Ответы: Задачи с зачёта

Распознанный текст из изображения:

С »Ь "> Зевэчм двй маднлюэнв к эхеету по ФАН. 1.

По 6 щктр о Х бьр»

мегрв»ОО

»), каср>

хотарэк веэмеюююдес»рпйюа.

2. Поймать спрээедаюасть ью»зам мегрйгм юы прктрэвсюв 3, прв

р Е (3, оа) .

пахезэть, чю если э(к э) - ме*рыгэ е х, эо фуююпа

Э(э,у) =—

Я(,Э)

>+Э(ау)

эйкен «арэелэе*ма>рику в Х.

а. ПОЗЯЗэть спряэелэнаапы ээхюззэ ютрнх«

с((»пьб.

доню«Из ивы зрахэзеы вереевкпн Геемзерэ и Ь<лююсгаю.

а < >д ° ы 6 „...,Пей 1 Р

б (~(я(')' ив (»ц(,.,»г.(».

1 <э ю даыпйп чза мюзюсгаа и:а'< " Рю

дзэф фар в дыр ум«эх не (а ь) фу в э вмй э (6 О Сбыт>э»

щмктроюктю С'~фэ| ськтр«кой

г) У»ю<э 66 э<э (3»

0 д<екмтк чго опзрюнй юйр с(вьг)- озкрмтю мнаютюю

нээхврзьююзР в(вог)-лены>тюмиаезыт о.

9. да»эээп„чю эемююеюе Огэрьпого Оэ'Ра ююрпнтю й эюэнупю

ые)ю во мана»с пвм ма ПЗейюэтз

10ЛЦ к<р ер ер вхп щ р тае з>р э>аул

лзэзюззугмй езэр яюэегся азэрмпэм мВО»всгеэзз Ва йе яэлэюпз Озэрмпзм

ЮВРОМ.

П. ПРйыстм прнмер мещичесюво простреле«и. е плором юкаторый

ыэр баю«Иго рпзнуса целиюю «епвт в юере мевьюего рюкю<в

юкдыээьть о МЭА ес ма~юп вюы а р ае еэес

сааервяюеем э А, э мваеесюао А есп юиаюпэнее ээмэнутсе м«опестео,

содернюцы А .

11. Прнюэсгл пример меюркчесмко прас»реноме н ээзенугы»,

йее> »кеыааюй»сй млалэссй, Ээээ<», чта рй<сгаэнйй зын>зу нйм«рйазю пулю.

1е.даю>люк что млкювэнме к <лкрьзлвзу ююэжтеу есть ээмэпузое

маавэсзйо в ах оборок

35. Приэ<чтм п>в<мер ютрзы<»хана п>юсгрэиспп в 33;э\е

еюпщм<энмаззййа:К зймылггн», Озрйййчеюзи» мйапэсгэ е ймю, рэО:гаяюм

МЕВДУ ЮПОРМВЫ РЭЭВО ВУЛЗЕ

16. Прзместн претр эзетрмчеспно «расюрайспв, е »отаром не«В«ум«

оп:рзпьзй взйр йхаййг<я зймз:й> цзм мйайзктаом, Ва ва йпзэеюсэ земюю><зпм

«>эрам.

17. Д<элэьть что мвопесзво фувхдп«э = »»З, зде я - любое пелае

чаань еэлэенл нигде не аваыпвю епросюракты с ((03)).

10, 6 щюсщыктае 3, прн ре(3.аа) попраны последоюылнкююь

выхевенх друг е друге лпвлузюь мелуспэх меюыге с

ЗЕРМЛЧМОЕВЮ.

19. Даэюьть что заюнестео П рэцлоээльпмх чисел юцау платно е

д.

2>. <*>Пуюь а - «рраднавельнае число. Донель, чю мваиесгаа

(ав(яю41)» прн п 0,02... »пцарплотаоэыреи«(0,3).

21. Дознэеп чю мнаиеспю Д '3 <2 йррэцконепнмх чисел маму

пылное д.

22 <* >Пусть а - нррэюэоневьеое число. Доюпэп„по мволеспю

( (юые>)» прм =0~,аэ.. еээй< ла >еатрезэе (03).

деапэтв чю прасчалспе ь прв у е (3,ю) лолиы.

рй < >даююзьыэююуп~~~ Рэнспм с(»кь)).

и дылюп па»юлу в сепэрэбельвасть щ»ктрэыча й, щю э е (3 "'1.

да»яэ чга прытразк а ф ы лвэх пас наоеювюююей !

О<кпуплатвое 3, прн ре (3.<ю).

27 <эюдыеэыь, чза елм»„...,а„ед, т прк г>э. »,уе(1эю).

[~м]' ~й*,»1

> даеюеп чю 3 с 3, дрк 3. > р, г, р е (З,о ) .

23 <» > дав>Зал„по елл х = (»„х„...) е <, дйв Взюко > »юг<за г с (3 < )

та айрва рэеевс ео

1Хо'(А»т,)з) = ЗЮ)»,(.

Распознанный текст из изображения:

30. ! >до«аз«те, попросту««с>ж фяннппш поспело«втек«нос!ей у

шжрабельно, но лево«но.

31 г >Доке>«и чтоеою ем(г г )е! диках>гя >л бо ар )

ю два любого, та«ого, пе р < г < оо, верно нера влепю

ф)д) ]'.~й.())

32. Двагктг, по пресгреискю 1, при ре(>,со) сел«рабелюьь ж

просграштео ( вмеоврабелыпь

33. 1*«>ДО««гать селкребевыкюъ прас>ревсюю 8((<1!).

34. ! > Уш»повять ююыъу в севарабельюхть пушту«всю с и с,

35. Пу В- ю швы 4. р ол ое др ! Вра

8=~«0) (к„)< — „, а«42...).

1

Доппап что мволесвю В с мегрюкю прессу«негев 4 ю«нелл шювим

иетрлчесюю просгревсжаь Мвожсгео В на«ма«сна основным

парана»>жпнпиюм а 1, млн юьнбйнм8»м ««ревы«к .

Мх! >Дюю, о ес о а пргр е

комоаатвым толю и только пшв, нада ово гемхвуто и огравичевп

37. ! > Доююпа, по ьою>юсвю я просбышчю й" „п!аг ! е(>,оо)

вввяевп навыки>ми тоти> н толью паде, ыкд«оно эеиввуго и ограничено.

30. Дневал чш мвовесгео фуняпий ыюх к,(!)=!", «=Цб., в

просту«штш с()«1)) при 0<» <4с1 стносипоьно комп«кинь во ве

30 пусть м .рапканржогрн»гчеевоемвовесюофувкпвв в с((01)).

доке>ать, что мволесшо фунвдий «Ню

т (!) = ) «(1) Аг, ! е (О, 1), *(!) е М

отвосюелыю пюпютве, но ве «омлакхвп

40. пус>ь м - мпоаесшо есех нелреривкмк на огретю (й!) фуюавю к(1), удоелегеорпопшх креееыы уаиааям к(0) = О, т(1) = 1 и требоеевюо («(!1 < ! при а < ! < 1. реамогрев жпчу»лв р Е (1, )

юл ))*(гу'П,

лоаюкть, что мвожсвю М ве вняегся «омпактвым.

41. ! > С помооню теоремы бекеропрао;е даюшпь, чш ьлрссгравсше с((о, >>! жб в шн» ! ьр в(орб и д чн г рер

8(01) = в(о 1)(о(01) с венгром «о квохюмк множсгьеми обилию>шмм»,

темка>'л»мя, ао >н гал«клО! ю»>лаки>ы>ги.

4« ! > до к>ать, чш в лросгрештю 0' ((О, 1)) лл» лкбош вюурельюко

1 т б» ш югчв й шар в(орб и ш сфер

8(й!) В(0,1),0(0,1) сне>време 0 яви»оп« миоюнгеемиегреюгченвнм»,

тем«иупнаь во ве ппнотс» шюпакшию

43, доюьтш что е лресгрансгеюг 1,, ора »се« р еД>о), хамкнула»

еднвмчвыв шер В(0,1) иеднввчгюк сфера 8 (01) = В(0, 1) > 0(й 1) с зпиЦхю е

0 еешаокя виожсппмк огреннченнммн, пикну!мы», но ве явыпж«

44. ! > Ипюоььу» гюрзу бейерштран», шпеюп чш ь просгрввсппк

! Ид й ~В(01)я

8(((1)= В(01)(0(0 !) <пепфом«0 аеавпкпсаыаоиптвымимволасшами.

45. Ко>ю»«пыли«8(01)мнонеспю(ешю) прв«=42..>

еб. Дога!ать, по чихгбуплб пбю«п а 1, «аллея:я пвшакпюм

47, сьь>Пусть, В - .г«лйрна8 «арпа» а 1,. Доыпат сушеспювьние

)ю>нана в рмш>ть гад«чу

-„, фи)'

Яллесех Уе(!оы),счю«к е=(г г>, ).

4$. !*> пусть А е д", 1 е и" . до«езпг, чш атередиепваа

А«ГЕ+!,Ь=>Д О>ЕВ.

при лпбом вачавыюм прибавлении сэлвтш к решевюо сисгемьг лннеаных

елшбрквчмюог уранию>и

*= А«+1

топе и Оюью толп, «ы>п есе собсшенвые >вечевая мьтрюпг А по

абсолютноа велич«не мевыве 1.

40. доышпл по пш>ижппе>вмость депвык дробей

2 2 !.—, 2.>- у, 2+

! ! 1

2

2+ — 2+ — 1-

1

г 2+

2

вмюг првюь м нввтл его.

50. Пусш функпи«ДП определегвь двфферен гнруеие ва )а,ь) н

оп бране ег >тот отрезок е себа причем

шш(('П)(<1.

Распознанный текст из изображения:

Даейд)п„еюурюпд е де) =) ее а ),Е) ю сюе мрпюв п.

Я. Пус фу в ю Дб юр двюп д ффер и ру е да

аепеюс Ов уп вв Ь )ей

))Щ л<)д д б )сй,

ювю

))Д)5>лв) д ввп )ей

Дюв ур и ейб=-) ею сд р и.

51 Дп ппа пе прсссрпю е й; .еадю верра е е А й, "й,"

с р «в~ Ду, с) =)...Д.будюсаа пюд,п

,') ~,~ с!.

55. с )Дс пвп, вте е дрессрююае й" .юеа се еебраае е

': А:й," Р;, С ПДЮЮ)аср, Супд..,а,будвседудЮПЮ

пюЯЦ<).

ба с )д с'и и ею превере 'спп й ю пву и ебу ю

А ей, й; с юрвпеа ') Ду, ),у = ),,в, брат сюв ааюс

в; юААе„)<).

Распознанный текст из изображения:

б е ь) ю Задачи лдк падппоаки к зачету по йгАН. 2.

1. Доказать, чзо получится мииаагюнпюе определение «ааьац или зютребоеать ат непусгого семейства К замкнупкти относительно озедуялпих операцвйг а) и и '(> б) о и 2( > а) ( и (Ь .

2. Доказать, что длв лроизеольвогп ыножеспм А сеыейспю всех подмножеств А образует а -алгебру.

3. (ь ь) Доюоать, что дал произвольного множества А сеиейспю конечных подмножеств А образует кольцо. При э(ом если А конечно, то получаеп:я алгебра, а если А -счетно, то а-кольцо.

4. Доказать, что миоллспю ограниченных подмвоже(те чиоюеой прямом образует кольцо, «атаров не являя(ел ни а — кольцозь ни алгебрам

5. Пусть К- кольцо множеств и А е К. Символом К„обозначим семейспю множеств юща А п В, В 6 К. Доказать, что К, — инебра. В случае, если К- (г — кольцо, та К„- а -алгебра.

6. (ь) Домазать, что минимальное кольцо содерлазгкч произвольное полукольцо предсапюяег собой семейство всех конечных дзпья>ватиалых обыдиаений элементов полукольца.

7. (**> Параллелепипедом гг в прас(ран(тае Ыл (У > Ц нагаевы множество точек

и

т =)хгха П[а„зг[, а>е а, < х, < Ь ).

-г

Будем прелпалвтать, что любое из неравенств, олрецелазлдих гг,

молит быль строгим. Пусть Р„- мвожеспю параллелепипедов а Ыл, юкзюх, что

есе правые нерааевстаа являютгя строгими. Доказать, что Р„- папукольдо, но

кольцом не являегс«Кроме того, Р„не аеляегся ви алгеброй, ви а -алгеброй.

8. (**) Пуси, П„- множества гкех параплелзиипедое в В". Доюпать,

что П„- полукольцо, но кольцом не является. Кроме топь П„не ююаепя ви

алгеброц ни а -алгеброй.

9. (з *> Пусть /: А В в Я„в Яз — веилорые семейства аояиволпсге ю

А в В соатеетспивио. Пуси,таю«в /(Я„) = (/(Х) с В: Х 6 Яз),

/ '(8,) = (/ '(У) с А У е 8,). Доказать слезные угеерлденюс

° вози 8 -кольцо,то / (8 )-кольцо;

я если 8„- кольцо, то /(8„) не обязательно кольцо;

8,— бр б, Г'(8,)- бр

алгебра.

12. (ью Пусть К(Г'(Я ))-кольцо, содериаллге семейство / '(Яз).

До азать, что В(Г'(8,))=Г'(В(8,)), где В(8,)- мини а ьное кольцо,

содерлапкч семелсце 8 .

10. о з) Длл любого п,О < и < 1, построить соеерпзенное нигде не плопюе множе(тео на отреззв [О, Ц, мера «аторого раева а .

11. Построить аосцу нлотвое открытое юзожестео ва отрезке [О, Ц, дополнение которого до отрез(и [О, Ц имеет половительвую меру.

12. Можно ли построить на отрезке [О,Ц нигде не плопюе множа<ма мири 17

13. Доказать, что еоги мнолиспю на отрезке [О,Ц юлеет меру Лебега равную 1, то оно аооду плотва.

14. (**) Доказать, что любое вепусгае замкнутое множество на прямой меры н) ль является нигде ве плоппнь

15. Найти меру Лебега мвожеспм чисел на отрезке [О,Ц, а деопычяой записи «старых не встреча«пса цифры 1 и 2

16. Найти меру Лебега множества чисел на отмене [О,Ц, е десатичной записи когорых не встреча«лев цифра 1.

12. Какова мера дебета множества чисел на отрезке [О,Ц, десятичная запись которых невозможна без цифры 17

18. (з> Пуси. А — произвольное мнолеспю иэ отрезав [О,Ц такое, что д (А) > 0 и Р - мера Лебега ва прямой. Показать, что тогда всегда найдетгя неюмерииое мнолистео В, содержание(я в А .

19. Доказать, что любое ыножесгео на прямой (а том числе и неизмеримое) есть мвожеспю, измеримое на пылкости (и а любом просграв(тес й", В > 2). Найти его меру в ц".

3). (ь) Посзроизь на плоско(ти множеспю, неизмеримое по Ле безу.

21. (ь ь> Пусть А и В - множеспю меры нуль ва чзююеой прямой. Доказать что множесгао А х В имеет плоскую меру по Лебегу нуль.

22, (ь«) Пуси А и В-изыерииыеывожеспиначиогоеой прямой й Р.Д АхВ р и

д(Ах В) = д(А) д(В).

23. Пус М- з о ес о о е а «оспа коща (х,у) которых удоелепюрзют уоювию у = Ьх, где Ь вЂ” рациональное чиою. Определить меру миан(спи М .

24. (аз> Определить меру множеспи точек на пяоскасги, одна «оордината кторых ры(иональна другая — иррациональна.

Распознанный текст из изображения:

25. <**> Определить меру ыножестеа точек е пдостдевстее К", у

которых хотя бы одва коордивата рациональна.

26. доюпать, что график непрерывно» фувкпии ва отрезке (а,ь]

валяется мпожестаом, и.'агеримым по Лебегу еа плоскоспг. Найти его меру.

2?. <ь ь> Доказать, что график измеримой фувкции ва отрезке ]а,з]

яелвеюг мвожестаоьь ивзерюпшг по Лебегу ва пло<юкти. Найти его меду.

28. Пусгь и -конечная О -аддипгевея мера ва 1г -кольце Е.

Доипать, что:

1) если (А.),— возрастающая последовательность множеств ю и и

!Ол А„= ( ) А, О Е, то Взл д(*) = д(А);

1

2) если (А)",- убыеашппя последоеательвость мвозмсга иэ Е и

Вш* = П А„е Е, то 1ш1 д(А„) = П (А) .

1

29. <**> Доказать, чп> кольцо Е юшаетск а-кольцом а том и

только е том озучае, коша Е привадлежит предел кавдой еоэраспивцей и

убыеаюгцзй последоанельв<кти миожеста ю Е.

30. Показать, что препположевие о том, что ис<ошзая мера д

задавя ва полукольце (а ве па некоторой проиэаольвой системе мвожеста),

сушесгеевво для одиозвачпости ее продолвевиа.

31. Привести пример ковечво-зш<ипзвиай, ВО ВЕ О-аддюмевой

меды.

32. <ь *> Расоаотрим фувкцюо / <х> = х' дейстаителыю

переменного х. На пвзукольпе всех ивтереалое (открытых, замквутых,

полуоп<рытых) отрезка (О, 1] заедем меру по формуле

д((ПЬ)) = У(4) — у<а>.

Поюзать, по П-О-апдюиевая мера. Продолжим эту меру па кольцо и

рассмотрим лебегоео продолзшвие. Докаютъ что каитороео опгрытое и

замквутое ююжестеа юмеримы отвосыпэпио меры д и ваати меру этих

мвожеспз.

33. Доэвзеть, что если фувкция У юмерима ва юмеримом

мпоззесгее Е, то фувкцик ]У] и 1/У (У ш О) измеримы ва Е.

34. Доюпать, что вепрерыевая фувкцюг ва юмериьгом мвоиестае

измедима.

33. Доказать, что сузааа и произеедеиие двух ивзерзшых фувкциа

яалюОЗ<я измедиммми.

36. ПУС (У (х )Г р щ Ю * ° р

мвоиеспм Е по<ледоеательвость фувкпий. Доипать что озедуквпие

фу шз и юд ДА(х). ЫУ.(х) (У.('). 1ЖА( ).

3?. Дохшать, чго мвшеес о точю х, л>ш которых

послшю агельвост юмедвюо<фтвшпгй(У. (ЗьИ влю~сксхппигийспесгь

ИЗЗШДИМОЕ МЗЗОВЕСП1О.

33. Д, б (,Ь] фу ц р

39. Доказать, что любая кусочно-мовшовиав ва (О,6] фувкпик

измедима.

4О. д У Д ц прер й фу щ

юмеримай фувкции есть фувкдиа юмеримиг.

41. <ь> Вер о лзь о су рпо ц евши ой ф) пжи и

вепрерывюй фувюзии есп фувкциа юмерюаш?

42, <ьь> Верно ла, что сулерпозициа иваерииэш фупзхшй есзь

фу < р ?

43 Верно лгь что суперпозиция борелееских Фувюгий есть

фуакция борелввская?

н.. Опдеделигь, будут ли ошдукяцие фувкции измеримыми:

1) /(х) = —, х О (0,1) >

1

х(х-1)

2) У(х) = ш

и

О;ЗОЕ,

3) /(х) =

ешх,х Р Е,

жесгео ва числоеой прямо<О

зша,х О Е,

где х О (О,— "11, а Е- неизмеримое ьагожестео ва ивтерехле

21

(з(х),х е Е,

~1 — дх) х б Е

пзе е-вшюмеримое мвозшсгао па чиоюеой прямой, а фувюгия з(х)

пепрерыева ва прямой К и З(х) О О;

Ь,хе Е„

6) Дх)=~

Распознанный текст из изображения:

где Е =( ) Е,, а Е„- неизмеримые множества на числовой прямой.

4=1

45, (ам Пусть Р(з„,з„)- непрерывная функция в просгранстве

Ж, а функции /(Г), /(Г),, /х (Г) измериыы на прямой. Доказать, что функция

а(Г) = Р(/1(4),.,/х(Ю)) измерима ив прямой.

46. Привести пример последовательности измеримых функции,

схоЗПацейся по мере на некотором измеримом множсстве, но не сходяпийся ни

в однои точке этого множес*ва.

47. Пусть последовательность измеримых функций (/ ), сходигся

по мере к функции / на измеримом множестве Е конечной меры. Доказать,

что найдетсяподпоследовательность (/ ) этойпоазедовательноспс которая

=1

сходится к / п.в. на Е.

Д, 4 р и ф

необходимо и достаточно, чпзбы она могла быть предсывлена в виде предела

равномерно сходюцеися последовательности проспах измеримых функций.