Ответы: Список задач к зачёту

Файл скачан с сайта StudIzba.com

При копировании или цитировании материалов на других сайтах обязательно используйте ссылку на источник

Распознанный текст из изображения:

СШ!Сг?К 3ггДгпг! !1«! «1)У1!КЦ!!01!'г.г1!г!1ОМЪг ЙНЙЛИВ?'.

1) Пусть Х - лггнейное ИО.гэги!»ЯВЗН!н . н!Язстргоггт5~ . 1огпсгзтг, '!гз длЯ лкубг„х ы гн ни Я 2, а г Х г выполняется неравенство (~х(! < Игах(! !х гг- у((г ((х —. у(!!.

2) Ь(ожно лн в пространстве С'(аг Ь) принять эа норму элемента .«,'! Н

А) гаахге(».ь; (х(!)!

В) шах,е 1, ь (х'(г)!;

С)(х(Ь) - *(а) ~ + И!акга('„д (х'(1),';

1.'»)(х(а)(+ игах,е, г .'х'(!Н;

Е)). !х(!)!И! -:: .,Зи,„.'г!),

3) Будет ли множество всех много гл!"нов в пространстве С[а, Ь! !Л)открытьгм; В)ззмкнутьгм?

4) Доказать, что всякое конечномерно: линейное к!ног«»збразне в лап!ейном нормированном пространстве есть подпугостранство.

5) Пусть Л - линейное нормированное про«трал«тв«!. Е «.. Х - линейное ыггогообразгге, б Ф Х Доказать

чтО Е ие «Од!.'ржит ннкакОТО пзарВ.

б! Обрз>?гот лн в пространстве С(- ! 1', г гдпространство «л~ „Ту»и!!не мно~ества фуггкнггй! Л)могютонные

функнгпг В!четные функ«оп!; С)к«н«гг«гч зоны, Рйнепр'рыьные кусочно-линейньге функции?

т! Образуют ли в ггространствг С,- !. !' подл!гострагитга ~ слелунк ого мгннь! «тва функннй: Х)гено« 1 !зг нь!

степени ~ !ч В непрерывно диф!»1»! Ч«ггн;!!ге!!г!' ', гнк; юи С,и ! !»", пкпн! !" фупкннн с гагр;нгн н ни й

вз!Ягзгпгет!. В)ф?э!к«о!и х(! г, тдонлгзт~«РЯЯ ноге ! глопн! г л, !!'

Ь! Пусть Х - линейное г«орхгнровагггго пр«э«тра!!ство, мно!!.~ т!«. Л, Х - фнк!.н!югг«гно. Дока г:гт!,, Что

,«(:) = ! ,'х Л) - непрерывное отображение Х в Р..

9) ДОкзззть, чтО всякое кОП«чнОмерное линейнОН н«грьгнрОвзнч г' и', . 3, гн! !гю Яг«ЯЯ»!«Я б ц!Нхг Яг,н,

10) Доказать, что пс дпространство бег!ахова пространства является ба!!якою гм пр«» трап«твом.

11) Может ли в банаховом пространстве иметь пустое перес еченне по! лед! я зтгззьн«» ть и и у! Тьс«! з якн .- тых влОженных мнОжеств.

12г! Доказать, чтО в прс!стран«тве «О «кадя, ным п!»я!э!вел'ннем Яр!я лнбых э и.,~и нт яг э, г, = нги г мг< ! г

тождество Лполлония! !'(х — х!,,'' + "= — у" г = г',« — !« , '—. 2', с — Чд !,'-'.

13) Доказать. что,зля того, чтобы элемент х югльб«ртового гргз«тра!!«Твз П был орт«ггонален п«гзг рстранству Х, С Н необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента у б Е нм«зо г.исто не! Зп«Яство !!!х('! < (!!х — у',!.

14) Доказать, чтО п!зи фиксггровзнггом натуральном г! ьгножествг! ЬУ = (х Е 1г: х = (Г!,.г .

, хг, = О) является по.".»Чугязстгг!гн«тггок! гя»» трян«твз 1г, Описать тяк«ге п;ягст!г,агство Х,

1 = 01(~Х.

1б) В ПрОСтраиетВЕ 1. раССМОГрНМ ПОСЛЕдОВ«!ТЕЛ!,но«ТЬ Х! = (1, З~г, у!Т,:;(Т, .), Ь ~ 11. ДОКЗЗатЬ, ЧтО

линейная Оболочка этой п«зследовательности всюду плотна в пространстве 1з.

16) Доказать, что следукицие операторы яазякзтся линейными ограниченныггн, и найти нх нормы;

А)А Сг(а Ь' С~ Ь' Ах«!) — '-'-'

8) 4: Ет(0,1! Еэ(0,1~, Ах(с) =11" х(т)«(т;

17) Пусть Х и ?' - личейные нормированные пространства, А: Х ?' - линейный оператор с областью изменения Й(А). Л)Доказать, что 1?(А) - линейное многгкбрззне в ?'. В)Вс«гза ли Л«Л)- пггдгг(юстраггство в ?г?

13) Доказать, что в баиахогом пространстве Х для любого А ~ Е(Х Х) определены операторы

г-а !гь; ц

Распознанный текст из изображения:

1о) Пусть Х - ба»п»ново пространство, А ~ Ь(Х Х). Доказать, что [[ел[[ < ейлй Найти ег где гто»кдественный оператор.

20) Р мо Ри пеРатоР А: С[О, Ц С[О, Ц. х(!) ф (1) б пред ения»»(А)

многообразие два»кды непрерывно диффереицнруемык функций (!)

х(0) ° х'(0) = О. Найти А ' и доказать, что он ограничен.

(1 "я!

21) Рассмотрим оператор А: С[О,Ц- С[О,Ц, Ах(!) = [ е х(е)Нв. Существует ли оператор А '?

22) Рассмотрим оператор А: С[0, Ц С[0, Ц, Ах(!) = )' х(г)Ит+ х(!). Пусть А»(А) - ядро опера ра

А. А ) Доказать, что»»'(А) = (0), так что п»п любом р Е С[0, Ц уравнение Ах = у не может иметь

более одного решения. В) Найти операт р А ' и доказать, что он ограничен.

23) Доказать, что оператор А: С[0, Ц - С[0, Ц, Ах(Г) = х(1) + [ ~ е'+'х(г)сЬ имеет ограничеивъгй обратный и найти А '

24) Пусть Х - комплексное линейное пространство, ~ - определенный на Х и не равный тожд ственно

нулю линейный функционал. Доказать, что область значений ! есть все С.

» ъ г»

-о) доквзаль, что следующие функш»окаты в пространстве С[-1, ц являются линейными неирерьгеными и найти кк нормы:

А)Дх) = (х,Д а 2[х(1) — х(0)!;

)Ы-(х,а=~',х(!) -~,'х(!)

2б) Доказать,что следующие функционалы в пространстве С[-1, Ц являются линейными непрерывным,

и найти пк нормы:

А)!(х) = (», !) = ~, оьх(1~):

В) ! (») = (», „1) = ), х(ф!! — х (0), где о~ б ., »~ Е [-1., Ц

27) Бупут лн ограничень» в пространстве С[0, Ц следующие линейные функционалы: А) (х, Д = !е х(Г )г!Г; В) (,У) = 11 „с„[ (1") й?

28) Доказать, что следующие функционалы являются линейньп»и непрерывнь»ми и найти иес нормы: А) (г, !) = ! !х(!)~!г, х Е С [-1, Ц; В) (», 1) = [ Г»(!)Й, и Е Е[-1, Ц.

29) Доказать, что функш»оиач (.г. »') = ~ »,, г1', » — — (.г,. »з....) Е !» является линейным непрерывньг... и найти его норму.

ЗО) Для х(!) 6 С[-1, Ц положим (». !) = ' ., "' + [, »»(!)с!!. Доказать. что у - ограниченьъ»й лик:Оный функционал.

ЗЦ Найти сопряженный к оператору А: Ее[0, Ц А..',0.11, если А) Ах(!) = 1,»»(г) !г; В) Л»(!, = .[е ех(е)1~.

32) Найти сопряженныйкоперат-ру Л . ! 1:,если А) А» = (»„..г-, ....»„,0,0, Л;В) Л» = (0.»..»с,

при х = (х», х2, ...).

33) Найти сопряженный к оператору Л; ! — !з если А1 Л» = (1»». А». '!. Л,... = .".: Л„'- 1: В. А» =: (хз,хз,...), при х = (х»,х», ...).

34) Какие из следующих операторов А: С[0, Ц вЂ” С[0, Ц являются вполне непрерь»иными:

А) Ах(1) 1х(1);

В) Ах(1) [' (~)И~;

С) Ах(») х(0) + 1х(1);

В) Ах(1) ~, е" х(а)Не;

Е) Ах(!) х(1з)?

33) Будет ли вполне ийпрерывиыве оцаратор А: С[-1, Ц С[-1, Ц, Ах(1) ~ Цх(г) + х(-1)[?

Распознанный текст из изображения:

36) При каком условии на функцию ~'11 С10, Ц оператор А: С]0, Ц - С]0 Ц, Ах(1) —,(1)х(1) будет вполне непрерывным?

37) Будет ли вполне непрерывным оператор Ах(1) = т1, если он рассматривается как действующий: А)

4»

А:С']О,Ц вЂ” С]О,Ц;В) А:С']О,Ц С']О,Ц;С) А:С',О,Ц С]О,Ц»

38) Сформулировать критерий компактности в 1„. Какие из следукяцик операто~ ~в А; ! неарерьпцпд (прях = (х1, хт, ...)): А) Ах = (О, х1, х»....); В) Аг - (х, »у ьт ). С) Ах (О ., ы ад)т

30) Доказать, что оператор А: 12 -' 12 4х = (Л1х1 Лхх2, ...) для х = (х1, х2, ...) 6 1т, где Л, Е Е, й Е И, впрь Щ < оо, есть самосопряженный оператор. При каком условии на последовательность Ль он будет неотрицательным7

40) Доказать, что оператор А: Х р]0 Ц -" Хх]0 Ц, Ах(1) = 1х(Ф) есть неотрицательный самосопряженный оператор.

41) Доказать, что оператор А: Хэ]0, Ц вЂ” Х|]0, Ц, Ах(1) = Хе е'+'х(а)~Ь является самосопряженным и неотрпцательиым

42) Пусть Ь ф К, Ь ф О фиксировано. Доказать, что разностный оператор А: Х, ( — эо, ос) — Ес( — =с. с'.. Ах(1) = ~(х(1+ -") — х(1 — д )] является самосопряженньь~.

43) Пусть А - самосопряженный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н, причем А ф О. Доказать, что если существует ограниченный оператор Л ', то обратный оператор тоже самосонряжен.

44) Пусть А - ограниченный самосопряженный оператор, Л ~ С, ХтЛ ~ О. Доказать. что оператор (А — ЛХ) ' существует.

45) Рассмотрим оператор А: 12 !», Ах = (0,0.х3..гаг ...'~. для х = (г1..г .хз.. ) 6 1.. Доказать. чтс Л самос тпряжен и 1т и А > О. Найти оператор ~'Л.

46) В вегпествсниом линейном пространстве С,' — х. -:! найти собственные ~ив .:.пгя и сгмзств~ пиы' г 'кторь: оператора: А) 4х(1) =:г(-1); В) А г",.' = ( ' со=(» х 1)х(~)<1е.

41) В пространстве С:,О, Ц рассмотрим оператор Ах(1) = х(О) + 1х(1). Найти п(А), г (.4>,, х Ж.

46) Рассмотрим оператор А: 1з -+ 1т, Ах = (Л1х1,Лххх....) для х = (х1.х„-, ...) Е !т где Л„Е С. и 6 .':. ыр„, ',Л„] < +зс. Найти п(А).

40) Д»казать, что опеРатоР А: 1» 1, Ах = (О.х~.,', хзх....) длЯ х = (х1.х ....) 6 1' вполне непРеРьсзен и найти его спектр.

50) Доказать, что оператор А: Х.2]-1, Ц вЂ” Е. (-1, Ц, 4х(1) = 1, я-Гх(1)г11 вполне непрерывен и найти его спектр.

51) Доказать, что оператор А: Хв$0, Ц Хт]О, 1;.. Лх(1) = (о в1(1 — И)х(1)й вполне непрерывен и найти его спектр.