ВКР: теория вычислительных методов решения многомерных ИУ и задачи квадратического назначения

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы исследований. Проблема эффективного численного решения интегральных уравнений (ИУ) большой размерности имеет важное практическое значение. Универсальных методов решения данной проблемы пока не разработано. В диссертации рассматривается подход на основе методов случайных кубатур и квази Монте Карло. В работе также исследуется известная теоретическая и прикладная проблема - задача квадратического назначения (ЗКН) и ее применение при оптимизации размещения равногабаритных элементов электронных цепей по критерию минимума взвешенной длины соединений на основе ортогональной метрики при помощи комбинаторных аналогов известных континуальных моделей и методов.

Фундаментальные результаты в этой области получены в работах Бахвалова Н.С., Михлина С.Г.,. Курейчика В.М., Палубецкиса Г. С., Кулакова А.А., Ермакова С.М., Иванова В.М., Кульчицкого О.Ю., Кореневского М.Л., Сипина А.С.,Иванова, В.М., Берковского Н.А., Антонова А.А., Silva, A., Coelho, L.C., Darvish, M. Важные результаты содержатся в работах таких ученых, как Васильев О.В. и др. Значительный вклад в развитие тематики диссертационной работы был внесен такими учеными, как: А.Н. Ткачёв, С.А. Некрасов.

Объектом исследования являются методы и алгоритмы решения ИУ большой размерности и задачи квадратического назначения.

Предмет исследования – теория вычислительных методов решения многомерных ИУ и задачи квадратического назначения.

Целью работы является разработка новых, исследование и совершенствование известных методов и алгоритмов приближенного решения многомерных ИУ и задачи квадратического назначения.
Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи.
В области математического моделирования:
- оптимизация размещения равногабаритных элементов электронных цепей с критерием минимума взвешенной длины соединений на основе ортогональной метрики при помощи комбинаторных аналогов известных континуальных моделей и методов.
В области численных методов:
– проведено сравнительное исследование и модификация методов Монте Карло и квази-Монте Карло для решения различных классов ИУ на основе применения как случайных, так и низкодисперсных псевдослучайных узлов и последовательностей Хальтона;
- разработаны и исследованы комбинаторные аналоги метода Гаусса-Зейделя, генетического алгоритма, метода роя частиц и соответствующие гибридные методы для решения задачи квадратичного назначения.
- разработан и исследован комбинированный метода анализа и оптимизации нелинейных динамических систем на основе интегростепенных рядов, регуляризации и методов Монте Карло и квази Монте Карло.
Разработан новый комплекс программ, реализующих методы Монте Карло и квази Монте Карло для решения многомерных как линейных, так и нелинейных ИУ и соответствующей полной проблемы собственных значений, а также для решения задачи квадратического назначения на основе комбинаторных аналогов известных континуальных методов с относительно высоким быстродействием и минимальными требованиями к объему памяти.
Научная новизна полученных автором результатов заключается в следующем:
В области математического моделирования:
– разработаны и исследованы новые модификации оптимизационных моделей и комбинаторных аналогов метода Гаусса-Зейделя, генетического алгоритма, метода роя частиц и соответствующих гибридных методов для оптимизации размещения равногабаритных элементов электронных цепей.
В области численных методов:
– исследован метод случайных кубатур для решения как одно, так и многомерных регулярных и сингулярных интегральных уравнений, уравнений Вольтерра и Фредгольма 1 рода, некорректных задач теории интегральных уравнений;
- проведено решение с помощью метода Ньютона многомерной нелинейной задачи ИУ Гаммерштейна. Показано существование нескольких решений.
- рассмотрены многомерные интегральные уравнения первого рода и их решение с использованием регуляризации Лаврентьева.
- решена проблема собственных значений многомерного ИУ. Установлено, что