р

//Вычисляет матрицу общего преобразования Т, перемножая матрицы Т1 и Т2

//составляющих его преобразований

ргосес(цге СошЬ1пеТгапягогш(чаг Т '. ТТгапяЙогт;

сопряг. Т1, Т2 : ТТгапяйогш);

з.тр1етепгаГ1оп

//осуществляет преобразование координат вершин фигуры, переданных в массиве Ч, //с помощью матрицы Т: (Ч1):=(Ч)*(Т)

ргосес(цге Арр1уТгапяйогт(чаг Ч1 : аггау ой ТЧеггех;

сопяг Ч : аггау ой ТЧег~ех;

сопяг Т : ТТгапяйогт)у

1пгедег;

Распознанный текст из изображения:

-5-

Ьес.1п

//пройдем по всем вершинам фигуры

аког 1:= 0 г.о Н1дЬ(Ч) с(о ЬесгЫ

//вычислим и поместим в Р преобразованные координаты 1-ой вершины

аког ~ := О Го 2 с(о

Р[~] := 7[1, 0] * Т[0, ~] + Ч[~., 1] * Т[1, ~] + 7[3, 2] * Т[2,

//сохраним вычисленные координаты 1-й вершины в массиве Ч

Ч1 [1-] Рг

епс(г

//Вычисляет матрицу общего преобразования Т, перемножая матрицы Т1 и Т2

//составляющих его преобразований

ргосес(цге СотЬ1петгапзйоггп(айаг Т : ТТгапзйогт;

сопя~ Т1, Т2 : ТТгапзйоггп);

//временный буфер для хранения преобразования

Тгпр: ТТгапз йоггп,"

1п1едег;

//вычйслим 'и'-"п6местгим .в.Тшр матрицу общего преобразования

аког 1 := О ~о 2 с(о //пройдем по всем строкам

аког ] := 0 ~о 2 с(о //пройдем по всем столбцам

Тгпр[1, -]] := Т1[1, 0] * Т2 [О, ]] + Т1[1, 1] * Т2[1, д] +

Т1[1, 2] * Т2[2,

Т:= Тгпр;

епс];

3. Пример программы

В данном примере изображаются восемь треугольников, расположенных по кругу и

окрашенных в разные, постоянно меняющиеся цвета (рис. 5). Для того, чтобы получить такой

Распознанный текст из изображения:

-6- рисунок, треугольник А(140,10)В(120,80)С(160,30) восемь раз поворачивается вокруг точки 1:)(140,140) на угол р = —. 4

0

Рис. 5. Случайно меняющие цвет треугольники (разноцветные треугольники) цп1~ ~3п1~1у 1п~егХасе пзез К1пс(оказ, Меззадез,. ЯузУ~11з, С1аззез, Сгарп1оз, Соп1го1з, Гогов, Ма1одз, Кх~С1г1з, п~а1г1сез20р сопз~ //координаты точки О, вокруг которой будет происходить вращение треугольника Ох = 140р Оу = 140; Е1 = Р1 /4; //угол поворота, равен Пи/4 айаг //матрица однородных координат вершин треугольника АВС АВС : ахгау(0..2) ой ТЧег~ех = ((140, 10, 1), (120, 80, 1), (1бО, 80, 1)); //матрица перехода к системе координат с центром в точке 0 Т1 : Ттгапзйопп = (( 1, О, 0), ( О, 1, 0),

-Ву, 1)) Г //матрица поворота вокруг начала координат (заполняется до конца //в обработчике события ОпСгеа1е) К : Ттгапзйопп = ((1, О, 0),

Распознанный текст из изображения:

(О, 1, О),

(О, О, 1) );

//матрица перехода к исходной системе координат

Т2 : ТТгапзйогхп = (( 1, О, 0),

( О, 1, О),

(Эх, Эу, 1)) р

//матрица преобразования для поворота треугольника

//вокруг точки О

Т : ТТгапэхогхпу

Туре

ТГогхп1 = с1азз(ТГогш)

Т1хпег1: ТТппег;

ргосес(иге РогшСгеа1е(Яепс(ег: ТОЬ~ес1);

ргосес[иге ГогшРа1пх(Яепо(ег: ТОЬ~ес~);

ргосес(цге Т1хпег1Т1шег(Яепс(ег: ТОЬ~есХ);

ргхчахе

Ргх ~аде с(ес1ага11опз

рцЬ1'.с

( РиЬ1хс с1ес1ага~1опз

епс(у

айаг

Гогхп1 ТГогхп1 у

1хпр1ехпепхаххоп

(ЯР. *.РРМ)

//Обработчик.события' ОпСгеахе..Используется для инициализации данных

ргосес(цге ТГохт1. РогхпСгеа~е (ЯЕпбег: ТОЬ~есЬ);

Ьед1п

//заполним матрицу [Р.] для поворота ну угол Й1

В[0, 0] := соя(й1)у В[0, 1] := я1п(й1)у

В[1, О] := -з1п (й1); В[1, 1] := сов(х1);

//получим матрицу [Т] преобразования для поворота треугольника вокруг

//точки 0

СотЬ1пеТгапзйогш (Т, Т1, К)у //умножение матриц: [Т] = [Т1]*[В]

СотпЬ1пеТгапвйогхп (Т, Т, Т2); //умножение матриц: [Т] = [Т]*[Т2]

епс);

//Обработчик события ОпРахпх. Вызывается, когда необходимо перерисовать

//изображение на форме

ргосес(цге ТГогхп1.РогтРа1пх(Яепс(ег: ТОЬ)ес~)у

чаг

1пгедегр

хтрАВС : агхау[0..2] ой ТЧегхеху

с : ТСо1ог;

Ьеохп

//скопируем координаты вершин треугольника во временный массив

хог х := О хо 2 с(о 1шрЬВС[х] := ЛВС[х];

//будем поворачивать треугольник вокруг точки О на угол йх

//и рисовать его 8 раз

аког х := 1 1о 8 бо Ьедхп

//повернем треугольник

Арр1уТгапайогш(хшрЛВС, ~гпрЛВС, Т);

Распознанный текст из изображения:

//выберем случайный цвет для треугольника

с := ВЯВ(гапс(огп(255), гапс(отп(255), гапс(от(255))р

//нарисуем его в новом положении

х1ЬЬ Сапная с(о Ьед1п

//установим цвет для пера и кисти

Реп.Со1ог := су ВгизЬ.Со1ог := с;

//нарисуем треугольник

Ро1удоп ( [Роз.п1 (гоипс1 (1трЛВС [О, 01 ), гоцпс1 (~тпрАВС [О, 1] ) ),

Роз.п~ (гоапс((~трЛВС [1, 01 ), гоппс1 (~трЛВС [1, 11 ) ),

Родоп~(гоипс((~хпрЛВС[2, О~ ), гоцпс((~трАВС[2, 13 ) ) 1) Р

епс(

епс(;

епс(;

//Обработчик события Оптьтег. Вызывается при поступлении сигнала

//от таймера.

ргосес(цге ТГогт1.Тппег1Тппег(Яепс[ег: ТОЬ)ест);

Ьедтп

//перерисуем изображение на форме

РейгезЬ;

епс(;

4. Задание Изучить свойства базовых преобразований координат на плоскости, изучить метод

построения преобразований координат в матричной форме, освоить построение сложных

преобразований координат (поворот с центром в точке, 'отличной от начала координат,

отражение относительно прямой, отличной от. координатной оси и т.п,).

2. Пользуясь методом преобразования координат

, создать программу,

изображающую указанные объекты. Для того моделирования равномерного движения,

используйте компоненту Т~тег (значок "-.' на вкладке Буксует панели компонентов

Ое1рЫ).

7.1. Варианты задания

1. Вид сверху на движущуюся кордовую модель катера. Сделать возможными изменение направления и скорости, остановку и продолжение его движения при помощи управляющих клавиш.

2. Вид сверху на движущуюся кордовую модель самолета. Сделать возможными изменение направления и скорости, остановку и продолжение его движения при помощи управляющих клавиш.

Распознанный текст из изображения:

3. Гоночная машина, двигающаяся по овальной трассе (поворот должен осуществляться плавно). Сделать возможными изменение направления и скорости, остановку и продолжение ее движения при помощи управляющих клавиш.

4. Механический секундомер, работающий в реальном времени. Должна быть возможность включать, выключать и сбрасывать время при помощи управляющих клавиш.

5. Плывущая, качаясь на волнах, яхта. Для имитации плавного скольжения по волнам задать траекторию ее движения гладкой функцией, например, пологой синусоидой: у(х) =аяп(ох+с). Тогда в точке х угол наклона яхты к горизонтали можно принять равным углу у наклона касательной к графику синусоиды. По свойству производной ~д(у) =у ~х) =(ахт(Ьхтс)) =аЬ сох(Ьх+с). Отсюда у=ахату(аЬсох~Ьх+с)).

б, Вид сверху на крутящуюся карусель, Сделать возможными изменение направления и скорости, остановку и продолжение ее движения при помощи управляющих клавиш.

7. Работающий зубчатый механизм из трех сцепленных шестеренок. Сделать возможными

изменение направления и скорости, остановку и продолжение их вращения при помощи управляющих клавиш.

8. «Колесо обозрения» как в Парке Кулсьтуры..Сдетлать возможнь|ми его остановку и запуск

при- помощи:упраовляЮщих:~~авиа'щ; Люлхькти всегда должны висеть вертикацьно,

9. Человечек, качающийся сидя на качелях. Сделать возможными остановку и продолжение

его движения при помощи управляющих клавиш.

10. Горизонтальные качели с двумя человечками. Сделать возможными их остановку и

продолжение движения.

11. Солнечная система с вращающимися вокруг солнца. планетами.

12. Работающий вентилятор. Сделать возможными его остановку, включение и

переключение на различные режимы работы при помощи управляющих клавиш.

13. Трактор в движении с крутящимися колесами. Сделать возможными изменение

направления и скорости, остановку и продолжение его движения при помощи

управляющих клавиш. Сделать так, чтобы колеса крутились с естественной скоростью.

Для этого угол р поворота колеса должен определяться следующим выражением:

р = — радиан, где Х вЂ” расстояние, на которое переместился трактор, а Я вЂ” радиус его

колеса.

Распознанный текст из изображения:

-10-

14. Железнодорожный шлагбаум. Должен подниматься и опускаться по команде. Когда

шлагбаум начинает опускаться и все время, пока он опущен, должен мигать красный

двойной светофор, как на переездах.

15. Движущийся по рельсам паровоз с крутящимися колесами. Колеса должны крутиться без

пробуксовки и скольжения (см. пояснение к варианту №13).

1б. Вид сверху на накрытый стол. На столе стоят тарелки для гостей, в центре на большом

блюде лежит большая рыба. Стол должен начинать медленно вращаться в ту или в

другую сторону и останавливаться по команде пользователя.

17. Машина «Руссобалт» в движении. Сделать возможными изменение направления и

скорости, остановку и продолжение ее движения при помощи управляющих клавиш. При

движении колеса должны крутиться без пробуксовки или скольжения (см. пояснение к

варианту №13);

18. Рыбка, плавающая во всех направлениях по аквариуму. Носик рыбки должен всегда

смотреть по направлению движения. Аквариум виден сверху. Щелчок мышью по какому-

либо месту в аквариуме означает, что туда брошен вкусный червячок (его также нужно

изобразить). Рыбка должна тотчас подплывать и съедать его. При желании для мышки

можно нарисовать собственный курсор в виде червячка и назначить его форме. Для этого

можно использовать редактор Владе Ей~от. Он вызывается из главного меню ТооЬ в

Ве1рЫ.

19. Вид спереди на самолет с- вращающимся пропеллером. Мотор самолета должен

запускаться и останавливаться по команде пользователя.

20. Часы с цифрами„вращающимися стрелками и качающимся маятником

21,Колесный пароходик, плывущий по спокойной глади воды. Сделать возможными

изменение скорости и направления, остановку и продолжение сто движения.

22. Движущийся самосвал. Колеса должны крутиться без пробуксовки или скольжения (см.

пояснения к варианту №13). Он должен уметь по команде пользователя останавливаться

и продолжать движение, плавно поднимать и опускать кузов.

23. Вращающаяся тарелка с красивым цветным рисунком. Сделать остановку, продолжение,

ускорение и замедление ее вращения по командам управляющих клавиш.

24. Санки, съезжающие с горки по команде. Рельеф склона горки и, соответственно,

траекторию движения санок, задать с помощью гладкой функции, например,

Распознанный текст из изображения:

-11-

Л'

у(х) = асов(Ах+ с), 0 < х < —. О вычислении угла наклона санок к горизонтали в каждой

2

точке траектории см. пояснение к варианту №5

25. Колодец в разрезе с ведром и крутящимся воротом. Ведро должно опускаться,

зачерпывать воду и подниматься по команде пользователя.

26. Луноход в движении. Сделать возможными изменение скорости и направления,

остановку и продолжение движения. Колеса должны крутиться без пробуксовки или

скольжения (см. пояснения к варианту №13).

5. Контрольные вопросы

1, Какие преобразования координат называется аффинными? Назовите свойства аффинных

преобразований координат.

2. Какие преобразования координат называется ортогональными? Каким свойством

обладают ортогональные преобразования?

3. Обычная и матричная форма базовых преобразовайий координат. Применение базовых

преобразований координат.

4. Какйе:из'базбвыМ:преобразований координат являются ортогональными? Докажите-это.

5. Построение обратных преобразований к базовым преобразованиям координат

6. Построение обратных преобразований координат к сложным преобразованиям координат

(состоящим из нескольких базовых).

7. Постройте преобразования координат для поворота отрезка А(х„у,)В(хь,уь) вокруг точки

В(хьу~) на угол у против и по часовой стрелке.

8. Постройте преобразование координат, с помощью которого можно расплющить любой

предмет: ширина должна увеличиться„а высота уменьшиться в пять раз.

9. Найдите отражение треугольника А(х,„у,)В(хь,уь)С(х„у,) относительно начала координат.

10, Найдите отражение точки А(х„у,) относительно прямой у = Ь+ О.

11. Постройте преобразование для перехода от экранной системы координат по умолчанию

(начало находится в левом верхнем углу окна, ось абсцисс направлена вправо, ось

ординат — вниз) к привычной системе координат (начало совпадает с центром окна

(обозначим эту точку как С(х„у,)), ось абсцисс направлена вправо, ось ординат — вверх).

Распознанный текст из изображения:

-12-

12. Постройте преобразование для перехода от привычной системы координат к системе, в

которой оси абсцисс и ординат поменялись местами.

13. Постройте преобразование для перехода от привычной системы координат к системе,

начало которой совпадает с точкой С(х„у,), а направление оси абсцисс совпадает с

направлением вектора Х, = ~1, т~.

14. Постройте преобразование для растяжения любого объекта в три раза с центром в точке

С(х„у,) вдоль прямой с направляющим вектором А = (1, т~.

15. Точка А была отражена относительно оси ординат и в результате получила координаты

(х„у,), Постройте преобразование, которому она была подвергнута„найдите обратное к

нему и, пользуясь последним, найдите ее исходные координаты.

16. В результате растяжения вдоль оси абсцисс в К раз вершины треугольника получили

координаты А(х„у,), В(хь,уь), С(х„у,). Вершина А при растяжении не изменила своего

положения. Постройте преобразование координат, которому был подвергнут

треугольник, найдите обратное к нему и, пользуясь последним, определите исходные

координаты вершин В и С.

17. В результате поворота на угол ~р точки В(хьуь) точка А получила координаты (х„у,).

Постройте преобразование, которому она была подвергнута, найдите обратное к нему и,

пользуясь последним, найдите.ее исходные координаты.

18. Отрезок А(х„у,)В(хь,уь) - -:был .преобразован . в отрезок 'С(ха,ус)1Э(хьу~). Постройте

преобразование, которое могло использоваться при этом.

19, Метод работы с локальной системой координат на плоскости.

20. Рекурсивная математическая модель движения колеса.