ответы на билеты (Шпоры)

Билет 11) Вывод формул для определениярастяжении(сжатии) прямого стержнянапряженийиперемещенийприНапомним, что под растяжением (сжатием) понимают такой вид деформациистержня, при котором в его поперечном сечении возникает лишь один внутреннийсиловой фактор — продольная сила Nz. Поскольку продольная сила численно равнасумме проекций, приложенных к одной из отсеченных частей внешних сил на осьстержня (для прямолинейного стержня она совпадает в каждом сечении с осью Oz), торастяжение (сжатие) имеет место, если все внешние силы, действующие по однусторону от данного поперечного сечения, сводятся к равнодействующей, направленнойвдоль оси стержня (рис.

1). Одна и та же продольная сила Nz при действии на различныечасти стержня (левую или правую) имеет противоположные направления. Знак Nzзависит от характера вызываемой ею деформации. Продольная сила считаетсяположительной, если вызывает растяжение элемента (рис. 2, а), и она отрицательна,если вызывает сжатие.Поскольку поперечные сечения стержня, оставаясь плоскими и перпендикулярными коси стержня, в процессе деформирования лишь поступательно перемещаются вдоль осистержня (что приводит к одинаковому удлинению всех продольных волокон), топриходим к уравнению =const, из которого ввиду однозначности связи и (длялинейно-упругого материала это—закон Гука:.) вытекает, чтоРешая совместно уравнения получим, чтоилиТаким образом, при растяжении (сжатии) призматического стержня нормальныенапряжения равномерно распределены по поперечному сечению, а касательныенапряжения в сечениях отсутствуют, что является следствием гипотезы плоскихсечений.

Указанное, несмотря на, казалось бы, очевидность и простоту, являетсяфундаментальным результатом, справедливым, строго говоря, лишь дляпризматического стержня. Однако в инженерной практике его используют и дляприближенной оценки нормальных напряжений в стержнях переменного сечения. Приэтом, чтобы погрешность формулы была невелика, необходимо, чтобы площадьпоперечного сечения стержня изменялась достаточно плавно вдоль его оси.Условие прочности при растяжении (сжатии) призматического стержня для стержня изпластического материала (т. е.

материала, одинаково работающего на растяжение исжатие) будет иметь вид:(1)где—допускаемое напряжение. Напряжениев условии (1) подставляется помодулю, так как знак в этом случае роли не играет. Для стержней из хрупкихматериалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, знак напряженияимеет принципиальное значение, и условие прочности приходится формулироватьотдельно для растяжения и сжатиягдеи—напряжения растяжения и сжатия, адопускаемые напряжения.и— ответствующие имОпределим упругие деформации стержня предполагая, что изменение его длины прирастяжении, называемое абсолютной продольной деформацией или удлинением,мало по сравнению с его первоначальной длиной. Тогда относительнаяпродольная деформация будет равнаУчитывая, что согласно закону Гука для одноосного растяжения (сжатия),где Е—;модуль продольной упругости материала стержня, а нормальные напряженияопределяются по формуле —деформации получаем(в нашем случае Nz=P), для абсолютной(2)Произведение EF принято называть жесткостью поперечного сечения стержня прирастяжении (сжатии), так как удлинение обратно пропорционально EF.Рис.6.

Модели продольной и поперечной деформацийКак показывают эксперименты, при растяжении стержня размеры его поперечногосечения уменьшаются (рис. 6), а при сжатии — увеличиваются. Это явление получилоназвание эффекта Пуассона.По аналогии с продольной деформацией изменение размеров поперечного сечения(на рис.

6) будем называть абсолютной поперечной деформацией, а—относительной поперечной деформацией. Относительные продольная и поперечнаядеформации, имеющие противоположные знаки, связаны между собой коэффициентом, являющимся константой материала и называемым коэффициентом поперечнойдеформации или коэффициентом Пуассона:Как известно, для изотропного материала.Формула (2) для удлинения стержняприменима только в случае, когда по длинестержня ни жесткость поперечного сечения, ни продольная сила не изменяются(EF=const, Nz =const). Удлинение стержня со ступенчатым изменением EF и Nz (рис. 7)может быть определено как сумма удлинений ступеней, у которых EF и Nz постоянны:(индекс k у модуля продольной упругости означает, что участки стержня могут бытьизготовлены из различных материалов).

В случае, когда Nz и EF меняются по длинестержня l непрерывно и их можно считать постоянными лишь в пределах ступенейдлиной dz, обобщая формулу эту, получаем2)Интеграл Мора для определения перемещенийЕсли необходимо найти перемещение точки, к которой приложены внешние силы,мы сами прикладываем в этой точке внешнюю силу Ф в интересующем наснаправлении.

Далее, составляем выражение потенциальной энергии системы с учетомсилы Ф. Дифференцируя его по Ф, находим перемещение рассматриваемой точки понаправлению приложенной силы Ф. Теперь остается вспомнить, что на самом деле силыФ нет, и положить ее равной нулю. Таким образом, можно определить искомоеперемещение.ПриложимвточкеАпонаправлению Хl силу Ф.

Внутренниесиловые факторы в каждом поперечномсечении при этом, вообще говоря,изменятся на величины, зависящие отсилы Ф. Например, крутящий момент внекотором поперечном сечении будетиметь видMk p  Mkфгде первое слагаемое представляетсобой момент, который возникает поддействием заданной системы внешнихсил,автороеслагаемоедополнительныймомент,которыйпоявляется в результате приложениясилы Ф. Понятно, что и МКР, и МКФ,являются функциями z, т.е.

изменяютсяподлинестержня.Аналогичнопоявляются дополнительные слагаемые и у остальных внутренних силовых факторов:МХ = МХР + МХФ, МУ = МУР + МУФ и т.д.Дополнительные силовые факторы Мкф, Мхф,… пропорциональны Ф.Mk= MkP+ Mk1Ф; Mx=MxP+Mx1Ф; My=MyP+My1Ф;N=NP+N1Ф; Qx=QxP+Qx1Ф; Qy=QyP+Qy1Ф;Где MК1, MХ1 ... - некоторые коэффициенты пропорциональности, зависящие отположения рассматриваемого сечения, Т.е. переменные по длине стержня.Если исключить систему внешних сил и заменить силу Ф единичной силой, то Mk =Mk1, Mx = Mx1 и т. д. Следовательно, Мк1, Мх1, Му1, N1, Qx1 и Qy1 - внутренние силовыефакторы, возникающие в поперечном сечении под действием единичной силы,приложенной в рассматриваемой точке в заданном направлении.Вернемся к выражению энергииM y2  dzk y Q y2  dzM k2  dzM x2  dzk x Qx2  dzN 2  dzU 2GJ2GJ2GJ2EA2GA2GAkxyllllllИ заменим внутренние силовые факторы их значениями M kP  M k1ф 2  dz  M xP  M x1ф 2  dz  M yP  M y1ф 2  dz  N P  N1ф   dzU 2GJ2GJ2GJ2 EAkxyllll2k y  Q yР  Q y1ф   dzk x  QxP  Qx1ф   dz2GA2GAllДифференцируя это выражение по Ф и полагая после этого Ф = О, находимперемещение точки А:2A M yP M y1dzk y Q yP Q y1 dzM M dzM M dzk Q Q dzN N dzUф  0   kP k1   xP x1    P 1   x xP x1  ФGJ kGJ xGJ yEAGA2GAllllllПолученные интегралы носят название интегралов Мора.Билет 21)Напряженное состояние "чистый сдвиг": определение, условие парностикасательных напряжений, напряжение в наклонных площадкахЧистым сдвигом называют такой вид напряженного состояния, при котором пограням выделенного из материала элемента действуют только касательныенапряжения.Напряжение в наклонных сечениях (площадках)Рассмотрим более подробно особенности напряженного состояния, возникающего воднородном растянутом стержне.

Определим напряжения, возникающие на некоторойнаклонной площадке, составляющей угол  с плоскостью нормального сечения(рис. 2.6, а).Рис. 2.6Из условия z = 0, записанного для отсеченной части стержня (рис. 2.6, б),получим:р F =  F,(2.17)где F  площадь поперечного сечения стержня, F = F/cos   площадь наклонногосечения. Из (2.17) легко установить:р =  сos .(2.18)Раскладывая напряжение р по нормали и касательной к наклонной площадке(рис.

2.6, в), с учетом (2.18) получим: = p cos  =  cos2 ;Полученные выражениянапряжений, возникающихориентации этой площадки,12 = p sin  =sin 2  . (2.19)показывают, что для одной и той же точки тела величиныв сечениях, проходящих через эту точку, зависят отт.е. от угла .

При  = 0 из (2.19) следует, что  = ,2 = 0. При  = , т.е. на продольных площадках,  =  = 0. Это означает, чтопродольные слои растянутого стержня не взаимодействуют друг с другом. Касательныенапряжения  принимают наибольшие значения при  =1=о453=4, и их величина составляетmax= 2 . Важно отметить, как это следует из (2.19),что     2. Следовательно, в любой точкетела на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равнымежду собой по абсолютной величине. Это условие является общей закономерностьюлюбого напряженного состояния и носит названиезакона парности касательных напряженийЧистый сдвиг — напряженное состояние, при котором по взаимноперпендикулярным площадкам (граням) элемента возникают только касательныеQнапряжения. Касательные напряжения   , где Q — сила, действующая вдоль грани,FF — площадь грани.