Случайные величины и их законы распределения

3. Случайные величины и их законы распределения

3.1. Случайные величины в энергетике

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.

К случайным величинам в энергетике относятся такие важные параметры режима, как спрос электрической мощности и энергии, отклонения частоты и напряжения в электрических сетях от номинальных значений, располагаемая мощность электростанций, мощность агрегатов в аварийном ремонте, длительности безаварийной работы
и аварийного ремонта отдельных агрегатов, напор на гидростанциях
и т. д. Знание закономерностей изменения этих случайных величин необходимо как при проектировании, так и при эксплуатации энергетических систем. Основой для их изучения является статистический материал и методы теории вероятностей.

Прежде чем рассматривать случайные величины в энергетике, остановимся на методах описания их закономерностей. Случайные величины можно разделить на два класса: дискретные и непрерывные. Случайные величины, принимающие только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, называются прерывными или дискретными случайными величинами.

Существуют случайные величины другого типа. Возможные значения таких случайных величин не отделены друг от друга; они непрерывно заполняют некоторый промежуток, который иногда имеет резко выраженные границы, а чаще – границы неопределенные, расплывчатые.

Такие случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, называются непрерывными случайными величинами.

Значения непрерывных случайных величин могут изменяться непрерывно, т. е. даже в ограниченных интервалах такие величины могут иметь бесконечно большое число значений.

Примеры прерывных случайных величин:

1) число появлений герба при трех бросаниях монеты (возможные значения 0, 1, 2, 3);

2) частота появления герба в том же опыте (возможные значения 0, , , 1);

Рекомендуемые материалы

3) число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов (возможные значения 0, 1, 2, 3, 4, 5);

4) число агрегатов, вышедших аварийно из работы.

Эти числа в ограниченном интервале являются конечными.

Примеры непрерывных случайных величин:

1) абсцисса (ордината) точки попадания в окружность, радиуса R;

2) ошибка прогнозирования суммарного спроса мощности;

3) время безотказной работы элементов системы электроснабжения.

3.2. Статистический ряд, многоугольник
распределения вероятности

Рассмотрим прерывную случайную величину Х с возможными значениями . Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина Х примет одно из этих значений, т. е. произойдет одно из полной группы несовместных событий:

                                                    .                                             (3.1)

Обозначим вероятности этих событий буквами р с соответствующими индексами:

                  ,

т. е. распределение вероятностей различных значений может быть задано таблицей распределения, в которой в верхней строке указываются все значения, принимаемые данной дискретной случайной величиной, а в нижней – вероятности соответствующих ей значений.

Так как несовместные события (3.1) образуют полную группу, то

                                                     ,

т. е. сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице.

Распределение вероятностей непрерывных случайных величин нельзя представить в виде таблицы, так как число значений таких случайных величин бесконечно даже в ограниченном интервале. Кроме того, вероятность получить какое-либо определенное значение равна нулю.

Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, т. е. в точности укажем, какой вероятностью обладает каждое из событий. Этим мы установим так называемый закон распределения случайной величины.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному закону распределения.

Установим форму, в которой может быть задан закон распределения прерывной случайной величины X. Простейшей формой задания этого закона является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности:

Такую таблицу мы будем называть рядом распределения случайной величины X.

Рис. 3.1

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения (рис. 3.1). Многоугольник распределения, также как
и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. он является одной из форм закона распределения.

Иногда удобной оказывается так называемая «механическая» интерпретация ряда распределения. Представим себе, что некоторая масса, равная единице, распределена по оси абсцисс так, что в n отдельных точках  сосредоточены соответственно массы . Тогда ряд распределения интерпретируется как система материальных точек с какими-то массами, расположенных на оси абсцисс.

3.3. Функция и плотность распределения
вероятности

Для непрерывной случайной величины составить таблицу, в которой были бы перечислены все возможные значения такой случайной величины, невозможно. Кроме того, как мы увидим в дальнейшем, каждое отдельное значение непрерывной случайной величины обычно не обладает никакой отличной от нуля вероятностью. Следовательно, для непрерывной случайной величины не существует ряда распределения в том смысле, в каком он существует для прерывной величины. Однако различные области возможных значений случайной величины все же не являются одинаково вероятными, и для непрерывной величины существует «распределение вероятностей», хотя и не в том смысле, как для прерывной.

Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события ,
а вероятностью события , где х – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события, очевидно, зависит от х, есть некоторая функция от х. Эта функция называется функцией распределения случайной величины Х и обозначается F(х):

                                              .                                      (3.2)

Функцию распределения F(х) иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т. е. является одной из форм закона распределения.

Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения.

1. Функция распределения F(х) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при   .

2. На минус бесконечности функция распределения равна нулю:

                                                   .

3. На плюс бесконечности функция распределения равна единице:

                                                   .

График функции распределения F(х) в общем случае представляет собой график неубывающей функции (рис. 3.2), значения которой начинаются от 0 и доходят до 1, причем в отдельных точках функция может иметь скачки (разрывы).

Рис. 3.2

Зная ряд распределения прерывной случайной величины можно легко построить функцию распределения этой величины. Действительно,

                                  ,

где неравенство  под знаком суммы указывает, что суммирование распространяется на все те значения  которые меньше х.

Когда текущая переменная х проходит через какое-нибудь из возможных значений прерывной величины X, функция распределения меняется скачкообразно, причем величина скачка равна вероятности этого значения.

Функция распределения любой прерывной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной  величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(х) равна единице.

Введем обозначение:

                                                 .                                         (3.3)

Функция  – производная функции распределения – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе, «плотностью вероятности») непрерывной случайной величины X.

3.4. Числовые характеристики случайных величин

Характеристики, назначение которых – выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.

В теории вероятностей и математической статистике применяется большое количество различных числовых характеристик, имеющих различное назначение и различные области применения.

Среди числовых характеристик случайных величин нужно прежде всего отметить те, которые характеризуют положение случайной величины на числовой оси, т. е. указывают некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины.

Из характеристик положения в теории вероятностей важнейшую роль играет математическое ожидание случайной величины, которое иногда называют просто средним значением случайной величины.

Рассмотрим дискретную случайную величину X, имеющую возможные значения  с вероятностями . Нам требуется охарактеризовать каким-то числом положение значений случайной величины на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные вероятности. Для этой цели естественно воспользоваться так называемым «средним взвешенным» из значений х_i, причем каждое значение х_i при осреднении должно учитываться с «весом», пропорциональным вероятности этого значения. Таким образом, мы вычислим среднее значение случайной величины X, которое мы обозначим

                          ,

или, учитывая, что ,

                                               .                                       (3.4)

Это среднее взвешенное значение и называется математическим ожиданием случайной величины. Таким образом, мы ввели в рассмотрение одно из важнейших понятий теории вероятностей – понятие математического ожидания.

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

Заметим, что в вышеприведенной формулировке определение математического ожидания справедливо, строго говоря, только для дискретных случайных величин. ниже будет дано обобщение этого понятия на случай непрерывных величин.

Формула (3.4) для математического ожидания соответствует случаю дискретной случайной величины. Для непрерывной величины Х математическое ожидание, естественно, выражается уже не суммой, а интегралом:

                                             ,                                     (3.5)

где f(х) – плотность распределения величины X.

Формула (3.5) получается из формулы (3.4), если в ней заменить отдельные значения х_i непрерывно изменяющимся параметром х, соответствующие вероятности р_i – элементом вероятности , конечную сумму – интегралом.

Кроме характеристик положения – средних, типичных значений случайной величины, – употребляется еще ряд характеристик, каждая из которых описывает то или иное свойство распределения. В качестве таких характеристик чаще всего применяются так называемые моменты.

Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальным моментом s-го порядка прерывной случайной величины Х называется сумма вида:

                                              .                                       (3.6)

Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом s-го порядка называется интеграл

                                                                                       

Нетрудно убедиться, что введенная характеристика положения – математическое ожидание – представляет собой не что иное, как первый начальный момент случайной величины X.

Общее определение начального момента s-го порядка, справедливое как для прерывных, так и для непрерывных величин:

                                               ,                                        (3.8)

т. е. начальным моментом s-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание s-й степени этой случайной
 величины.

Введем новое понятие «центрированной случайной величины».

Пусть имеется случайная величина Х с математическим ожиданием т_х. Центрированной случайной величиной, соответствующей величине X, называется отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания:

                                               .                                        (3.9)

Условимся в дальнейшем везде обозначать центрированную случайную величину, соответствующую данной случайной величине, той же буквой со значком  наверху.

Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов.

Таким образом, центральным моментом порядка s случайной величины Х называется математическое ожидание s-й степени соответствующей центрированной случайной величины:

                               .                     (3.10)

Для прерывной случайной величины s-й центральный момент выражается суммой

                                        ,                               (3.11)

а для непрерывной – интегралом

                                      .                            (3.12)

Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю:

                                  ,                        (3.13)

т. к. математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю.

Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяются первый начальный момент (математическое ожидание)  и второй центральный момент m₂.

Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины. Ввиду крайней важности этой характеристики среди других моментов введем для нее специальное обозначение :

                                                   .

Согласно определению центрального момента

                                               ,                                     (3.14)

т. е. дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.

Заменяя в выражении (3.14) величину  ее выражением, имеем также:

                                       .                             (3.15)

Для непосредственного вычисления дисперсии служат формулы:

                                      ,                            (3.16)

                                   ,                         (3.17)

соответственно для прерывных и непрерывных величин.

Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания. Само слово «дисперсия» означает «рассеивание».

Если обратиться к механической интерпретации распределения, то дисперсия представляет собой не что иное, как момент инерции заданного распределения масс относительно центра тяжести (математического ожидания).

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины; для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает
с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень. Полученная величина называется средним квадратическим отклонением (иначе – «стандартом») случайной величины X. Среднее квадратическое отклонение будем обозначать :

                                               .                                      (3.18)

На практике часто применяется формула, выражающая дисперсию случайной величины через ее второй начальный момент, которая в новых обозначениях будет иметь вид:

                                          .                                (3.19)

Математическое ожидание (М. О.)  и дисперсия  (или среднее квадратическое отклонение ) – наиболее часто применяемые характеристики случайной величины.

В теории вероятностей доказывается ряд теорем, связанных
с м. о. случайных величин, которые приводятся без доказательств:

1) м. о. постоянной величины С равно этой величине, т. е. , так как вероятность постоянной величины равна единице;

2) м. о. произведения случайной величины на постоянную С равно произведению постоянной величины С на м. о. случайной величины:

                                              ;                                    (3.20)

3) м. о. суммы случайных величин равно сумме М. О. каждой из величин в отдельности:

                                       ;                             (3.21)

4) м. о. произведения независимых случайных величин равно произведению М. О. каждой из величин:

                                           .                                 (3.22)

В теории вероятностей доказывается ряд теорем, связанных
с дисперсией случайных величин, которые приводятся без доказательств:

1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:

                                                     .                                           (3.23)

2. Дисперсия произведения постоянной величины С на случайную величину h равна произведению квадрата постоянной величины С на дисперсию случайной величины h:

                                              .                                     (3.24)

3. Дисперсия суммы постоянной С и случайной h величин равна дисперсии случайной величины:

                                              .                                    (3.25)

4. Дисперсия суммы независимых случайных величин e и h) равна сумме дисперсий этих величин:

                                          .                                (3.26)

5. Дисперсия среднеарифметического от ряда п случайных величин с одинаковой дисперсией в n раз меньше дисперсии каждой из этих величин в отдельности:

           .

3.5. Законы распределения вероятностей
случайных величин

В энергетике широко применяют случайные величины со следующими распределениями вероятностей: равномерное, простейшее нормальное, общее нормальное, биномиальное, по закону Пуассона. Нормальное распределение, как простейшее, так и общее, используют при нахождении вероятностей ошибок прогнозирования нагрузки потребителей энергосистемы, отклонения нагрузки энергосистемы и отдельных ее узлов от средних значений и т. п. Биномиальное распределение и распределение по закону Пуассона применяют при определении вероятностей различных значений аварийных снижений мощности в энергосистеме и аварийного выхода различного числа агрегатов в группе однотипных и т. д. Равномерное распределение служит основой метода статистических испытаний (метод Монте-Карло), применяющегося при определении резерва мощности, отказа в срабатывании автоматики и т. п.

Из-за отсутствия соответствующих статистических материалов не всегда можно задать таблицы распределения вероятностей для дискретных случайных величин или функции распределения и плотности распределения вероятностей для непрерывных случайных величин. Однако и не для всех практических задач требуется знать вероятностные характеристики случайной величины. Во многих случаях достаточно знать основные числовые характеристики, случайных величин, к числу которых относятся математическое ожидание, дисперсия, стандартное отклонение и моменты случайной величины.

Случайная величина может приобретать различные значения, поэтому важно знать ее среднее значение. Однако, если известна совокупность значений случайной величины, то простое среднее значение, определяемое как сумма возможных значений, разделенная на их число, еще не характеризует действительных условий. Ведь различные значения случайной величины могут иметь различные вероятности, и поэтому более вероятные значения будут чаще встречаться на практике и в большей мере определять истинное среднее значение случайной величины. Поэтому для оценки среднего (в вероятностном смысле) значения случайной величины вводится понятие математического ожидания, представляющего собой действительно среднее значение случайной величины.

3.5.1. Определение вероятности, подчиняющейся
нормальному закону распределения

Простейшее нормальное распределение непрерывной случайной величины

Плотность вероятности для простейшего нормального распределения .

Графически плотность вероятности простейшего нормального распределения изображается кривой, симметричной относительно оси ординат с максимальным значением  при  (рис. 3.3). Функция распределения

                                         .

Рис. 3.3

Вероятность попадания случайной величины в интервал

                  ,

где Ф(х) – интеграл вероятности.

Вероятность попадания в интервал ±a от нулевого значения

                          .

Общее нормальное распределение непрерывной
случайной величины

Плотность вероятности для такого распределения

                                      ,

где s и а – постоянные величины.

Кривая плотности вероятности представлена на рис. 3.4.

Рис. 3.4

Наибольшее значение плотности соответствует значению  
и равно . С изменением параметра s максимальное значение плотности вероятности изменяется обратно пропорционально величине s. Функция распределения

                                  ,

а, следовательно, вероятность

                             .                   (3.27)

Если в (3.27) заменить переменную х на z так, чтобы , то

                   

Аналогично, функция распределения

                            .

Таким образом, можно определять функцию распределения и вероятность попадания в заданный интервал для непрерывной случайной величины, имеющей общее нормальное распределение, пользуясь интегралом вероятностей, как и в случае простейшего нормального распределения. При этом в пределах интеграла значения х заменяются на .

3.5.2. Определение вероятности, подчиняющейся
равномерному закону распределения

Равномерное распределение

Величина, имеющая неизменную плотность вероятности, называется равномерно распределенной непрерывной случайной величиной. При этом функция распределения изменяется по линейному закону. Если непрерывная случайная величина равномерно распределена только в интервале , то вероятность попадания в этот интервал равна единице:

                                                  .

Так как в данном случае плотность вероятности  – величина постоянная, то ее можно вынести за знак интеграла:

                                       .

Следовательно, для равномерного распределения

                                               ;

                               .

Величина плотности распределения вероятности является обратной по отношению к величине интервала. Чем больше интервал, тем меньше плотность распределения вероятности. Вероятность попадания случайной величины в интервал

                                  .

Таким образом, вероятность попадания в какой-либо внутренний интервал равна отношению величины этого интервала к величине всего интервала распределения.

3.5.3. Определение вероятности, подчиняющейся
биномиальному закону распределения

Биномиальное распределение дискретной
случайной величины

Это распределение соответствует схеме независимых испытаний с двумя исходами. Пусть происходит n испытаний, в каждом из которых случайное событие А может произойти с вероятностью р или не произойти с вероятностью . Определим вероятность  того, что событие произойдет в т случаях из числа n.

Найдем вероятность того, что событие А произойдет в т первых испытаниях, но не произойдет в последующих  испытаниях. По закону умножения вероятностей она равна . Но это только один из случаев, когда событие А происходит т раз. Необязательно, чтобы оно произошло в m первых испытаниях. Если оно произойдет в любых других по порядку испытаниях, то вероятность его будет по-прежнему равна .

Возможное число комбинаций всех испытаний, если событие А происходит в m случаях, очевидно, равно , поэтому искомая вероятность .

Это выражение называется формулой биноминального закона распределения вероятностей. Очевидно, что сумма , т. к. она охватывает все случаи.

Рассматривая число возникновения события А при n испытаниях как случайную дискретную величину m, запишем формулу для вероятности дискретной величины

                             ,

где т может принимать целочисленные значения от 0 до n.

3.5.4. Определение вероятности по закону Пуассона

Распределение дискретной случайной величины,
принимающей целочисленные значения от 0 до ¥
и распределенной по Пуассону

Вероятность того, что дискретная случайная величина, распределенная по Пуассону, примет значение т, определяется по формуле

                                                                                            (3.28)

При этом вероятности значений случайной величины, распределенной по Пуассону, составляют ряд:

                           ,

где  l – постоянная величина.

При малых значениях р или q вероятности различных значений случайной величины по биномиальному распределению близки к аналогичным вероятностям распределения по Пуассону. В частности, при определении вероятностей аварийного снижения мощности
в энергосистеме, если р или q мало, а число агрегатов велико, может быть использована формула вероятности (3.28). Однако расчет вероятностей по Пуассону проще, т. к. имеются готовые таблицы таких вероятностей. Во многих случаях при малых значениях р или q биномиальное распределение заменяют распределением по Пуассону.
В связи с изложенным, закон распределения по Пуассону часто называют законом редких явлений. Полученные результаты сведем
в таблицу 3.1.

Таблица 3.1

3.5.5. Числовые характеристики случайных величин при различных законах распределения вероятности

В соответствии с определениями числовых характеристик случайных величин для различных законов, распределения могут быть сведены в таблицу 3.2.

Таблица интеграла вероятностей (табл. 3.3) подсчитывается по формуле

                                           ,

причем .

Таблица 3.2

Таблица 3.3