Электродвижущие силы обмоток переменного тока

В-2. Электродвижущие силы (ЭДС) обмоток переменного тока.

Правила выполнения трехфазных обмоток статоров

(Тема 16)

Обмотки статоров (якорей) синхронных машин выполняют с числом 2р полюсов ротора. Часть окружности статора приходящаяся на один полюс называется полюсным делением машины

                                              (В-3)

где D₁ – внутренний диаметр сердечника статора (рис. В-4, а).

При числе пазов z₁ сердечника статора приходящееся на один полюс число пазов (полюсное деление в пазах или зубцах)

.                             (В-4)

Рекомендуемые материалы

В пазу двухслойной обмотки лежат две активные стороны и условно считают, что одна катушка занимает один паз. Поэтому число катушек двухслойной обмотки равно числу пазов z₁ статора.

Для уяснения основных особенностей выполнения обмоток переменного тока рассмотрим процесс индуктирования ЭДС в обмотке статора магнитным потоком ротора. На рис. В-4 показан фрагмент сердечника статора четрехполюсной машины (2р = 4) с числом пазов z₁ = 36 (τ = 9).

Разложение в ряд Фурье кривой магнитного поля обмотки возбуждения, содержит только нечетные гармонические порядка ν = 1, 3, 5,…, вращающиеся с одинаковой частотой n вращения ротора.

Преобразование энергии происходит только за счет первой (ν = 1) или основной гармонической магнитного поля. Гармонические магнитного поля порядков ν > 1 называют высшими, они только ухудшают работу машины, создавая добавочные потери мощности, вибрации и шумы.

Радиальная составляющая первой гармонической индукции В₁ в точке внутренней поверхности статора с координатой х (рис. В-4, а)

,                                        (В-3)

где В_1m – амплитуда первой гармонической индукции; τ₁ – полюсное деление вращающейся волны первой гармонической индукции В₁.

Одна полуволна первой гармонической индукции В₁ (рис. В, а) занимает в пространстве одно полюсное деление машины (τ₁ = τ). В четырехполюной машине полюсное деление τ равно четверти внутренней окружности статора и соответствует геометрическому углу α _Г = π /2 = 90°.

Прохождение полуволны первой гармонической индукции В₁ с дли- ной τ₁ = τ вызывает в точке х соответствующее половине периода Т/2 изменение индукции по синусоидальному закону во времени. Изменение индукции В_1Х в точке x за время Т/2 равносильно повороту вектора индукции B₁ во времени на электрический угол α = π = 180° (рис. В-4, а).

Следовательно электрический угол в р раз больше геометрического

                                                                .(В-4)

Вследствие того, что волна индукции В₁ проходит расстояние х = τ за время t = Т/2 линейная скорость вращения волны индукции В₁ равна

,                                                       (В-5)

где Т – период, а f₁ – частота изменения первой гармонической индукции.

Индукция В_1Х индуктирует в проводнике х (в третьем пазу на рис. В-6, а) ЭДС, мгновенное значение которой по закону Фарадея равно:

,                                                  (В-6)

где l – активная длина проводника, примерно равная длине сердечника; V – линейная скорость движения  проводника,  равная по принципу относительности движения линейной скорости V вращения волны В₁.

Подставив в формулу (2.6) скорость V из формулы (2.5) и пройденденное волной В₁ за время t расстояние , получим:

  , (В-7)

где ω₁ = 2π f₁ – угловая частота изменения первой гармонической ЭДС.

Учитывая соотношение амплитудного и среднего значений для си-нусоиды В_1m / В_1СР = π/2, найдем магнитный поток, соответствующий по-люсному делению первой гармонической индукции В₁,

.                                (В-8)

Выразим из формулы (В-8) амплитуду индукции В_1m и подставим в формулу (В-7), тогда первая гармоническая ЭДС проводника

.                  (В-9)

Действующее значение первой гармонической ЭДС проводника

                 (В-10)

Соседние пазы 1 и 2 сердечника (рис. В-4, а) смещены по окружности статора на геометрический угол α _Г = 360°/z₁. Поэтому индукции В₁₁, В₁₂ первой гармонической магнитного поля на оси этих пазов и мгновенные значения ЭДС e_1,1, e_1,2 проводников в пазах 1 и 2 различны, а векторы ЭДС Ė_1,1 и Ė_1,2 (рис. В-4, б) смещены во времени на электрический угол

.                                            (В-11)

Если соединить лобовой частью активные стороны в пазах 1 и 10, находящихся на расстоянии полюсного деления τ (рис В-4, а), то шаг катушки y₁ = τ. Обмотки из таких катушек называют обмотками с полным или диаметральным шагом. При шаге y₁ = τ сцепленный с витком поток Ф_1В первой гармонической магнитного поля определяется площадью полуволны В₁ (рис. В-4 а) и максимален, так как равен определяемому по формуле (В-8) потоку полюсного деления Ф₁. Векторы ЭДС Ė_1,1 и Ė_1,2 проводников в пазах 1 и 10 смещены на электрический угол π или  180° (рис В-4, б). Так  как  проводники 1 и 10 соединены лобовой частью встречно, то первая гармоническая ЭДС витка Ė_1В = Ė_1,1 – Ė_1,10 (рис. В-4, в) и с учетом противофазности ЭДС проводников равна их арифметической сумм E_1В = E_1,1 + E_1,2 = 2E_1,1.

С учетом формулы (В-10) действующее значение первой гармонической ЭДС катушки с диаметральным шагом и числом витков w_К равно:

.         (В-12)

При шаге y₁ = τ первая гармоническая ЭДС катушки E_1К максимальна так как с витками катушки сцеплен максимальный поток Ф_1В = Ф₁.

Для экономии проводниковых материалов за счет уменьшения длины лобовых частей и улучшения формы ЭДС и МДС обмоток обычно катушки выполняют с укороченным шагом y₁ < τ.

Относительное укорочение шага

                                                       (В-13)

Если на рис. В.4, а соединить лобовой частью активные стороны в пазах 1 и 7, то шаг y₁ = 2τ/3, а β = 2/3. Поток Ф_1В первой гармонической магнитного поля определяется только площадью заштрихованной части полуволны В₁ в секторе между пазами 1 и 7 то есть уменьшается по сравнению с потоком Ф₁ при диаметральном шаге y₁ = τ.

Векторы ЭДС проводников Ė_1,1 и Ė_1,7 смещены во времени на угол βπ = 2π/3. ЭДС витка E_1В определяется геометрическим суммированием ЭДС проводников (и будет меньше, чем при y₁ = τ что является следствием уменьшения сцепленного с витком потока Ф_1В за счет укорочения шага.

Обусловленное укорочением шага уменьшение первых гармонических магнитного потока Ф_1В и ЭДС E_1В учитывают коэффициентом укорочения для первой гармонической k_У1, равным отношению ЭДС витка к арифме-  тической сумме ЭДС проводников. Из треугольника ЭДС abc (рис. В-4, г)

.  (В-14)

Действующее значение первой гармонической ЭДС катушки с учётом формулы (В-12)

.      (В-15)

Иногда волновые обмотки выполняют с удлиненным шагом y₁ > τ. При соединении активных сторон в пазах 1 и 13 шаг y₁ = 4τ/3,   а β = 4/3, то есть, выбрано удлинение шага на τ/3, соответствующее рас

смотренному ранее укорочению шага на τ/3. Поток Ф_1В первой гармонической магнитного поля определяется только площадью заштрихованной части полуволны В₁ в секторе между пазами 1 и 7 (рис. В-4, а), то есть будет таким же как и при укорочении шага на τ/3. Постоянство потока Ф_1В обусловлено тем, что линии индукции B₁ не заштрихованных участков полуволн разной полярности (между пазами 7–10 и 10–13 на рис. В-4, а) замыкаются внутри широкого витка с y₁ = 4τ/3 и не изменяют потокосцепления этого витка с первой гармонической индукции В₁.

Вследствие этого действующее значение ЭДС витка E_1В будет таким же, как и при укорочении шага на τ/3.Очевидно, что укорочения и удлинения шага одинаково влияют на ЭДС катушки и могут быть учтены по одним и тем же формулам (В-13)–(В-15). Обмотки с удлинённым шагом применяют редко из-за увеличения длины лобовых частей и повышенного расхода провода.

Оценим влияние высших гармонических магнитного поля на ЭДС катушки. На полюсном делении τ₁ = τ волны первой гармонической индукции В₁ укладывается ν полуволн ν-й гармонической индукции B_ν с полюсным делением τ_ν = τ₁/ν, так, для волны третьей гармонической индукции В₃ полюсное деление τ₃ = τ₁/3 (рис. В-4, а).

При диаметральном шаге катушки y₁ = τ (рис. В-4, а) линии индукии B₃ не заштрихованных средней полуволны II и двух половин крайних полуволн I и III замыкаются внутри витка и не изменяют потокосцепления витка с волной третьей гармонической индукции В₃. Сцепленный с витком магнитный поток Ф_3В определяется площадью двух не скомпенсированных заштрихованных половин полуволн I и III или полной площадью одной полуволны индукции В₃ с амплитудой В_3m и максимален, как и для первой гармонической индукции В₁. Очевидно, это справедливо для всех нечетных гармонических магнитного поля.

 При диаметральном шаге y₁ = τ сцепленный с витком поток Ф_νВ лю-бой из нечетных гармонических магнитного поля максимален и равен потоку Ф_ν , соответствующему полюсному делению ν-й гармонической,

.                                      (В-16)

Все гармонические индукции вращаются с одинаковой скоростью V,  и за один период изменения первой гармонической индукции В_1Х в точке х произойдет три периода изменения третьей гармонической В_3Х , то есть частота третьей гармонической ЭДС f₃ = 3f₁. Следовательно частота любой ν-й гармонической ЭДС в ν раз больше f₁:

  f_ν = ν f₁.                                                  (В-17)

Соответственно период Т_ν высших гармонических ЭДС в ν раз меньше периода Т первой гармонической Т_ν = Т/ν. Угол между векторами высших гармонических ЭДС Е_ν на временных диаграммах в ν раз больше, чем для первой гармонической α_ν = να (на рис. В-5, б угол α₃ = 3α при ν =3).

При диаметральном шаге катушки y₁ = τ для всех нечетных гармонических угол между векторами ЭДС проводников 1, 10 равен νπ и диа-граммы ЭДС проводников и витка одинаковы (рис. В-4, в; В-5, в). Поэтому все нечетные гармонические индукции В_ν магнитного поля индуктируют в катушке с диаметральным шагом максимальные ЭДС Е_ν.

Действующее значение ν-й гармонической ЭДС катушки с диамет-ральным шагом y₁ = τ и числом витков w_К равно:

.                 (В-18)

Результирующая ЭДС катушки образуется сложением всех гармонических ЭДС е_К = е_К1 + е_К3 + е_К5 + е_К7 +… Если амплитуды высших гармонических индукции В_νm велики, то высшие гармонические ЭДС е_ν искажают форму результирующей ЭДС катушки е_К, делая ее несинусоидальной.

При соединении в катушку активных сторон в пазах 1 и 7 шаг y₁ укорочен на τ/3 и равен 2τ/3  (рис. В-5, а). Сцепленный с витком поток третьей гармонической

магнитного поля Ф_3В = 0, так как в пределах ширины витка (между пазами 1–7) находится две полуволны I и II индукции В₃ противоположной полярности, которые компенсируют друг друга. Вследствие этого ЭДС е_1,3 и е_3,7 в проводниках 1 и 7 совпадают по фазе и третья гармоническая ЭДС витка Е_3В = 0.

Такой же результат дает удлинение шага на τ/3. В этом случае в пределах широкой катушки с шагом y₁ = 4τ/3 находится четыре взаимно компенсирующиеся полуволны I, III и II, IV индукции В₃ противоположной полярности. Поэтому сцепленный с витком поток третьей гармонической Ф_3В и ЭДС витка Е_3В равны нулю как и при укорочении шага на τ/3.

Следовательно, правильно выбранное укорочение (удлинение) шага уменьшает высшие гармонические ЭДС сильнее чем первую, то есть улуч-шает форму результирующей ЭДС е_К, приближая ее к синусоидальной.  

Для полного исключения любой нечетной ν-й гармонической ЭДС следует уменьшить шаг на τ/ν и принять шаг катушки

.                                           (В-19)

 Обусловленное укорочением шага уменьшение потокосцепления и ЭДС любой ν-й гармонической учитывают коэффициентом укорочения

.            (В-20)

Действующее значение ЭДС ν -й гармонической ЭДС катушки

.            (В-21)

У симметричных трехфазных обмоток высшие гармонические линейных ЭДС кратные трем ν = 3, 9, 15,… равны нулю. Поэтому с целью исключения наиболее сильно выраженных 5-й и 7-й гармонических ЭДС или МДС обмотки обычно выбирают укорочение β ≈ 5/6 τ. В двухполюсных машинах для уменьшения длины лобовых частей и упрощения укладки обмотки иногда выбирают β ≈ 2/3 τ.

Если обмотка фазы или катушечные группы фазы состоят из одной катушки, то обмотку называют сосредоточенной. Такие обмотки из-за плохой (несинусоидальной) формы ЭДС и МДС практически не применяют в качестве обмоток якорей синхронных машин.

Обычно обмотка фазы состоит из 2р групп катушек (катушечных групп), соединенных тем или иным способом. Катушечную группу образуют катушки, сходные активные стороны которых расположены в соседних пазах сердечника. Такие обмотки называют распределенными

Число катушек в катушечной группе двухслойных обмоток равно

числу пазов на полюс и фазу q₁, при числе фаз обмотки m

.                                               (В-22)

ЭДС группы |Ė_{ν ГР}| меньше арифметической суммы ЭДС катушек группы Е_ν = q₁E_νК или сосредоточенной обмотки с числом витков q₁w_К = 3w_К, образованной размещением всех q₁ катушек в одном пазу.

Следовательно, ЭДC распределенной обмотки меньше ЭДС сосредоточенной обмотки при равном числе последовательно соединенных витков. Это явление учитывают коэффициентом распределения, равным отношению ЭДС катушечной группы |Ė_{ν ГР}| к арифметической сумме ЭДС ка- тушек группы Е_ν.

Векторы первых гармонических ЭДС катушек Ė_1,К1, Ė_1,К2, Ė_1,К3 образуют часть abcd равностороннего многоугольника (рис. 2.7, б), вокруг которого можно описать окружность радиусом R = Oa = Od . Из геометрии известно что центральный угол, опирающийся на дугу ad окружности радиуса R равен q₁α, центральный угол, опирающийся на дугу cd равен α.

Коэффициент распределения для первой гармонической ЭДС  

    .  (В-23)

Коэффициент укорочения для любой ν-й гармонической ЭДС

.                                        (В-24)

Вследствие быстрого увеличения угла να с ростом ν высшие гармонические ЭДС катушечной группы е_νГР порядка ν > 1 уменьшаются больше чем первая гармоническая ЭДС е_1ГР то есть распределение обмотки улучшает форму результирующей ЭДС обмотки, приближая ее к синусоидальной первой гармонической. Поэтому для обмоток якорей машинах средней и большой мощности выбирают число пазов на полюс и фазу q₁ ≥ 3, иногда в машинах малой мощности принимают q₁ = 2.

Часть окружности сердечника, занятую пазами с лежащими рядом активными сторонами одной катушечной группы, называю фазной зоной обмотки. Ширину фазной зоны характеризуют углом, измеренным в электрических градусах основной гармонической магнитного поля в зазоре машины. В большинстве случаев обмотки статоров выполняют с шестидесятиградусной фазной зоной.

При числе пазов z₁ = 36 занятая пазами 1, 2, и 3 дуга окружности соответствует углам: геометрическому α_Г = 30° или электрическому α = 60°.

Действующее значение ν-й гармонической ЭДС катушечной группы

    .(В-25)

Все катушечные группы параллельной ветви обмотки фазы соединяют так, чтобы их первые гармонические ЭДС суммировались и увеличивали ЭДС параллельной ветви или ЭДС фазы. При числе параллельных ветвей обмотки фазы a₁ число последовательно соединенных катушечных групп фазы равно 2р/а₁.

Действующее значение ν-й гармонической фазы

.  (В-26, а)

В формуле (2.26, а) обозначим: 2pq₁w_К/a₁ = w – число последовательно соединенных витков фазы; k_Уν k_Рν = k_Оν – обмоточный коэффициент для ν-й гармонической фазы, тогда действующее значение ЭДС фазы

  .                            (В-27)

Обмоточный коэффициент k_Оν учитывает уменьшение гармонической ЭДС фазы, обусловленное укорочением шага и распределением обмотки.

У большинства двухслойных обмоток при обычно принимаемых укорочении шага β и числе пазов на полюс и фазу q₁ обмоточный коэффициент для основной или первой гармонической k_О1 = 0,87–0,96, то есть первая гармоническая ЭДС фазы уменьшается немного. Обмоточный коэффициент для высших (ν > 1) гармонических k_Оν уменьшается в большей степени, что сильно уменьшает высшие гармонические ЭДС и улучшает форму ЭДС фазы, приближая ее к синусоиде.

В трехфазных машинах обмотки фаз соединяют в звезду или треугольник. ЭДС и  напряжение одной фазы обозначают через Е_Ф и U_Ф, между концами фаз (линейные) – Е_Л и U_Л. При соединении фаз в треугольник (рис.В-6, а) основная гармоническая  линейной ЭДС Е_1Л = Е_1Ф, при соединении фаз в звезду (рис. 2.8, б)  Е_1Л = 2Е_1Ф sin (π/3) = √ 3 Е_1Ф.

"7 Определение калькулирования, виды калькуляции, объекты калькулирования" - тут тоже много полезного для Вас.

Для высших гармонических ЭДС при соединении фаз в звезду

                      (В-28)

Для всех гармонических, кратных трем (ν = 3, 9, 15,…), sin(νπ/3) = 0 и Е_3Л = Е_9Л = Е_15Л =…= 0, то есть кратных трем гармонических нет в ли-нейных ЭДС. Остальные гармонические ( ν = 5, 7, 11,…) присутствуют в   линейных ЭДС и определяются, как и первая гармоническая, Е_νЛ = √ 3 Е_νФ. Линейный ток в звезде I_νЛ = I_νФ (ν ≠ 3, 9, 15,...).

При соединении фаз в треугольник кратные трем гармонические ЭДС с одинаковой фазой вызывают замыкающиеся в треугольнике токи тройной и кратных трем частот 3f, 9f, 15f,… , которые по закону Ленца уменьшают кратные трем гармонические индукции В₃, В₉, В₁₅,.. магнитного поля в за-зоре машины и ЭДС Е_3Ф, Е_9Ф, Е_15Ф,… Падения напряжения в обмотке от циркулирующих в треугольнике токов равны возбуждающим ЭДС Е_3Ф, Е_9Ф, Е_15Ф… и следовательно кратных трем гармонических в линейных ЭДС также не будет Е_3Л = Е_9Л = Е_15Л =…= 0. Остальные гармонические (ν = 5, 7, 11, 13,…) присутствуют в линейных ЭДС и, как и основная гармоническая, равны Е_νЛ = Е_νФ. Линейный ток в треугольнике I_νЛ = √ 3 I_νФ (ν ≠ 3, 9, 15,...).

Циркулирующие в обмотке, соединенной треугольником, токи повы-шенной частоты 3f, 9f, 15f,… могут вызывать значительные добавочные потери мощности в обмотке статора, а иногда и в обмотках ротора. По-этому при соединении фаз в треугольник должны быть приняты меры по снижению кратных трем гармонических магнитного поля В₃, В₉, В₁₅,… в зазоре или фазных ЭДС Е_3Ф, Е_9Ф, Е_15Ф,… в основном за счет грамотного выбора обмоточных коэффициентов.

Соединение фаз в звезду предпочтительнее, так как нет циркуляционных токов и добавочных потерь мощности от них, а линейный ток меньше чем при соединении фаз в треугольник при равных фазных напряжениях. Вследствие этого в большинстве синхронных машин обмотки фаз статора соединяют в звезду.