ответы на билеты (Шпоры), страница 2

Площадки, по которым действуют только касательные напряжения,называются площадками чистого сдвига. Касательные напряжения на них —наибольшие. Чистый сдвиг можно представить как одновременное сжатие и растяжение,происходящее по двум взаимно перпендикулярным направлениям. Т.е. это частныйслучай плоского напряженного состояния, при котором главные напряжения: 1= — 3 =; 2= 0. Главные площадки составляют с площадками чистого сдвига угол 45о.При деформации элемента, ограниченного площадками чистогосдвига, квадрат превращается в ромб.

 — абсолютный сдвиг,  — относительный сдвиг или угол сдвига.аa2) Теорема о взаимности работыБилет 31)Удельная потенциальная энергия при сдвиге. потенциальная энергиядеформации при кручении стержняВнешние силы, приложенные к упругому телу и вызывающие изменение геометриитела, совершают работу А на соответствующих перемещениях. Одновременно с этим вупругом теле накапливается потенциальная энергия его деформирования U. При действии динамических внешних нагрузок часть работы внешних сил превращается вкинетическую энергию движения частиц тела К. Приняв энергетическое состояниесистемы до момента действия данных сил равным нулю, и в условиях отсутствиярассеивания энергии, уравнение баланса энергии можно записать в следующем виде:А = U + K.(2.8) При действии статических нагрузок К = 0, следовательно, А = U.(2.9)Это означает, что при статическом нагружении работа внешних силполностью преобразуется в потенциальную энергию деформации.

При разгрузке телапроизводится работа за счет потенциальной энергии деформации, накопленной телом.Таким образом, упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругоготела широко используется в технике, например, в заводных пружинах часовыхмеханизмов, в амортизирующих рессорах и др. В случае простого растяжения (сжатия)для вывода необходимых расчетных зависимостей потенциальной энергии деформациирассмотрим решение следующей задачи.На рис. 2.4, а изображен растягиваемый силой Р стержень, удлинение которогосоответствует отрезку l, ниже показан график изменения величины удлинения стержняl в зависимости от силы Р (рис. 2.4, б).

В соответствии с законом Гука этот графикносит линейный характер.Пустьнекоторомузначению силы Рсоответствуетудлинение стержняl.Дадимнекотороеприращение силеР  соответствующееприращениеудлинениясоставитd (l ).Тогдаэлементарная работанаэтомприращенииудлинениясоставит:dA = (P + d P)d ( l ) = Pd ( l ) + d P  d ( l ) , (2.10) вторым слагаемым, в силуего малости, можно пренебречь, и тогда dA = Pd ( l ). (2.11)Полная работа равнасуммеэлементарныхработ,тогда,прилинейнойзависимости―нагрузка  перемещение‖, работа внешней силы Р на перемещении l будет равнаплощади треугольника ОСВ (рис.

2.4), т.е. А = 0,5 Рl . (2.12) В свою очередь, когданапряжения  и деформации  распределены по объему тела V равномерно (как врассматриваемом случае) потенциальную энергию деформирования стержня можноU Vзаписать в виде: d0. (2.13) Поскольку, в данном случае имеем, что V = F l,U Fl E  d   0,5 F l E 2 0,5 E  F  l  0,5  F l  0,5 P l0P =  F и  = Е , то,(2.14)т.е.подтверждена справедливость (2.9). С учетом (2.5) для однородного стержня сU P 2l2E Fпостоянным поперечным сечением и при Р = const из (2.14) получим:.(2.15)Если при рассмотрении заданной системы, находящейся в равновесном состоянииот действия заданных внешних нагрузок, все реакции в связях закрепления, а такжевнутренние усилия в ее элементах, можно определить только по методу сечений, безиспользования дополнительных условий, то такая система называется статическиопределимой.Потенциальная энергия при сдвиге:  Q Q2a.U22GFУдельная потенциальная энергия деформации при сдвиге:UQ2a,u V 2GFaF2где V=аF — объем элемента.

Учитывая закон Гука, u .2GВся потенциальная энергия при чистом сдвиге расходуется только на изменениеформы, изменение объема при деформации сдвига равно нулю.Потенциальная энергия при кручении:M 2k L1U  Mk 22GJ p.2) Напряжение в наклонных площадках растянутого стержняРассмотрим более подробно особенности напряженного состояния, возникающего воднородном растянутом стержне.

Определим напряжения, возникающие на некоторойнаклонной площадке, составляющей угол  с плоскостью нормального сечения(рис. 2.6, а).Рис. 2.6Изусловияz = 0,записанного для отсеченнойчастистержня(рис. 2.6, б),получим:р F =  F,(2.17)гдеF  площадьпоперечного сечения стержня,F = F/cos площадьнаклонного сечения. Из (2.17)легко установить:р =  сos .(2.18)Раскладывая напряжение р по нормали и касательной к наклонной площадке(рис. 2.6, в), с учетом (2.18) получим: = p cos  =  cos2 ;  = p sin  = 0,5 sin 2  .

(2.19)Полученные выражения показывают, что для одной и той же точки тела величинынапряжений, возникающих в сечениях, проходящих через эту точку, зависят оториентации этой площадки, т.е. от угла . При  = 0 из (2.19) следует, что  = ,  = 0.При  = /2, т.е. на продольных площадках,  =  = 0. Это означает, что продольныеслои растянутого стержня не взаимодействуют друг с другом. Касательные напряжения принимают наибольшие значения при  = /4, и их величина составляет max=/2.     2Важно отметить, как это следует из (2.19), что.

Следовательно, в любойточке тела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряженияравны между собой по абсолютной величине. Это условие является общейзакономерностью любого напряженного состояния и носит названиезакона парности касательных напряжений.Теперь перейдем к анализудеформаций в растянутом стержне.Наблюдения показывают, что егоудлинениевпродольномнаправлениисопровождаетсяпропорциональнымуменьшениемпоперечныхразмеровстержня(рис.

2.7). Если обозначить:alпрод = l ;попер = a , поперечное продольное ,то, как показывают эксперименты,  = const для данного материала и являетсябезразмерным коэффициентом ПуассонаВеличина  является важной характеристикой материала и определяетсяэкспериментально. Для реальных материалов  принимает значения 0,1  0,45.При растяжении стержня возникают не только линейные, но и угловые деформации.Рассмотрим прямой угол АВС (рис. 2.8, а), образованный отрезками АВ и АС, внедеформированном состоянии.Рис.

2.8При растяжении стержня точки А, В и С займут положение А , B , C соответственно. Величина  = ВАС  А B C называется угловой деформацией или угловым сдвигом в точке А.Совместим точки А и А  и рассмотрим взаимное расположение отрезков АВ иА B  (рис. 2.8, б). На этом рисунке отметим вспомогательные точки K и L и прямую n,перпендикулярную отрезку А B . Из рис. 2.8, б имеем:BLLBпрод = KB ;попер = AK ,откуда с учетом прод = E получим:S sin ;LB   S cosEE.(2.20)Для определения  спроектируем ломаную ВLB А  на ось nSsin  = BL cos ( + ) + LB sin( + ), откуда, учитывая малость угла , т.е.sin   , cos   1, получим:BL cos  LB  sin BL S =.(2.21)В результате совместного рассмотрения (2.20) и (2.21) получим: = 2 E(1  ) sin 2 .

Откуда   2        2 E2E(1  ) sin 2 .(1  ) sin 2 Следовательно,Сопоставляя выражение  с выражением окончательно получим закон Гука для сдвига:G  G.(2.22)из (2.17) ( = 0,5 sin 2  ),(2.23)E2 (1  )где величинаназывается модулем сдвига или модулем упругостиматериала второго рода.Если пренебречь случайным разбросом прочностных свойств материалаконструкции, то расчетное и нормативное значения, а также среднее значение несущейспособности R совпадаютRP = [R] = <R> = R,а уравнение (7) позволяет получить выражение нормативной или допускаемойнагрузки через(Пусть внешние нагрузки определены с точностью до одного параметра S, анапряжение связано с этим параметром зависимостьюТогда условие прочности (1) можно записать через внешние нагрузкиS<R(3)Здесь через R обозначено предельное значение нагрузки, т.е. такое ее значение,которое приводит к предельному состоянию.Величина R, зависящая от свойств материала и условий нагружения, называетсянесущей способностью или сопротивлением.При заданном значении S отношениеназывается коэффициентом запаса.Он обозначает, что сколько раз нужно увеличить нагрузку, чтобы достичьпредельного состояния.

Вместо условия прочности (2) можно записать эквивалентноеусловие)n>1нормативный коэффициент запаса[S] = R / [n].При этом параметр несущей способности R связан с предельным значениемнапряжения.Если на заданную конструкцию действует фиксированная неслучайная нагрузка S,то соотношениеNS = R / S Определяет коэффициент запаса по нагрузкеПри этом условие прочности можно переписать следующим образомS < [S].После подстановки условие прочности примет видnS > [n]Переход от нагрузок к вызываемым этими нагрузками напряжениям производитсяпо ранее описанным соотношениям.

ОтношениеНазывается коэффициентом запаса по напряжениямС учетом (4) и (6) можно получить связь между коэффициентами запаса понагрузкам и по напряжениямРис.1. Вариабельность коэффициентов запасаВ общем случае полученные коэффициенты запаса не совпадают, что видно изрис. 1. Равенство этих коэффициентов возможно только в том случае, когда зависимостьмежду напряжениями и нагрузкой линейна.

При нелинейной зависимости коэффициенттеряет ясный физический смысл как число, на которое нужно умножить значениепараметра внешней нагрузки, чтобы достичь предельного состояния. По аналогииможно ввести допускаемое напряжениеБилет 41)Основные принципы в сопре. Гипотезы о свойствах материалов. гипотезы онапряженно-деформированномсостояниистержняприрастяжениисжатии.внутренние силы. метод сечений.Основные принципы в сопротивлении материаловПринцип Сен-Венана, справедливый для любого типа напряженного состояния иформулируемый следующим образом: особенности приложения внешних нагрузокпроявляются, как правило, на расстояниях, не превышающих характерных размеровпоперечного сечения стержня.Принцип наложения (суперпозиция)- результат действия нескольких нагрузокравен сумме результатов действия каждой нагрузки в отдельности .Внутренние силовые факторы определяют вид нагружения стержня.

Если впоперечном сечении стержня не равна нулю только поперечная сила, то стерженьнаходиться в условиях растяжения-сжатия; если только Мкр не равен 0,то в условиикручения; если Мх и Му не равны 0 или Мх,Му,Qx,Qy не равны 0, то стерженьнаходиться в условиях изгиба.Гипотезы о св-вах материала.Материал :1.сплошной,весь объѐм заполнен полностью2.однородный3.изотропные материалы(одинаковость св-в во всех направлениях) не изотропные(анизотропные)4.упругость (св-во материала после снятия нагрузки принимать первоначальныеразмеры)5.пластичность (-//- не возвращаться к первоначальным размерам)Внутренние силы. Метод сечений.Взаимодействие между частями рассматриваемого тела характеризуетсяв н у тр е н н и м и с и л а м и , которые возникают внутри тела под действием внешнихнагрузок и определяются силами межмолекулярного воздействия.Величины внутренних усилий определяются с применением м е то да с е ч е н и й .Если при действии внешних сил тело находится в состоянии равновесия, то любаяотсеченная часть тела вместе с приходящимися на нее внешними и внутреннимиусилиями также находится в равновесии, следовательно, к ней применимы уравненияравновесия.Рассмотрим тело, имеющее форму бруса (рис.