Построение решений, оптимальных по Парето
4.5. Построение решений, оптимальных по Парето
(Двухкритериальная задача о баке)
Вернемся к рассмотренной в п. 4.5 задаче о баке, описанной формулами (4.5) – (4.8), и попробуем найти паретооптимальное ее решение. Для этого введем параметры
a1 > 0 и a2 > 0, удовлетворяющие условию a1 + a2 = 1, и построим линейную свертку критериев (4.5) и (4.8):
. (4.14)
Положим a1 = 1, тогда a2 обращается в ноль, свертка (4.14) принимает вид
F(X) = S(X) и задача превращается в однокритериальную. Решив эту задачу, найдем оптимальную точку XS для обеспечения минимального расхода материала. Теперь положим
a1 = 0, тогда a2 = 1, свертка (4.14) примет вид F(X) = T(X). Решив эту однокритериальную задачу, найдем оптимальную точку XT, обеспечивающую минимальную трудоемкость изготовления бака. Если провести аналогию с рис. 7.4, то XS соответствует точке А, XT соответствует точке В. Чтобы определить промежуточные точки (остальные компромиссные решения), введем обозначение a = a1. Тогда a2 = 1 – a. Формула (4.14) примет вид 
. Или:
.
Функция Лагранжа запишется в виде
.
Распишем функцию Лагранжа подробнее:
.
Чтобы найти минимум функции Лагранжа, нужно взять от нее производные по искомым переменным r, h, l и приравнять их к нулю.
Рекомендуемые материалы
(4.15)
Получили систему трех алгебраических уравнений, решив которую найдем зависимость r, h, l от a. Задавая a от 0 до 1, получим множество решений, оптимальных по Парето. Поскольку аналитически решить систему (4.15) довольно сложно, можно воспользоваться любым численным методом, задавая предварительно значения a с любым приемлемым шагом.
 |
Для примера эта задача была решена с шагом 0,1 в пакете MathCad. На рис. 4.6 показано полученное множество паретооптимальных решений.
Рис. 4.6
ЛПР выбрал из этого множества точку при a = 0,4, при котором S = 2601; T = 802;
r = 10,44; h = 29,2. Эта точка устроила его потому, что при дальнейшем увеличении a
S уменьшается уже незначительно и Т имеет наименьшее значение из всех последующих.
Контрольные вопросы к лекции 12
1. Какие решения называются паретооптимальными?
Лекция "7 Повседневные расписания" также может быть Вам полезна.
2. Сформулируйте правило выделения лучших точек.
3. Что такое множество компромиссных решений?
4. Как получить множество компромиссных решений?
5. Запишите функцию Лагранжа для двухкритериальной задачи о баке.
6. Как найти минимум функции Лагранжа?
Рубежный контроль 2
