2. Переходные процессы двигателей внутреннего сгорания

2.1 Переходные процессы при ступенчатом возмущении

          При расчете переходных процессов элементов и систем автоматического регулирования удобно пользоваться известным принципом суперпозиции. Смысл его заключается в том, что переходный процесс φ = f(t), возникающий при сложном возмущении, типа «κ - θ_дα_д » (одновременного воздействия на двигатель смещения рейки насоса и изменения внешней нагрузки) может быть получен в виде алгебраической суммы двух переходных процессов, появляющихся вследствие раздельного воздействия на двигатель управляющего сигнала  «κ »  и возмущения  «- θ_дα_д ». Поэтому вместо решения дифференциального уравнения (1.24) можно получать решения двух, но более простых уравнений :

                                                                 (2.1)

а полученные из них зависимости  φ_κ = f(t),  и   φ_α = f(t),   затем просуммировать:

                        φ(t) =φ_κ(t)  + φ_α(t)                                                                             (2.2)

           Таким образом, принцип суперпозиции, применимый только для линейных дифференциальных уравнений, дает возможность при оценке динамических свойств двигателя выбрать одно из возможных возмущений. Пусть таким возмущением будет ступенчатое перемещение рейки топливного насоса  κ_в = const  при неизменной  нагрузке (α_д = 0). При задании начальных условий переходного процесса всегда следует четко различать состояние элемента. При t = - 0 равновесный режим соответствует режиму до возмущения, при t = + 0 - равновесному режиму после возмущения.

Рекомендуемые материалы

          При ступенчатом возмущении κ = κ_в = const первое из уравнений (2.1) получит вид:

                                                                                (2.3)

при начальных условиях:  t = 0,    φ(0) = 0.

Рис. 2.1 Переходные процессы при типовых возмущениях: а) единичное ступенчатое возмущение; б) его переходная функция; в) гармоническое возмущение; д) его переходная функция.

При построении переходного процесса φ = f(t)  необходимо предварительно выбрать способ отсчета координат κ и φ или h и ω. Переходный процесс является переходом двигателя от установившегося режима до возмущения при  ω₁₀,  h₁₀ к установившемуся режиму после возмущения  при  ω₂₀, и h₂₀

          Если за начало отсчета выбрать установившийся  режим при ω₁₀ и h₁₀, (т.е. до возмущения) то при  t = - 0 получим:

                                       κ_в = ∆h/h₁₀ = (h₁₀ - h₁₀)/h₁₀ = 0,                                         (2.4)

а при t = +0 (сразу после возмущения путем ступенчатой перестановки рейки из положения h₁₀ в положение  h₂₀ ;рис. Р9, a):

                                       κ_в = ∆h/h₁₀ = (h₂₀ - h₁₀)/h₁₀ > 0.                                                     (2.5)

В результате ступенчатого возмущения возникает переходный процесс по относительной угловой скорости φ (рис. 2.1, a), описываемый уравнением (2.3).

            Характер переходного процесса полностью определяется левой частью дифференциального уравнения (2.3). Это уравнение неоднородное, поэтому общий интеграл его отыскивается в виде суммы общего интеграла φ_од однородного уравнения

                                                                                                             (2.6)

и частного интеграла φ_н уравнения (2.3), т. е.:

                        φ(t) =φ_од(t)  + φ_н(t)                                                                                       (2.7)

          Общий интеграл однородного дифференциального уравнения можно найти в форме

                                                                                                          (2.8)

где С – постоянная, определяемая начальными условиями; р – корень характеристического уравнения    определяемый как  p =  - k_д/Т_д. Следовательно,

                                                                                                     (2.9)

Частный интеграл неоднородного уравнения (2.3) отыскивается в форме его правой части, т. е. в форме постоянной величины φ_н = const. Подстановка φ_н в уравнение (2.3) дает:

φ_н =  κ_в/k_д, поэтому:

                                                                                              (2.10)

Так как при t =  0 имеем φ = 0 ,то получим  С = - κ_в/k_д, откуда:

                                                                                                (2.11)

    В результате дифференцирования выражения  (2.11) по времени получим:

                                                                                                (2.12)

откуда при t = 0 получим:

                                                                                                              (2.13)

          Следовательно, чем выше инерционность двигателя (больше Т_д), тем медленнее изменяется его угловая скорость при заданном возмущении κ_в. Переходный процесс протекает так, что если   t = 0, то    φ = 0, а при t → + ∞  значение  φ → κ_в/k_д

Чем больше положительное значение коэффициента самовыравнивания k_д, тем меньше (при заданном κ_в) новое после возмущения равновесное значение исследуемой координаты φ отличается от ее значения в равновесном режиме до возмущения (рис. 2.2,а). При k_д = 0 производная (2.12) становится постоянной, и переходный процесс соответствует прямой 3.

                                   а)                                                                               б)

Рис.2.2. Переходные процессы двигателя внутреннего сгорания:

а) без наддува при Т_д = const ( 1 – k_д = 0,6;   2 - k_д = 0,3;   3 - k_д = 0;   4 - k_д < 0;

б) 1 - без наддува (для сравнения);  - при наддуве (2 - апериодический); (3 - (колебательный)

При k_д < 0 производная (2.12) положительна, поэтому переходный процесс соответствует кривой 4. Следовательно, при k_д < 0  двигатель в случае возмущающего воздействия идет в разнос или глохнет, т. е. является неустойчивым.

          Дифференциальное уравнение, описывающее динамические свойства двигателя с газотурбинным наддувом является более сложным, и здесь без вывода приведем его окончательный вид:

                              (2.14)

где - некоторые громоздкие константы; - возмущающие воздействия

Это уравнение как и уравнение (1.24) является линейным но с двумя начальными условиями:

Окончательное решение имеет вид

                        (2.15)

где  p₁ ,  p₂ – корни характеристического уравнения полученного из (2.14).

Если эти корни - вещественны, то переходный процесс (Рис.2.2, б) является апериодическим, а если они - комплексные, то переходный процесс становится колебательным.

2.2 Определение коэффициентов уравнений по экспериментальным  данным

          Коэффициенты, фигурирующие в уравнениях (1.24) и (2.15), трудно рассчитать теоретически, и обычно их получают при стендовых испытаниях уже работающих двигателей. Пусть, некоторый двигатель (без наддува) работает на стенде на равновесном режиме (ω₀; h₀). Внезапно на величину ∆h произошло смещение рейки топливного насоса и двигатель через какое-то время вышел новый стационарный режим с угловой скоростью ω_f (рис 2.3). Аппаратурой стенда была «построена» соответствующая кривая  ω(t), по которой необходимо определить значения коэффициентов . Сначала на линии ω(t) в точке (ω₀; t₀ = 0) графически определяется производная: . Затем вычисляем значения: . Далее из соотношения (2.13) получим: . Из уравнения (2.12) при t = ∞  легко получить, что        .

 Отсюда определяем:  .

Рис.2.3. Зависимости ω(t)  и  h(t)  полученные по результатам стендовых испытаний двигателя без наддува.

2.3 Частотные характеристики двигателя

          Для более полной оценки динамических свойств двигателя и других элементов систем автоматического регулирования важно выяснить их реакцию не только на ступенчатое возмущение (см. рис. 2.1, а,б), но и на постоянно действующие возмущения, имеющие характер гармонических колебаний входной координаты (см. рис 2.1, в,г) – рейки топливного насоса или изменения нагрузки:

                                                                     (2.16)

где κ_о или α_до - амплитуды колебаний соответствующих входных  координат;  Ω - частота  возмущающих воздействий.

Переходный процесс, например двигателя без наддува, при неизменной нагрузке () и при гармонических колебаниях рейки описывается дифференциальным уравнением вида:

          Т_д (dφ/dt) + k_дφ = κ_о cos Ωt                                                                            (2.17)

          Решение уравнения (2.17 ) складывается из 2-х компонент: экспоненциальной (она быстро затухает и поэтому не учитывается) и периодической, которая отражает реакцию двигателя на гармоническое возмущение рейки топливного насоса.

Рис 2.4. Образование частотной характеристики двигателя внутреннего сгорания.

а) схема экспериментальной установки; б) совмещенный график колебаний рейки и угловой скорости; в) векторное представление гармонических колебаний.

Известно, что это решение также является гармонической функцией с частотой Ω, но со сдвигом фаз  (относительно колебаний рейки, см. Рис 2.4) и с другой амплитудой  (а не  κ_о ). Отметим, что значения    и    являются функциями κ_о  и Ω. Если принять, что  κ_о = 1 , то эти значения вычисляются по формулам:

                                                                             (2.18)

Рис 2.5. Построение амплитудно - фазовой частотной характеристики

Тогда в полярных координатах ( - угол;   - радиус) можно построить так называемую амплитудно-фазовую частотную характеристику (Рис 2.5) при параметрически заданных значениях  = f(Ω) и  = f(Ω) в интервале Ω = 0…∞. Эту частотную характеристику можно представить также в декартовых координатах  на комплексной плоскости, тогда:

                                                                 (2.19)

Из формул (2.19) можно получить:

                                                                                 (2.20)

1. Виды потребителей воды - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.

Это означает, что амплитудно-фазовая частотная характеристика является уравнением полуокружности при изменении Ω в интервале [0…∞] с радиусом 1/k_∂.

Окончательная формула, связывающая колебания частоты вращения () в зависимости от колебания рейки, представляется в виде:

                                                                                            (2.21)

Полученная формула является математическим выражением амплитудно-фазовой частотной характеристики двигателя как регулируемого объекта. Это выражение показывает, что при гармонических колебаниях входной координаты (2.16) в двигателе возникают вынужденные незатухающие колебания выходной координаты

          Если в каких – либо расчетах использовать  передаточную функцию, то она может быть представлена в следующих формах:

                                                             (2.22)