5. Моделирование сложных процессов экспериментально-статистическими методами

ПОНЯТИЕ О МОДЕЛЯХ. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ.

Модель – это упрощенная система, отражающие отдельные, наиболее важные стороны явлений изучаемого процесса. Один процесс можно описать различными моделями, а одна модель может описывать различные процессы.

Процесс моделирования должен уловлетворять следующим требованиям: эксперимент на модели должен быть проще, оперативнее и экономичнее, чем на объекте; результаты исследования модели должны быть переносимы на объект.

На практике различают физическое и математическое моделирование. Физическая модель – это модель той же или иной, чем объект, природы, которая частично или полностью воспроизводит свойства объекта в рамках заданного приближения. Математическое моделирование – это метод качественного и (или) количественного описания процесса с помощью математического аппарата.

В соответствии с характером изучаемого процесса строятся жесткие (детерминированные) или вероятностные модели. Последние строятся в случае статистической связи выходного параметра с входным и при их построении используются методы теории вероятностей и математической статистики.

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ.

Коэффициент корреляции

Изменение случайной величины Y, соответствующее изменению случайной величины X, разбивается на стохастическую и случайную компоненты. Соотношение между этими компонентами определяет силу (тесноту) связи. Одним из показателей, оценивающих стохастическую связь, является коэффициент корреляции, который характеризует степень тесноты линейной зависимости. Коэффициент корреляции может иметь значение в пределах

Рекомендуемые материалы

-1 < r_xy < 1                                                         (28)

Для независимых случайных величин он равен нулю. Коэффициент корреляции одинаково отмечает и слишком большую долю случайности, и слишком большую криволинейность связи. Качественно о наличии или отсутствии корреляции можно судить по виду поля корреляции (рис.5).

Рис. 5. Поле корреляции случайной величины: а – положительная корреляция, б – слабая отрицательная корреляция, в – некоррелированные случайные величины.

Выборочный коэффициент корреляции равен

(29)

Регрессия

Зависимость условного среднего m_y случайной величины y от случайной величины x называется регрессией. При обработке эксперимента находят уравнение приближенной регрессии, оценивая при этом величину этой приближенности. Задача нахождения уравнения приближенной регрессии по заданной выборке решается методами регрессионного и корреляционного анализа. Уравнение приближенной регрессии существенно зависит от выбираемого метода приближения. В качестве такого метода обычно выбирают метод наименьших квадратов. Пусть задан некоторый класс функций f(x) , накладывающих на выборку одинаковое число связей, равное числу неопределенных коэффициентов, входящих в аналитическое выражение этой функции. Наилучшее уравнение приближенной регрессии дает та функция (чаще используются многочлены различной степени), для которой сумма квадратов

(30)

имеет наименьшее значение.

Задача определения параметров уравнения регрессии сводится практически к определению минимума функции многих переменных.

Рассмотрим порядок определения параметров уравнения регрессии на примере уравнения множественной регрессии

Y=b₀+b₁₁X₁²+b₂₂X₂²+b₁₂X₁X₂+b₁X₁+b₂X₂+dY                      (31)

 Полученное выражение представляет собой полином второй степени, где X1   и X2 - переменные факторы, b0, b11,  b22, b12, b1, b2 — неизвестные коэффициенты,  dY  – случайные отклонения от уравнения регрессии.

 Погрешности dY  удовлетворяют следующим условиям:

ž Математическое ожидание M(dY)=0,

ž Дисперсии s2(dY) не зависит от X1, X2.

ž Погрешности  dY  починяются нормальному  закону  распределения.

Сделанные допущения позволяют использовать метод наименьших квадратов для оценки неизвестных коэффициентов.

Найденные значения коэффициентов должны удовлетворять следующему условию:

,                                                  (32)

Условия минимума функции S определяются следующим образом:

                                    

                                                                                         (33)

                                              

Произведя сокращение, почленное суммирование и разделение переменных получим:

                   (34)

Полученную систему уравнений целесообразно решать с помощью формул Крамера.

                                                                 (35)

где |A₀| — определитель системы (34);  — определители, полученные из определителя  |A₀| заменой столбца с соответствующим коэффициентом на столбец из свободных членов:

 

                                      (36)

и т.д.

 Решение задачи значительно упрощается, если значения X_1i и X_2i удовлетворяют следующим условиям:

    и                                                              (37)

Тогда

                                                                                    (38)

Остальные коэффициенты определяются по формулам Крамера.

                                                                              (39)

где |A0‘| – определитель системы (34), записанной с учетом предположения (37).  — определители, полученные из определителя  |A0‘| заменой столбца с соответствующим коэффициентом на столбец из свободных членов.

Наличие параллельных опытов позволяет рассчитать дисперсию воспроизводимости и провести статистический анализ уравнения регрессии.

ИССЛЕДОВАНИЕ     ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ   ПРОЦЕССОВ   МЕТОДАМИ       ПЛАНИРОВАНИЯ

Методология математического моделирования.

· Концепция последовательного усложнения разрабатываемой модели. На первом этапе моделирования рекомендуется создавать “грубую”модель, учитывающую небольшое число самых существенных факторов: рассматривается модель в виде линейного полинома первого порядка. После анализа и оценки результатаов эксперимента переходят к более сложной предполагаемой имитационной модели. Этот процесс усложнения продолжается до достижения необходимой адекватности математической модели исследуемому процессу.

· Переход к безразмерным переменным. Преимущества этого шага следующие: - большая простота уравнений; с безразмерными динамическими переменными легче обращаться при применении численных методов; константы моделей с безразмерными переменными являются не только безразмерными величинами, но и критериями подобия.

· Редукция сложных систем.   Если скорости одних процессов существенно превышают скорости других, то более быстрые за короткое время (по сравнению с временем установления равновесного состояния в медленных процессах) достигнут квазистационарного состояния. Это значит, что в “быстрых” уравнениях можно пренебречь производной по времени, и соответствующее уравнение превратится из дифференциального в алгебраическое. Следовательно, динамические переменные, относящиеся к быстрым процессам, могут быть исключены из уравнений, описывающих медленные процессы. Все это приводит к редукции системы.

· Анализ моделей. Во многих случаях математическая модель дает только качественные описания реального объекта. Оно может быть дополнено количественным описанием, т.е. моделироанием с более высоким уровнем адекватности. Однако к более высокому уровню адекватности не всегда целесообразно стремиться: чем выше уровень адекватности, тем сложнее модель, и тем труднее ею пользоваться.

Порядок планирования эксперимента с целью составления математической модели

Основной целью проведения современного эксперимента является разработка математической модели, адекватно описывающей процесс. При планировании экспермента исследователь должен обесечить высокую надежность и четкость интерпретации результатов экспериментальных исследований; составить четкую и последовательную схему построения всего процесса исследования; максимально формализовать процесс разработки модель и сопоставления экспериментальных данных различных опытов одного и того же объекта исследований. Всем перечисленным требованиям отвечают статистические методы планирования эксперимента. При их использовании математическое описание процесса  обычно представляется в виде полинома

(40)

где y – функция отклика, а х_..... – факторы исследуемого процесса.

План эксперимента определяет расположение экспериментальных точек в k-мерном факторном пространстве, т.е. условия для всех опытов, которые необходимо провести. Обычно план эксперимента задается в виде матрицы планирования, каждая строка которой определяет условия опыта, а каждый столбец – значения контролируемых и управляемых параметров в исследуемом процессе, т.е. значения факторов, соответствующих условию опыта. В последний столбец матрицы заносят значения функции отклика, полученные экспериментальным путем в каждом опыте.

Порядок планирования эксперимента следующий:

1. Выбор центра плана, т.е точки, соответствующей начальному значению всех используемых факторов, в окрестностях которой будут ставиться опыты. Обычно в качестве центра плана принимают центр исследуемой области.

2. Выбор величины интервала изменения значений исследуемых факторов. Обычно интервал варьирования выбирают в пределах 0,05...0,3 от диапазона варьирования исследуемого фактора. Из рисунка 5 следует, что, если выбрать заниженный интервал, то можно не заметить влияния фактора на функцию отклика, если выбрать завышенный интервал, то можно получить неадекватную модель.

            y

x

Рис.5. Варианты выбора шага эксперимента.

3. Переход к безразмерным величинам факторов,

4. Разработка общего вида модели,

5. Определение количества опытов,

6. Построение матрицы планирования эксперимента.

Последние четыре этапа рассмотрим подробнее на примере статистических методов планирования эксперимента.

Полный факторный эксперимент

В этом случае учитывается влияние на функцию отклика исследуемого процесса не только каждого рассматриваемого в эксперименте фактора в отдельности, но и их взаимодействий. Под взаимодействием факторов понимают эффект влияния изменения значений одного или нескольких факторов на характер изменения функции отклика от изменения другого фактора.

3. Переход к безразмерным величинам факторов. В безразмерной системе координат верхний уровень фактора равен +1, а нижний - -1. Координаты центра плана равны нулю и совпадают с началом координат.

4. Разработка общего вида модели по принципу «от простого к сложному». Планирование начинают с предположения, что модель имеет вид полинома первого порядка:

(41)

В этом случае учитывается влияние на функцию отклика исследуемого процесса не только каждого фактора в отдельности, но и их взаимодействия.

5. Определение числа опытов N.

N=u^k                                                                       (42)

где u – число уровней каждого фактора (должно быть на 1 больше порядка полинома), k – число исследуемых факторов.

Для линейной модели и двух исследуемых факторов достаточно провести 4 опыта, т.е. опытные точки располагаются в вершинах квадрата (рис. 6) факторного пространства, а модель будет иметь вид:

Y = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₁x₂                                         (43)

где b₀ – значение функции отклика в центре плана, коэффициенты b₁ и b₂ характеризуют степени влияния соответствующих факторов на функцию отклика, а b₃ характеризует влияние взаимодействия факторов.

                                              Х1         

                                        +1

                             -1                          +1       

                                                                      х2

                                        -1

Рис. 6. Расположение экспериментальных точек.

Для рассматриваемого случая матрица планирования будет иметь вид, представленный в таблице 5:

                                                                                     Таблица 5.

Первая строка матрицы в столбцах, соответствующих факторам, заполняется символом, соответствующим нижнему уровню значений фактора в эксперименте. Продолжение заполнения этих столбцов производится путем чередования противоположных уровней, причем каждый левее расположенный столбик производит чередование с в два раза меньшей частотой. Заполнение столбцов, учитывающих взаимодействие факторов, производится путем перемножения соответствующих знаков в строке. Второй столбик матрицы приводит значения фиктивной равной 1 переменной, соответствующей коэффициенту b₀.

Последовательность обработки результатов ПФЭ с целью составления уравнения регрессии следующая.

1. Проверка воспроизводимости экспериментов, т.е. проверка однородности вычисленных по данным параллельных опытов дисперсий среднего арифметического значения функции отклика  в каждом опыте, т.е. в каждой строке, по критерию Кохрена.

2. Вычисление коэффициентов полинома по формуле

(44)

Далее необходимо провести оценку значимости коэффициентов. Основой для оценки значимости является критерий Стьюдента, который в этом случае рассчитывается по формуле

(45)

где дисперсия ошибки определения коэффициента равна

s²(b_j) = s²(y) / nN                                                   (46)

где стоящая в числителе дисперсия воспроизводимости оценивается как среднее арифметическое группы выборочных дисперсий (т.е. дисперсий функции отклика по каждому опыту), а n – число параллельных опытов для каждого условия. Коэффициент признается незначимым, если t для числа степеней свободы N(n-1) меньше критического значения, найденного по таблице. Незначимость коэффициента может быть вызвана следующими причинами:

ž интервал варьирования соответствующей переменной мал,

ž уровень базового режима по данной переменной близок к точке частного экстремума,

ž данный фактор не влияет на функцию отклика.

          После отбрасывания незначимых коэффициентов получается уточненная имитационная модель процесса.

3. Проверка адекватности уравнения. Модель должна быть адекватна описываемому явлению. Надо оценить отклонение предсказанного моделью значения выходного параметра (функции отклика) y^_i от результатов эксперимента в каждой точке факторного пространства. Для оценки этого отклонения служит дисперсия адекватности:

(47)

где a_зн – число значимых коэффициентов в аппроксимирующем полиноме.

Если дисперсия адекватности не превышает дисперсии опыта (воспроизводимости), то полученная модель адекватно представляет результаты эксперимента. Если же дисперсия адекватности больше дисперсии воспроизводимости, то проверка гипотезы об адекватности проводится с помощью критерия Фишера при числах степеней свободы f₁  = N - a_зн  и  f₂ = N (n-1):

F = S²_ад / s²(y)                                                                                (48)

Если F <= F_кр, то модель признается адекватной.

Матрица ПФЭ обладает свойствами:

ž ортогональности, поскольку равно нулю скалярное произведение всех вектор столбцов. Именно поэтому коэффициенты регрессии вычисляются по выражениям, более простым, чем в при регрессионном анализе неспланированного эксперимента, кроме того, эти коэффициенты некоррелированы между собой;

ž и рототабельности, т.е. количество информации убывает пропорционально квадрату радиуса сферы r² в k-мерном факторном пространстве и одинаково для всех эквидистантных точек:

.

(49)

Однако этими достоинствами приходится жертвовать при моделировании полиномов второго порядка, т.е. при описании областей, близких к экстремуму.

Дробный факторный эксперимент

При большом числе учитываемых в эксперименте факторов
ПФЭ становится громоздким и занимает очень большое время для
своего проведения, так как число опытов с ростом k увеличивается
по экспоненте.

Однако число опытов можно сократить, если априори извест-
нo, что на процесс не оказывают влияния те или иные взаимодей-
ствия. В этом случае можно использовать так называемые дробные реп-
лики от ПФЭ или дробный факторный эксперимент
(ДФЭ).

Предположим, что необходимо получить математическое опи-
сание процесса при трех учитываемых факторах Х₁, Х₂ и Х₃, ока-
зывающих влияние на функцию отклика Y.

При использовании ПФЭ для определения коэффициентов по-
линома 1-го порядка необходимо провести восемь опытов. Однако, если взаи-
модействие между факторами Х₁, Х₂ и Х₃ отсутствует, можно
ограничиться четырьмя опытами. В этом случае можно воспользо-
ваться матрицей планирования ПФЭ для двух факторов Х₁ и Х₂,
приведенной в табл. 5, заменив в ней обозначение Х₁Х₂, на Х₃,
соответствующее безразмерному значению фактора Х_з на верхнем
и нижнем его уровнях. Чередование знаков в этом столбце соот-
ветствует результату перемножения безразмерных значений двух
других факторон Х₁ и Х₂, т. е. остается неизменным после за-
мены символов в матрице планирования, которая после введения
в нее третьего фактора остается ортогональной. Эксперимент в
этом случае будет ставиться уже с включением третьего фактора,
изменяющегося согласно столбцу Х₁Х₂ ПФЭ (табл. 5), а пред-
полагаемая математическая модель будет иметь вид полинома
1-го порядка, нс учитывающего взаимодействия факторов, т. е.

 Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + b₃X₃                                      (50)

Такой сокращенный план содержит половину опытов от тре-
буемого их числа 2³ согласно плану ПФЭ (в нашем случае четыре
опыта вместо восьми) и называется полурепликой от ПФЭ
типа 2³. Условное обозначение такого плана: ДФЭ типа 2^k-l,
где k—число учитываемых в эксперименте факторов, l—число
взаимодействий, замененных факторами, учитываемых в экспе-
рименте. По мере возрастания числа учитываемых в исследуемом процессе факторов можно применять реплики большей степени дробности. Число опытов, проводимых в соответствии с матрицей дробной реплики для раздельной оценки коэффициентов полинома, должно быть не менее числа коэффициентов в предполагаемой имитационной модели, включая b₀.

Центральные композиционные планы

При переходе к боле сложной модели от полинома первого порядка к полиному второго порядка ПФЭ предусматривает значительное увеличение количества опытов. Сократить их число можно, используя центральные композиционные планы (ЦКП), ядром которых являются линейные ортогональные планы. Поэтому, если гипотеза о линейности математической модели не подтвердилась, достаточно всего лишь добавить несколько специально спланированных экспериментальных точек, чтобы получить план, соответствующий полиному 2-го порядка. Построение ЦКП можно пояснить на примере с тремя независимыми переменными, соответствующими трем факторам. Модель полинома 2-го порядка для трех факторов имеет вид:

Y = b₀ + b₁X₁ + b₂X₂ + b₃X₃ + b₁₂ X₁X₂ + b₁₃ X₁X₂₃ + b₂₃ X₂X₃ + b₁₂₃ X₁X₂X₃ + b₁₁X₁²  + b₂₂X₂² + b₃₃X₃²                                             (51)

Для нахождения линейной модели применен ПФЭ 2³, экспериментальные точки которого находятся в вершинах куба (рис. 7). При подтверждении неадекватности линейной модели ставятся дополнительные опыты для значений факторов, превышающих их абсолютные значения по верхнему и нижнему уровням, и в центре плана. Таким образом, к ранее проведенным восьми опытам добавляется еще семь (шесть «звездных» и один - в центре). Все звездные точки расположены на расстоянии большем, чем 1 от центра плана, и лежат на поверхности сферы диаметром 2a. Общее число опытов ЦКП  при k факторах составит

N = 2^k + 2k + m₀,                                                        (52)

где 2k – число звездных точек, m₀ – число опытов в центре плана, а общее число уровней варьирования равно пяти.

Наибольшее распространение получили ортогональный и рототабельный ЦКП.

Рис. 7. Расположение экспериментальных точек в плане, соответствующем полиному 2-го порядка

Центральный композиционный ортогональный план (ЦКОП).

При составлении матрицы планирования этот план предусматривает проведение одного опыта в центре плана. Матрица ЦКОП для модели исследуемого процесса, соответствующая полиному 2-го порядка при трех факторах, приведена в табл. 6. 

 Для этой матрицы условие ортогональности не выполняется для столбцов, соответствующих квадратичным членам полинома. Для приведения матрицы к ортогональному виду производят преобразования квадратичных переменных

(53)

 (где слева стоит преобразованное, безразмерное, квадратичное значение j-го фактора, соответствующее i-му опыту), а величину звездного плеча a выбирают из соотношений:

при k<5

a⁴ + 2^ka² - 2^k-1 (k + 0,5) = 0

при k>=5                                                                                                             (54)

a⁴ + 2^k-1a² - 2^k-2 (k + 0,5) = 0.

В первом случае ядро ЦКОП составляет ПФЭ типа 2^к, во втором случае ДФЭ типа 2^к-1.

Таблица 6

Матрица центрального композиционного ортогонального плана

Значения звездного плеча, подсчитанные на основании условия (54) приведены в табл. 7.

Таблица 7

Преобразованная матрица ЦКОП, которая соответствует условию ортогональности приведена в таблице 8. Индекс п соответствует преобразованным квадратичным переменным.

Таблица 8

Преобразованная матрица ЦКОП, отвечающая требованиям орготогональности

Этой матрице соответствует модель

 

(55)

Коэффициенты b_j определяются в соответствии с выражением:

(56)

А дисперсии коэффициентов равны

(57)

Для перехода к виду (51) необходимо пересчитать коэффициент b₀:

(58)

При применении ЦКОП получение идентичной информации (т.е. с одинаковой точностью предсказания выходной величины) во всех направлениях исследуемого пространства невозможно, т.к. информационные поверхности не являются сферами.

Центральный композиционный рототабельный план (ЦКРП).

Более удачным является рототабельное планирование, при котором информационная поверхность приближается к сферической. Это достигается тем, что выбирая удаленные от центра плана «звездные» точки на осях координат, они дополняются информацией из центра плана, равноточной во всех направлениях. Удельный вес этой информации в общем объеме увеличивается, что достигается увеличением числа опытов в центре плана. Таким образом, в ЦКРП число опытов в центре плана зависит от числа учитываемых в эксперименте факторов. Это увеличивает количество опытов, но дает возможность получать равноточную информацию. Для сокращения количества опытов можно отказаться от постановки параллельных опытов для оценки воспроизводимости, которая в этом случае может быть оценена по экспериментам в центре плана.

Чтобы композиционный план был рототабельным, величина «звездного» плеча выбирается из условий:

a = 2^{k / 4} при k<5

a = 2^{(k - 1) / 4} при k>=5.                                        (59)

Подсчитанные значения звездного плеча и число точек в центре плана приведены  в табл. 9.

 Таблица 9

Матрица планирования для ЦКРП приведена в таблице 10. Столбцы, соответствующие взаимодействию факторов, в ней отсутствуют. Из сравнения матрицы ЦКРП с матрицей для ПФЭ типа 2³ видно, что значения, приведенные в этих столбцах до восьмого опыта, были бы идентичны. Начиная с девятого опыта значения, соответствующие взаимодействию факторов, равны нулю и не влияют на оценку значимости соответствующего коэффициента в полиноме вида (34). Поэтому приводить эти столбцы в матрице ЦКРП необязательно.

Таблица 10

Матрица центрального композиционного рототабельного плана

Можно заметить, что матрица ЦКРП не соответствует условиям ортогональности для столбцов с квадратичными членами полинома. Поэтому оценка коэффициентов полинома 2-го порядка не будет являться независимой, т.е. коэффициенты b_jj  коррелированы между собой и со свободным членом b₀. Но этот недостаток ЦКРП компенсируется более высокой точностью определения выходного параметра во всех направлениях на одинаковом расстоянии от центра.

Коэффициенты и их дисперсии определяются из условий:

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)

Значения констант, входящих в приведенные выше выражения, приведены в таблице 11.

Таблица 11

Вычисление коэффициентов регрессии при ротатабельном
планировании для k<=7

Дисперсию воспроизводимости, как было сказано выше, определяют по опытам в центре плана. Дисперсия адекватности определяется по выражению, включающему в себя величины т.н. остаточной дисперсии и дисперсии воспроизводимости и их степени свободы:

"Сущность конфликтов, их роль в жизни и деятельности человека, коллектива и Вооруженных сил" - тут тоже много полезного для Вас.

(68)

(69)

Число степеней свободы дисперсии адекватности равно разности чисел степеней свободы дисперсии остаточной и воспроизводимости.