Все ответы к экзамену, страница 8

При анализе САУ обычно рассматривают нормальныйзакон распределения вероятности. Это обусловлено центральной предельной теоремой теориивероятности, согласно которой плотность вероятности суммы различных случайных величин (сразными плотностями распределения вероятности) стремится к нормальной с увеличением числаслагаемых в общем случае плотность вероятности случайного процесса является функциейвремени: P( x(t ))  P( x, t )Линейные САУ при случайных воздействиях.До сегодняшнего дня предполагалось, что внешние воздействия, приложенные к САУ являютсядетерминированными (то есть определенными) функциями времени.

Однако, на практике частовстречаются случаи, когда пренебречь случайной составляющей воздействия нельзя (например,системы приема-передачи сигналов; системы, работающие в условиях сильного шума или помех).Случайные воздействия могут прикладываться к системе извне, или возникать внутри нее(внутренние шумы).Исследование САУ при случайных воздействиях проводят с помощью специальныхстатистических методов, вводя в рассмотрение определенные статистические характеристикислучайных величин.

Естественно, с помощью статистических методов невозможно предсказатьзначение той или иной переменной САУ в конкретный момент времени. Поэтому, необходимопомнить, что исследование САУ статистическими методами дает представление о среднихзначениях (наиболее вероятно воспроизводимых, носящих массовый характер). То естьисследование САУ статистическими методами сводится к исследованию преобразованийнекоторых средних величин, характеризующих случайный процесс.Анализ линейных САУ при случайных воздействияхПринимаются предположения о стационарности случайного процесса. Если САУ устойчива истационарна, то выходной случайный процесс – стационарен.По формуле свертки реализация случайного процесса на выходе САУ будет иметьвид: x( t ) g( t   )k (  )d , где  - независимая переменная интегрирования.1T  2TR x (  )  l imx( t   ) T x( t )x( t   )dtT g( t     )k(  )d1R x (  )  limT  2Tg(t)k()dg(t)k()ddt  T  T1  k (  )d  k (  )l im T  2TT1l imT  2TRx (  ) g(t)g(t)dtdTT g( t   )g( t     )dt  RG (      )T k(  )d  k(  )RG (      )d(1)Данное соотношение позволяет по известной корреляционной функциикорреляционную функцию на выходе линейной САУRG (  ) определитьR x (  ).Аналогичное (1) соотношение можно получить для частотной области:R x (  ) называется спектральной плотностьюПреобразование Фурье от корреляционной функциимощности случайного процессаS x ( )  R x (  )e jSx ( ):d(Общий вид преобразования ФурьеX ( )  x( t )e jd ) jd вычислим преобразование Фурье от (1):Sx ( ) d d  d  k(  )k(  )RG (      )ed  k(  )k(  )RG (      )e  j (    ) e  je j d 2 Wвх ( j )  Wвх (  j 0  S x (  )  Wвх ( j ) S G (  )Рассмотрим случай, когда на САУ действуют 2-а случайных сигнала, полезный сигнал G(t) ипомеха F(t).22S x (  )  W1 ( j ) S G (  )  W2 ( j ) S F (  )W1 ( j )  F ( RG (  )) , W2 ( j )  F ( RF (  )) .Лекция.

Нелинейные САУ при случайных воздействиях. Метод статистической линеаризации.Нелинейное преобразование случайного воздействия изменяет его закон распределения, т. е. основнуюстатистическую характеристику случайной величины.Точных методов исследования нелинейных САУ при случайных воздействиях не существует. Для ихисследования используют различные приближенные методы.При рассмотрении нелинейных САУ при случайных воздействиях используют два подхода:1).

Предположение о малом уровне случайного сигнала. Используют линеаризацию нелинейнойзависимости в точке, соответствующей мат. ожиданию случайной величины. p( y ), | y | bp( ( y ))   ( y  b), | y | b0, | y | b00Тогда X    (Y )  kY  kmy  k Y (t )  m X  X (t )2). В случае, если входной случайный сигнал нельзя считать относительно малым, используютметод эквивалентной статистической линеаризации.Метод статистической линеаризации.Идея метода основана на приближенной замене нелинейных преобразований процессов,происходящих в системе, статистически эквивалентными им линейными преобразованиями.

Врезультате такой замены система линеаризуется и для ее исследования можно применятьаппарат линейной теории. Данный метод может быть применен только для нелинейныхэлементов с однозначной характеристикой. При использовании метода статистическойлинеаризации предполагают, что закон распределения случайной величины нормальный. Такоепредположение может быть сделано исходя из того факта, что любое реальное инерционноезвено (т. е.

обладающее свойствами фильтра) имеет тенденцию к «нормализации» законараспределения случайного процесса.Основным критерием при статистической линеаризации является критерий равенства мат.ожидания и дисперсии случайного процесса на выходе нелинейного элемента и эквивалентногоему линейного элемента.Y(t)X(t)Обозначим случайный процесс на входе и на выходе нелинейного элемента как00Y (t )  mY (t )  Y (t ) и  X (t )  m X (t )  X (t ) соответственно, где m X , mY - мат.

ожидание,00X (t ), Y (t ) - центрированный случайный процесс.При статистической линеаризации сигнал на выходе эквивалентного линейного элементапредставляют как00U (t )    (mY )  K1 Y (t )  mU (t )  U (t ) , где  0 (mY ) - мат. ожидание нелинейной функции  ( y) ,K 1 - эквивалентный статистический коэффициент усиления по случайной центрированнойсоставляющей.m y (t )0mU (t )   0 (t )U(t)K10Y (t )00U (t )  K 1 Y (t )Если нелинейный элемент имеет нечетную характеристику  0 (mY )  K 0 mY (t ) ,гдеK 0 - эквивалентный статистический коэффициент усиления нелинейного элемента по мат.ожиданию (по случайной составляющей). Как видно, в этом случае нелинейный элемент былзаменен двумя линейными элементами с коэффициентами усиленияm y (t )K 0   и   K1 .mU (t )K0U(t)K100Y (t )U (t )Как было отмечено, критерием статистической эквивалентности является равенство мат.ожидания и дисперсий на выходе нелинейного элемента и эквивалентного ему линейногоэлемента:m X (t )  mY (t )   0 ;    D X (t )  DU (t ) .Для нечетных нелинейностей K 0 m X (t ).mY (t )Для определения коэффициента K 1 рассмотрим уравнение:02DU (t )  M {U 2 (t )}  M {(K1·Y (t )) 2 }  K1 · DY (t )откуда K1 D X (t ) (t ) X  Y (t ) - среднеквадратические отклонения., где  X (t )  и DY (t ) Y (t )Статистические коэффициенты можно также выразить через нелинейную зависимость иплотность вероятности Ф(Y) случайного сигнала Y(t) на входе нелинейного элемента. 0  m X (t )    ( y )· p( y )dy;m X (t )1K0  ( y )· p( y )dy;mY (t ) mY (t ) K1  1DY (t )22( y )· p( y )dy  m X (t )   .Метод статистической линеаризации наиболее часто используется при предположении остационарности случайного процесса.

В этом случае mY  const;   DY (t )  const и коэффициентыстатистической линеаризации не зависят от времени. При этом линеаризованная система являетсясистемой с постоянными параметрами и её исследование может быть проведено сравнительнопросто.При рассмотрении нестационарных процессов статистическая линеаризация не даетпреимуществ в анализе нелинейной системы, так как при этом коэффициенты линеаризациименяются во времени, то есть линеаризованная система представляет собой систему спеременными параметрами.Исследование нелинейных систем методом статистической линеаризации.Общая формулировка задачи: определение статистических характеристик любой переменнойсистемы (регулируемой ыеличины X(t), ошибки регулирования E(t) и др.) по известнымстатистическим характеристикам входного сигнала и заданным передаточным характеристикамлинейной части W(S) и характеристикам нелинейного элемента.Расчет разомкнутых САУ.G(t)W(S)X(t)Расчет ведется при предположении о стационарности процесса в системе.Пусть на вход САУ действует стационарный случайный процесс с нормальным закономраспределения, который в общем случае представляет собой сумму полезного сигнала и помехи:0 G(t )  m g (t )  G(t ) .0Случайный процесс на выходе буде иметь вид:  X (t )  m X (t )  X (t ) .

Поскольку в результатестатистической линеаризации мы получаем эквивалентную линейную систему, то, исходя изпринципа суперпозиции, мы можем рассматривать независимо действие мат. ожидания m g (t ) и0центрированного случайного процесса G (t ) .m g (t )K0W(S)0G (t )При этомK1X(t)m X  m g· K 0 (m g , Dg )·W (0),S 0 ( w)  S 0 ( w)·| K1 (m g , Dg ) | 2·| W ( jw) | 2 .XGСоответственно D X  R 0 (0) X12S0X( w)dw .Расчет замкнутых САУ.(t)G(t)U(t)X(t)W(S)0 G(t )  m g (t )  G(t )Пусть искомой величиной является ошибка регулирования t.Основное предположение.

Хотя закон распределения случайного процесса на выходенелинейного элемента отличен от нормального, однако, проходя через линейную часть (дляреальных систем обладающую свойствами фильтра) он нормализуется и таким образом законраспределения X(t) близок к нормальному. Поэтому можно считать, что случайная ошибка навходе нелинейного элемента также имеет нормальный закон распределения.0 E (t )  m (t )  E (t )Будем полагать, что нелинейный элемент имеет нечетную характеристику, тогда сигнал на выходенелинейного элемента00U (t )  mU  U (t )  K 0 (m ,  D )·m  K1 (m ,  D )· E (t ) .В результате линеаризации у нас получилась линейная система, и поэтому по принципусуперпозиции мы можем рассматривать независимо действие мат.

ожидания случайногопроцесса и центрированной случайной составляющей.Передаточная функция разомкнутой системы по мат. ожиданию:Wm (S )  K 0 (m , D )·W (S ) ,а по центрированной случайной составляющей:W0 (S )  K1 (m , D )·W (S ) .Передаточные функции замкнутых линеаризованных систем относительно ошибки равны:-по мат. ожиданию: m ( S )  Wmg m ( S )·mg ( S ) ,Wmg m ( S ) -111  Wm ( S ) 1  K 0 (m ,  D )·W ( S )(1)по центрированной случайной составляющей: S 0.

( w) | W 0 0 ( S )W 0 0 (S ) gg| 2· S 0 (U )GS  jw11.1  W 0 ( S ) 1  K1 (m , D )·W ( S )(2)Передаточные характеристики (1) и (2) взаимосвязаны через коэффициенты K 0   и   K1 , которыеявляются функциями неизвестных переменных m   и   D . В общем случае данные уравнениямогут быть решены только совместно. Получаемая при этом система имеет вид:m  Wmg m (0)· m g 1D 21·mg1  K 0 (m , D )·W (0)1S0 (w)dw  2 | W  ( jw) | · S20 0g0g( w)dwПри этом получается система:1m  1  K (m , D )·W (0)· m g  00 D  1 | W 0 0 ( jw) | 2· S 0 ( w)dw  0  2  g g(3)Система (3) содержит два уравнения относительно двух переменных m   и   D . Решаетсяподобная система либо методом последовательных приближений, либо графоаналитическимметодом.При решении методом последовательных приближений задаются первоначальнымзначением m 0   и   D 0 в первом приближении, затем находят m 1   и   D1и так далее до техпор, пока не будет достигнута заданная точность вычислений, то есть| m| Di 1 m i | i 1 D i  При решении системы (3) графоаналитическим методом строят кривые в координатах ( m , D )для каждого из уравнений: (рисунок 1 стр.116)1.