Гришина Г.В.,Демин А.И.,Михайлова О.В. Функции многих переменных.МГТУ 2003г (МУ - Функции многих переменных), страница 3

Найти озх, если Р(х+ х, у+ х) = О. Регнеине, Положим к + х = и, и + х = ю, Последовательно дифференцируя, получаем 4Р = Р„(гЬ+ Их) + Р,(ду + Их) = О, г1~Р = Р,,„(йх+ 4х)з + 2Ре„(йх+ <Ь)(йу+ Их)+ + Р (4„+,1 )з + (Р + Р )4г Из равенства (7) находим первый дифференциал ~Ь = Р„сЬ+ Р,ду и вычисляем суммы М+ Р Р„ + Р„ Р„ + Р„ Р„ах+ Р,йу Р„(ду — йх) Используя эти соотношения, из равенства (8) находим второй дифференциаж ~э ((Р)зР 2РРР +(Р)ЯР )(,1 1 )з (Ри + Ре) 10. Экстремумы.

Необходимые и достаточные условии экстремума в точке Определение 10.1. Пусть функция Я(х) = Д(хы..., х„) определена на множестве 6' я Ка Точка хс (х01> .. хс) е д на зывается точкой максимума (минимума) функции у (х), если сущее ствует окрестность У(хс), такая, что Ух Б Ц(хс) П С Дх) < Дхо) У(*) >Л ')). Бели Дх) < Дхс) (Дх) > Д(хс)), то хс называется точкой строгого максимума (минимума). Точки (строгого) максимума и минимума называются точками (строгого) экстремума. Теорема 10,1 (необходимое условие экстремума). Пусть функция у(х), х = (ху, хв) определена в окрестности точки х". Боди зто точка экстремума и существует частная производная «„(хс) по кахой-либо из переменных х, (1 Б (1, ..., п) ), то ~„, (хс) = О.

1э1~ Ь, . >О, Л.,е, Ь! = г'„„> О, Ьз = Ух1ж1 Второй дифференциал ~1з.(' является отрицательна определенной квадратичной формой тогда и только тогда, когда все главные миноры четного порядка положительны, а нечетного порядка — от- рицательны (Ь1 ~ О~ ~.Ь2 > О, Ьз ~ О) Ь4 > 0 и т.д.), Следствие, Бели Д(х) дифференцируема в точке экстремум», то ф .о=0 Определение 10.2. Бели Дх) Е В(хс) и 4~~, я —— О, то хс называется стационарной точкой функции ~. Теорема 10.2 (достаточное условие строгого экстремума), Пусть у ~ Сэ(У(хс)) и хс — стационарная точка функции (. Тогда, если второй дифференциал азу~, = Е У,.~,(хо)Ыз;М 4=1 является положительно (отрицательно) определенной квадратичной формой, то х — точка строгого минимума (максимума), а если с Р~~~~, не является знакоопределенной квадратичной формой, то экстремума в точке хс нет.

Для того чтобы выяснить наличие экстремума функции у(х) в стационарной точке хо, нужно исследовать иа знакоопределенность квадратичную форму с матрицей 1 !Хэ,„(хс) ~ 1, з, 3 = 1,... п. Исследование проводят с помощью критерия Сильвестра Второй дифференциал является положительно определенной квадратичной формой тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы ~~~„„.

~ ~ положительны: и =2а+2=0, 200 020 002 11. Условный экстремум творяют уравнениям для функции двух переменных это даат следующее правило, Предположим, что Р(к',ус) — стационарная точка Функции ди, у). Обозначим А = Гьа(а~,рс) В = Ьд(а у ) С = У~Ж и') Тогда матрица квадрати щей формы с)зУ~~,О „о) = А(дх)~ + )гА В') +2В зЫй+ С(ор)з имеет вид, н следовательно, ~В С/' 1) если АС- Вз > О, А > О, то в точке Р— строгий минимум; 2) если АС-Вз > О,А < О, то в точке Р— строгий максимум; 3) если АС вЂ” Вз < О, то в точке Р экстремума нет; 4) если АС вЂ” Вз = О, то необходимо дополнительное исследо- Пример 10.1, Исследовать на экстремум функцию я = аз + + 2а~ + Зан — уз — 9а.

Решение. Найдем стационарные точки функции я(к, и): я, = Зкз+ 4х+ 29 — 9 = О 1 Заз+ ба — 9 = О а яя = 2ж — 29 = О Д=Ж Следовательно, стационарные точки — Р(1,1) и Я(-З, — 3). Вычислим вторые производные функции я(к, у): А = я„„= ба + 4, В = я, = 2, С = е„„= -2, В точке Р имеем АС вЂ” Вз = -24 < О, следовательно, в этой точке экстремума нес В точка ц имеем АС вЂ” Вз = 24 > О, А = -14 < О, следовательно, Я(-3, -3) — точка строгого максимума и я(-3., — 3) = 27. Пример 10.2.

Исследовать на экстремум функцию трех переменим а=аз+уз+яз+2ж+49-бе, Рашен не. Из системы определяем стационарную точку Р(-1, -2, 3). В этой точке нахо- дим значения вторых производных функции и(а, 9, я) и знаки глав- ных миноров матрицы квадратичной формы авек Второй дифференциал, согласно критерию Сильвестра„ представляет собой положительно определенную квадратичную форму. Поэтому в точке Р(-1,-2,3) функция имеет минимум и(-1,-2,3) = -14. Определение 11.1. Пусть в пространстве Й" задана функция ,Г'(иы..., к„) и множество точек Ж, координаты которых удовле- ф;(я1, ..., е ) = О, 3 = 1,, гп Точка вс б Е называется точюй условного экстремума функции Х при выполнении условий связи (9), если она является точюй обычного экстремума этой функции, рассматриваемой только на множестве Е.

Пример 11Д. Найти условный экстремум функции Дэ, р) = = аз + уз лри условии я + у — 1 = О, 1»ешенве. На множестве Е, удовлетворяющем условию связи, функция дт, й) может рассматриваться как функция одной пере- дР менной Г(э) = Х(э, 1 — э) = 2эа — 2ж + 1. Тогда — = 4э — 2, и следовательно, э = — — стационарная точка для Р.

о 1 2 Так как Ра (1/2) = 4 > О, в точке Р(1/2, 1Х2) функция Х имеет условный минимум Х(Р) = 1/2, Как ясно из этого примера, точка условного экстремума не обя- зана быль точкой обычного экстремума. Действительно, в точке Р не выполнено необходимое Условие зкстРемУмж г(Х~(туз;~ ) = еж+ +гауф О, В дальнейшем предполагаем, Что функции Дв), р,(э), » — 1, ... »д„»л<п, непрерывно дифференцируемы в окрестно1дчч( ) сти точки»сс н ранг матрицы Люби ~ — . ( = 1,, »»ь, ~ д) » = 1,, и, равен»л на мне»явстве Е. Теорема 11.1 (необходимое условие существования условного экстремума). Пусть жΠ— точка Условного экстремума функции Х(э) при выполнении условий связи (9). Тогда существуют числа Л»', у — 1,, »и, такие, что в точке ас дХ с-» дс»» — +» Л вЂ” '=0 1=1,,п, 1=1 Следствие, Если е~ — точка условного экстремума Да), то она является стационарной точюй для функции Лагранжа Х(е» " » ) = Х( ) + „>.

Л»Ч»( ). »»=т Замечание. У функции Лагранжа Х при любых Л точки ее условного экстремума при выполнении условий связи (9) совпадают с точками условного экстремума функции Х(е), поскольку Х, = Х на множестве Е = (е Е Я'": 1»» (э) = О, » = 1, ..., т). О~сюда вьпекает способ нахождения точек условного экстре- мума. Выберем Л из условий стационарности искомой топи Р(аы ...,ж„) для функции Х» т.е, найдем жы ...,я„,Лы ...,Л„„ из»в+п условий.

Тогда все точки условного экстремума Х окажутся среди стационарных точек Х,, Теорема 11.2 (достаточное уаловие существования условного экстремума), Если во — атационарная точка функции Лагранжа Х и АХ > 0 (АХ < О) при выполнении условий связи ИЕ»» = ~~~ — »Ых; = О, » = 1,,»п, (10) д(,Р; Ж» »ьи то эс — точка условного экстремума для Х(ж).

Замечание. Если»ХзХ является знакоопределенной квадратичной формой и без выполнения условий связи, то, очевидно, будет таковой и при их выполнении. То есть„если яс — точка обычного (безусловного) экстремума функции Х; то она будет точкой условного экстремума для», Итак, метод исследования фунщии на условный экстремум со стоит в следующем: 1) найги функцию Лагранжа Х, (т.е. коэффициенты Лт,..., Л ) н ее стационарные точки; 2) исследовать «12Х в этих точках. Если «12Х вЂ” знаксопределенная квадратичная форма при любых ««х = («Ьт, ...,«(х„), то Х имеет в этих точках безусловный экстремум, ໠— условный. Если квадратичная форма «12Х не является знахаопределенной для любых «Ь = («(хц ..., «Ь„), то надо исследовать «121 илн «12» при выполнении условий связи (10) для дифференциалов. Пример 11.2.

Исследовать на условный экстремум функцию »(х, р) = 6 — 5х — 49 прн выполнении условия связи ««2(х,р) = 2 2 =х ††9, Решение. Запишем функцию Лагранжа Х (х, р) = 6 — 5х — 49+ +Л(хз — 92 — 9) и систему уравнений для определения числа Л и стационарных точек функции Лагранжа: Х„= — 5+ 2Лх = О, Хч« = -4- 2ЛУ = О, хз-92-9 = О, Из системы находим х = -5, р = 4 при Л = -1/2; х = 5, 9 = -4 прн Л = 1««2.

Вычислим второй дифференциал функции Лаграюка: Х „= 2Л, Х, ~ -- О, Хрр = -2Л =ь «(2Ь = 2Л(«Ь)2 — 2Л(«М~. Он не является знакоопределенной квадратичной формой в точках Р(-5,4) и ц(5, -4), условие связи (10) для дифференциалов дх и «19 имеет внд «1(«« = х«Ь — р«(у = О. В точке Р(-5,4) имеем 5 -5«Ь — 4«19 = О, т.

е, «тр = — — ««х, н следовательно, второй диффе~алфуикдииЛагратока (2Х, 2~ ~ ~ ((х)2 ~ Ь~ = — («Ь) > 0 — положительно определен. Аналогично, в точке 9 Гб Я(5 -4)второйдифференциал««2Ь = 2~ -) ~(«Ь)2-~ — «(х~ »« = > = — — («Ь) < 0 — отрицательно определен.