Курсовая работа: Построение гармонической сетки в области на плоскости

2

Введение

Актуальность темы исследования. Данная работа посвящена изучению и разработке - построения гармонической сетки в области на плоскости, а также вариационного метода построения структурированных трехмерных сеток, вариационного метода построения подвижных адаптивных сеток, подстраивающихся к особенностям решения, разработке консервативной схемы расчета двумерных нестационарных течений газа с выделением химической энергии на подвижных сетках и алгоритма консервативной интерполяции на гексаэдральных сетках.

Методы построения счетных сеток интенсивно развивались в течение последних пятидесяти лет. Это обусловлено большим числом приложений, связанных с моделированием физических процессов. Сеточные методы активно используются при численном решении задач гидродинамики, электродинамики, микроэлектроники, магнитной гидродинамики, при численном моделировании климата и океанических течений, а также в других областях.

Алгоритмы построения сеток разрабатывались в работах российских ученых С.К. Годунова, Г.П. Прокопова, H.H. Яненко, А.Ф. Сидорова,

A.A. Самарского, H.H. Калиткина, С.А. Иваненко, В.Д. Лисейкина, Л.М.Дегтярева, A.A. Чарахчьяна, О.В.Ушаковой, В.И. Мажукина,

B.Ф.Тишкина и др., иностранными исследователями - A. Winslow, J.F.Thompson, Z.U.A. Warsi, C.W. Mastin, P.R. Eiseman, P.L.George, P. Knupp,
G. Liao, и др.

Построение сетки состоит в разбиении физической области, где необходимо проводить моделирование физического процесса, на подобласти, называемые ячейками (элементами) сетки. Ячейки сетки не должны налегать друг на друга и должны заполнять всю физическую область без зазоров. Структурированная сетка в двумерной области создается разрезанием ее двумя семействами линий, называемыми сеточными или координатными линиями, на четырехугольные ячейки, подобно разбиению прямоугольной области на прямоугольники. Структурированная сетка в трехмерной области создается разрезанием ее тремя семействами поверхностей, называемыми сеточными или координатными поверхностями, на шестигранные (гексаэдральные) ячейки, подобно разбиению прямоугольной области на прямоугольные параллелепипеды. Вершины ячеек называются узлами сетки. Нумерация ячеек и узлов структурированной сетки задается простейшим образом, подобно нумерации элементов матрицы с двумя индексами в двумерном случае и элементов матрицы с тремя индексами в трехмерном случае. Для неструктурированных сеток связь каждого узла сетки с соседними узлами организуется специальным образом, и число соседних узлов (следовательно, и форма ячеек) может быть разным.

Разбиение области на ячейки следует осуществлять таким образом, чтобы получить как можно точнее численное решение физической задачи. Классификация работ по различным способам построения сеток приведена,

3

например, в [193] (Thompson, Warsi, 1982). Методы построения сеток могут быть разделены на три основных вида: 1) построение с помощью алгебраических преобразований, с использованием различных видов интерполяции-или специальных функций преобразований, 2) посредством решения дифференциальных уравнений (при этом дифференциальные уравнения могут быть различных типов: эллиптические, гиперболические, параболические, смешанного типа и др.), 3) посредством решения вариационных задач, основанные на минимизации функционалов.

Алгебраические методы построения гармонической сетки просты, И они обеспечивают быстрое построение сетки и контроль густоты и

наклона координатных линий с помощью коэффициентов в интерполяционных формулах. Однако, они обладают рядом существенных недостатков. В областях сложной формы координатные линии (поверхности) могут перехлестываться и выходить за границу области, что приводит к вырождению ячеек сетки.

Они переносят особенности границы (например, изломы) вглубь области. Для устранения этих недостатков были развиты методы построения нерегулярных сеток, состоящих из треугольных ячеек в двумерном случае и тетраэдральных в трехмерном. Подробные описания некоторых алгебраических методов приведены в [193](Thompson, Warsi