lect7quant (Лекции Огурцова (PDF)), страница 4

Поскольку массы и скорости этих частицзначительно различаются, можно считать, что движение электронов происходитв поле неподвижных ядер, а медленно движущиеся ядра находятся вусредненном поле всех электронов. Принимая, что ядра в узлах кристаллической решетки неподвижны, движение электрона рассматривается впостоянном периодическом поле ядер.Далееиспользуетсяприближениесамосогласованногополя.Взаимодействие данного электрона со всеми другими электронами заменяетсядействием на него стационарного электрического поля, обладающегопериодичностью кристаллической решетки. Это поле создается усредненным впространстве зарядом всех других электронов и всех ядер.Таким образом, в рамках зонной теории многоэлектронная задачасводится к задаче движения одного электрона во внешнем периодическомполе – усредненном и согласованном поле всех ядер и электронов.Квантовая физика7–247–9Вынужденноеизлучение(вторичныефотоны)тождественновынуждающему (первичным фотонам) – оно имеет такую же частоту, фазу,поляризацию, направление распространения.Следовательно, вынужденное излучение строго когерентно свынуждающим излучением, т.е.

испущенный фотон неотличим от фотона,падающего на атом.Испущенные фотоны, двигаясь в одном направлении и встречаявозбужденные атомы, стимулируют вынужденные переходы – происходитразмножение фотонов.Для того чтобы происходило усиление излучения, необходимо, чтобыинтенсивность вынужденного излучения превышала интенсивностьпоглощения фотонов. А для этого необходимо, чтобы заселенностьвозбужденного состояния (число атомов в возбужденном состоянии) былабольше, чем заселенность основного состояния (число атомов в основномсостоянии). Такое термодинамически неравновесное состояние называетсясостоянием с инверсией населенностей.Процесс перевода системы в состояние с инверсией населенностейназывается накачкой (осуществляется оптическими, электрическими и другимиспособами).

Инверсная среда, в которой происходит усиление падающего нанее пучка света, называется активной. Закон Бугера I = I 0 exp( −αx) длятаких сред имеет отрицательный коэффициент поглощения.28. Лазеры.Эффект усиления излучения в активных средах используется воптических квантовых генераторах, или лазерах (Light Amplification ofStimulated Emission of Radiation – LASER).Лазеры подразделяются:— по типу активной среды (твердотельные, газовые, полупроводниковые и жидкостные);— по методам накачки (оптические, тепловые, химические, электроионизационные и др.);— по режиму генерации (непрерывного или импульсного действия).Первый твердотельный лазер – рубиновый (длина волны излучения0,6943 нм) – работает по трехуровневой схеме: накачка кристалла рубина(Al2O3спримесью(~0,03%)Cr3+)переводит атомы хрома в возбужденноекороткоживущее состояние 3 (переход1→3), с которого происходит безызлучательный переход в долгоживущее (метастабильное) состояние 2 – происходит"накопление" атомов хрома на уровне 2.При достаточной мощности накачкиих концентрация на уровне 2 будетгораздо больше, чем на уровне 1, т.е.

возникает инверсная населенностьуровня 2. (Спонтанные переходы 3→1 в данной системе незначительны).Каждый фотон, случайно родившийся при спонтанном переходе 2→1,может породить в активной среде лавину вторичных фотонов.Для многократного усиления лазерной генерации используетсяоптический резонатор – в простейшем случае – пара обращенных друг к другупараллельных (или вогнутых) зеркал на общей оптической оси, междуА.Н.Огурцов. Физика для студентовВолновая функция позволяет вычислить средние значения физическихвеличин, характеризующих данный микрообъект.

Например,+∞2среднее расстояние r имеет вид:r = r Ψ dV∫Волноваяфункцияудовлетворяетпринципу−∞суперпозиции: если система может находиться в различныхсостояниях,описываемыхволновымифункциямиΨ = Cn Ψ nΨ1, Ψ 2 , …, Ψ n ,… , то она также может находиться вnсостоянии, описываемом линейной комбинацией этих функций (гдеC n (n = 1, 2, …) – произвольные, вообще говоря, комплексные числа).Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей), а не вероятностей(определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиальноотличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которойдля независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.∑10.

Общее уравнение Шредингера.Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики имеет вид−где2ΔΨ + U ( x, y, z , t ) ⋅ Ψ = i∂Ψ,∂t2mh∂2∂2∂2=; m – масса частицы; Δ = 2 + 2 + 2 – оператор Лапласа;2π∂x∂y∂zi = − 1 – мнимая единица; U ( x, y, z , t ) – потенциальная функция частицы всиловом поле, в котором она движется; Ψ ( x, y , z , t ) – искомая волноваяфункция частицы.Уравнение дополняется условиями, накладываемыми на волновуюфункцию: (1) волновая функция должна быть конечной, однозначной инепрерывной; (2) производные(3) функция Ψ2∂Ψ ∂Ψ ∂Ψ ∂Ψдолжны быть непрерывны;,,,∂x ∂y ∂z ∂tдолжна быть интегрируема; это условие в простейших случаяхсводится к условию нормировки вероятностей.11. Уравнение Шредингера для стационарных состояний.Важным частным случаем общего уравнения Шредингера, являетсяуравнение Шредингера для стационарных состояний, в котором исключеназависимость Ψ от времени и, поэтому, значения энергии этих состоянийявляются фиксированными (не изменяются со временем).В этом случае силовое поле, в котором движется частица, стационарно,т.е.

функция U = U ( x, y, z ) не зависит явно от времени и имеет смыслпотенциальной энергии. Решение уравнения может быть представлено в видепроизведения двух функций – функции только координат и функции только⎛⎝времени Ψ ( x, y , z , t ) = ψ ( x, y , z ) ⋅ exp ⎜ −iE ⎞t ⎟ , где E – полная энергия частицы.⎠Уравнение Шредингера−22m⎛ E ⎞⎛ E ⎞⎛ E⎞⎛ E ⎞⋅ exp ⎜ −i t ⎟ ⋅ Δψ + U ⋅ ψ ⋅ exp ⎜ −i t ⎟ = i ⎜ −i ⎟ ⋅ ψ ⋅ exp ⎜ −i t ⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠Квантовая физика7–107–23после упрощений приобретает вид−22mΔψ + U ψ = EψилиΔψ +2m2( E − U )ψ = 0– уравнение Шредингера для стационарных состояний.Физический смысл имеют только регулярные волновые функции – конечные,однозначные и непрерывные вместе со своими первыми производными.

Этиусловия выполняются только при определенном наборе E . Эти значенияэнергии называются собственными. Решения, которые соответствуютсобственным значениям энергии, называются собственными функциями.Собственные значения E могут образовывать как непрерывный, так идискретный ряд.

В первом случае говорят о непрерывном (или сплошном)спектре, во втором – о дискретном спектре.12. Движение свободной частицы.Для свободной частицы U ( x ) = 0 (пусть она движется вдоль оси x ).∂ 2ψ 2m+ 2 Eψ = 0∂x 2⎛ i ( Et − px x) ⎞Ψ ( x, t ) = A exp(−iωt + ikx) = A exp ⎜ −будет функция⎟,⎝⎠Epx– волновое число – может принимать любыегде A = const , ω = , k =Решением уравнения ШредингераЛинии в спектре комбинационного рассеяния с частотами ν = ν 0 − νi ,меньшими частоты ν 0 падающего света, называются стоксовыми (иликрасными) спутниками.Линиисчастотамиν = ν 0 + νi , бóльшими ν 0 , называютсяантистоксовыми (или фиолетовыми) спутниками.Квантовомеханическое объяснение эффекта Рамана: комбинационноерассеяние света есть процесс неупругого "столкновения" фотонов смолекулами, в котором один фотон поглощается и один фотон испускаетсямолекулой.Если энергии фотонов одинаковы, то в рассеянном свете наблюдаетсянесмещенная линия.Если молекула под действием света перейдет в возбужденное состояние,то испущенный фотон будет иметь меньшую частоту – возникает стоксов(красный) спутник.Если молекула перейдет из возбужденного состояния в основное, тоиспущенный фотон будет иметь бóльшую частоту – возникает антистоксов(фиолетовый) спутник.

Интенсивность фиолетовых спутников растет стемпературой, а красных практически не изменяется.27. Поглощение. Спонтанное и вынужденное излучение.За пределы "ямы" частица не проникает, поэтому волновая функция вне"ямы" равна нулю, следовательно, на границах "ямы" непрерывная волноваяфункция также должна обращаться в нульψ (0) = ψ (l ) = 0 .Рассмотрим два квантовых состояния с энергиями E1 и E 2 .1. Поглощение. Если атом находится в основном состоянии1, то под действием внешнего излучения можетосуществиться вынужденный переход в возбужденноесостояние 2, приводящий к поглощению излучения.2.

Спонтанное излучение. Атом, находясь в возбужденномсостоянии 2, может спонтанно (без внешних воздействий)перейти в основное состояние, испуская при этом фотон сэнергиейhν = E2 − E1 . Процесс испускания фотонавозбужденным атомом без внешних воздействий называетсяспонтанным излучением. Чем больше вероятностьспонтанных переходов, тем меньше среднее время жизниатома в возбужденном состоянии. Так как спонтанныепереходы взаимно не связаны, то спонтанное излучениенекогерентно.3. Вынужденное излучение. А. Эйнштейн для объяснения наблюдавшегосяна опыте термодинамического равновесия между веществом и испускаемым ипоглощаемым им излучением постулировал, что помимо поглощения испонтанного излучения должен существовать третий, качественно иной типвзаимодействия.Еслинаатом,находящийсяввозбужденном состоянии 2, действует внешнее излучение счастотой, удовлетворяющей условию hν = E2 − E1 , товозникает вынужденный (индуцированный) переход восновное состояние 1 с излучением фотона той же энергииhν = E2 − E1 дополнительно к тому фотону, под действиемкоторого произошел переход.

Таким образом, в процессвынужденного излучения вовлечены два фотона: первичный фотон,вызывающий (стимулирующий) испускание излучения возбужденным атомом,и вторичный фотон, испущенный атомом.А.Н.Огурцов. Физика для студентовКвантовая физикаположительные значения, E =2 2kp2= x – непрерывный спектр энергий.2m 2mТаким образом, свободная квантовая частица описывается плоскоймонохроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая отвремени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точкепространства22Ψ = ΨΨ ∗ = A , т.е. все положения свободной частицы впространстве являются равновероятными.13.

Частица в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками".Рассмотрим одномерную "потенциальную яму"⎛ ∞, x < 0U ( x) = ⎜⎜ 0, 0 ≤ x ≤ l⎜⎝ ∞, x > lгде l – ширина "ямы", а энергия отсчитывается от еедна.Уравнение Шредингера для стационарных состояний в пределах ямы∂ 2ψ 2m+ 2 Eψ = 0∂x 2или∂ 2ψ2mE+ k 2ψ = 0 , где k 2 = 2 .2∂x7–227–11Колебательная энергия, при небольших значениях колебательногоквантового числа υ , определяется формулой для энергии гармоническогоосциллятора1Eкол = (υ + ) ω2Этим граничным условиям удовлетворяет решение уравнения Шредингераψ ( x) = A sin kx + B cos kx при B = 0 и k =(υ = 0,1, 2, …) .При этом правило отбора для колебательного квантового числаΔυ = ±1 .Вращательная энергия молекулы, вращающейся с угловой скоростьюωr , и имеющей момент инерции I относительно оси, проходящей через центрее инерции, равнаEвращ =I ω2r ( I ωr ) 2 M 2,==22I2I– момент импульсагде M = I ωrмолекулы.Момент импульса квантуется позаконуM=j ( j + 1) ( j = 0, 1, 2, …) ,где j – вращательное квантовоечисло.Следовательно,вращательнаяэнергия молекулы может иметь толькоквантованные значенияEвращ =2j ( j + 1).2IПравило отбора для вращательногоквантового числаΔj = ±1 .При переходе из одного энергетического состояния в другое, с учетомправил отбора, поглощается или испускается фотон с энергией ΔE = hν .