ВКР: Исследование колебаний системы физических маятников с пружинами

Аннотация

Выпускная квалификационная работа (ВКР) посвящена изучению колебаний трех физических маятников, соединенных горизонтальными пружинами, и некоторых частных задач, выделяемых из общей схемы. Работа состоит из двух глав и трех приложений.
В первой главе рассматриваются свободные и вынужденные колебания физического маятника и маятников, присоединенных к неподвижной стенке горизонтальными пружинами. Получено дифференциальное уравнение малых колебаний при наличии линейной силы сопротивления и изучаются свойства колебаний. Для расширения математической постановки задачи вводится уравнение Дюффинга, позволяющее уточнить модель и учесть влияние момента силы тяжести физического маятника.
Во второй главе вначале рассматриваются малые свободные и вынужденные колебания двух физических маятников, соединенных горизонтальными пружинами. Вынужденные колебания вызываются заданным горизонтальным смещением конца боковой пружины. Считается, что оно создается свободными колебаниями массивного третьего маятника, на движение которого не влияют малые колебания двух других маятников, имеющих небольшие массы. Для выяснения справедливости этого предположения решается отдельно задача о свободных колебаниях трех маятников с пружинами, вызванных начальным отклонением большого физического маятника.
В Приложении А имеется подсчет моментов инерции трех физических маятников относительно их осей вращения. В Приложении Б проводится экспериментальное определение коэффициентов линейных сил сопротивления, действующих на маятники. В Приложение Впомещены некоторые программы и результаты расчетов, проведенных с помощью пакета “Wolfram Mathematica”.
Ключевые слова: физический маятник, свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс, уравнение Дюффинга, АЧХ.

Abstract

The master’s thesis is devoted to the study of vibrations of three physical pendulums connected by horizontal springs, and some particular problems that stand out from the general scheme. The work consists of two chapters and three appendices. The first chapter deals with free and forced oscillations of a physical pendulum and pendulums attached to a fixed wall by horizontal springs. A differential equation for small vibrations with a resistance force is obtained, and the properties of vibrations are studied. To generalize the statement of the problem, the Duffing equation is considered, which takes into account the influence of the moment of the gravity force.
In the second chapter, small free and forced vibrations of two physical pendulums connected by horizontal springs are considered. Forced vibrations are caused by a given horizontal displacement of the end of the side spring. It is assumed that the displacement is generated by free vibrations of a massive third pendulum, the motion of which is not affected by small vibrations of the other two pendulums, which have small masses. To clarify the validity of this assumption, the problem of free vibrations of three pendulums with springs, caused by the initial displacement of a large physical pendulum, is solved separately.
Appendix A contains calculation of the moments of inertia of three physical pendulums about their axes of rotation.
In Appendix B, an experimental determination of the coefficients of linear resistance forces acting on pendulums is carried out.
Appendix C contains programs and results of calculations obtained by the “Wolfram Mathematica” package, while using the numerical results found in Appendixes A and B.
Key words: physical pendulum, free and forced vibrations, resonance, Duffing equation, frequency response.

Оглавление
Аннотация
Abstract
Введение
Глава I. Колебания физического мятника с пружиной
§ I.1. Постановка задачи о колебании физического мятника с пружиной
§ I.2. Дифференциальное уравнение свободных колебаний физического мятника с пружиной
§ I.3. Решение дифференциального уравнения свободных колебаний без сопротивления
§ I.4. Колебания физического маятника с пружиной при наличии линейной силы сопротивления
§ I.5 Вынужденные колебания физического маятника с пружиной. Уравнение Дюффинга
Глава II.Колебания двух физических мятников с пружинами
§ II.1 Уравнения движения двух физических мятников с пружинами без учета сил сопротивления
§ II.2 Уравнения движения двух физических мятников с пружинами при учете сил сопротивления
§ II.3 Вынужденные колебания двух физических мятников с пружинами при учете сил сопротивления20
§ II.4 Свободные колебания трех физических мятников с пружинами при учете сил сопротивления1
Приложение А. Расчет моментов инерции физических маятников
Приложение Б. Экспериментальное определение коэффициента линейного момента сил сопротивления7
Приложение В. Некоторые программы, написанные в пакете “Wolfram Mathematica”, для решения полученных дифференциальных уравнений9
Заключение…………………………………………………………………..32
Список литературы3

Введение

Выпускная квалификационная работа (ВКР) рассматривает малые свободные колебания физических маятников с пружинами (см. рисунок 0.1). Получены уравнения движения рассматриваемой системы и отдельных ее элементов. Построено общее решение дифференциального уравнения, из него выделено частное решение, соответствующее заданным начальным условиям. Проведен ряд экспериментов на установке с физическими мятниками, имеющими пружены, которая на