Цифровая фильтрация
5. Цифровая фильтрация
Модели рекурсивных и нерекурсивных фильтров. Цифровая фильтрация может осуществляться с помощью цифровых фильтров, описываемых во временной области линейными разностными уравнениями вида
, (111)
, (112)
где x[i] – отсчеты воздействия, y[n] - отсчеты реакции; {b[i], a[i]} – коэффициенты, определяющие свойства фильтра; M, N – константы, задающие сложность фильтра; x[n-i], y[n-k] – отсчеты воздействия и реакции, задержанные на i и k периодов дискретизации T¶ . Фильтр, описываемый выражением (111), называют нерекурсивным, или КИХ-фильтром (фильтр с конечной импульсной характеристикой). Фильтр, описываемый выражением (112), называется рекурсивным, или БИХ-фильтром (фильтр с бесконечной импульсной характеристикой. Передаточные функции КИХ- и БИХ-фильтров определяются с помощью Z-преобразования и имеют вид соответственно
, 
,
откуда после подстановки 
получают комплексные частотные характеристики:
и 
. (113)
Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики задаются соответственно выражениями
Рекомендуемые материалы
. (114)
Заметим, что любой линейный фильтр можно выполнить с помощью оператора линейной свертки.
5.1. Нерекурсивное винеровское оценивание
На рис. 12 приведена структурная схема нерекурсивного фильтра Винера
 |
Рис. 12
На вход фильтра поступает аддитивная смесь полезного сигнала s[n] и шума v[n]. Фильтр имеет нерекурсивную структуру с импульсной характеристикой 
. Задача заключается в создании такого фильтра, чтобы математическое ожидание среднеквадратичного отклонения e было минимальным.
Определим n-ю реализацию входного сигнала в виде вектора 
и значение ошибки как 
.
Критерий оптимальности имеет вид
,
где M{×} – оператор математического ожидания.
Математическое ожидание квадрата ошибки можно записать в виде
.
Обозначим корреляционную матрицу 
как 
,а вектор-строку взаимно корреляционных значений 
как 
. Тогда выражение для математического ожидания квадрата ошибки примет вид
.
Определим градиент
. Решение уравнения Ñ=0 даст значения весовых коэффициентов импульсной характеристики фильтра:
. (115)
Полученное выражение называется уравнением Винера-Хопфа.
Подставив полученное выражение в формулу для среднего квадрата ошибки, получим его минимальное значение:
. (116)
Пример. Предположим, что требуется синтезировать фильтр Винера для обработки входного сигнала 
. Полезный сигнал имеет вид 
. Импульсная характеристика фильтра имеет два весовых коэффициента N=2.
Корреляционная матрица входного сигнала имеет вид
,
вектор взаимно корреляционных значений равен
.
Обратная корреляционная матрица равна
.
Весовые коэффициенты оптимального фильтра Винера равны
,
минимальное значение среднеквадратичной ошибки определится из выражения
.
Отметим, что фильтр Винера обладает важным свойством декорреляции сигнала ошибки и отсчетов входного сигнала 
.
5.2. Обобщенная винеровская фильтрация
 |
Обобщенная модель винеровской фильтрации предполагает матричную обработку сигналов (рис. 13 )
Рис. 13
Винеровский фильтр A представлен в виде матрицы размером (N´N). Ортогональное преобразование T и обратное ему преобразование T-1 также записываются в виде (N´N) матрицы. Основная задача состоит в создании такого фильтра А, чтобы математическое ожидание квадрата ошибки было бы минимальным. В частном случае, когда Т является единичной матрицей, рассматриваемая модель соответствует фильтру, первоначально предложенному Винером. В этом смысле рассматриваемая структура является более общей.
Предположим, что сигнал и шум имеют нулевые математические ожидания. Откуда следует, что ковариационные матрицы полезного сигнала и шума соответственно равны
и 
.
Применяя изложенную выше методику оптимизации в матричной интерпретации, можно получить следующие выражения для матрицы фильтра:
1)через ковариационные матрицы, относящиеся к области исходных данных
,
где 
- матрица отклика .
2) через ковариационные матрицы, относящиеся к области изображений
,
где 
, 
.
Определим условия, которые позволят получить матрицу A в диагональном виде и построить диагональный фильтр. Основным предположением , лежащим в основе определения этих условий, является то, что собственные значения действительной симметричной матрицы Ar являются различными действительными числами.
Теорема. Если li и ji, i=1,2,…,N соответственно собственные значения и собственные векторы действительной симметричной матрицы G, то
, (117)
где 
такая (N´N) матрица собственных векторов, при которой 
и 
- матрица собственных значений.
Из теоремы следует, что если в качестве T выбрать матрицу собственных векторов матрицы отклика Ar , то A0d=TArTT представляет собой требуемый оптимальный диагональный фильтр.
Ортогональное преобразование, базисные векторы которого являются собственными векторами заданных ковариационных матриц, называется дискретным преобразованием Карунена-Лоэва (ПКЛ).
Пример. Пусть ковариационные матрицы имеют следующий вид:
.
Тогда матрица отклика равна
.
Для нахождения собственных значений составим матричное уравнение 
, которое приводит к характеристическому многочлену
.
Решая последнее уравнение, находим 
. Выполнив вычисления, можно получить, что нормированные собственные векторы, соответствующие найденным собственным значениям, имеют вид
.
Матрица искомого ортогонального преобразования имеет вид
.
Матрица оптимального винеровского фильтра в этом случае имеет вид
.
Фильтры с диагональными элементами иногда называются скалярными; векторные фильтры относятся к более общему классу, который определяется матрицами, содержащими внедиагональные элементы.
К сожалению, дискретное ПКЛ нельзя вычислить с помощью быстрых преобразований. В этой связи представляют интерес так называемые субоптимальные диагональные фильтры, которые допускают применение быстрых преобразований. Сравнительный анализ известных преобразований показывает, что при оценивании марковских процессов на фоне белого шума среднеквадратичная ошибка дискретного косинусного преобразования (ДКП) очень близка к ошибке при ПКЛ. Качество работы фильтра с ДПФ асимптотически стремится к соответствующему качеству работы ПКЛ. Этот результат является частным случаем теоремы Теплица, которая утверждает, что
, (118)
где S - ковариационная матрица стационарного в широком смысле случайного процесса и L - матрица собственных значений S.
Дискретное косинусное преобразование .ДКП последовательности входных значений x[n], n=0,1,…,N-1 запишется как
6 Электролитическое рафинирование - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
(119)
Множество базисных векторов ДКП образует класс дискретных многочленов Чебышева. Обратное ДКП записывается в виде
.
N-точечное ДКП может быть вычислено с помощью 2N-точечного ДПФ следующим образом:
, 
,
где 
- последовательность, полученная из исходной 
путем дополнения последней до удвоенной длины нулями 
.
