Гришина Г.В.,Демин А.И.,Михайлова О.В. Функции многих переменных.МГТУ 2003г (МУ - Функции многих переменных), страница 2

я) 0 где Р(я р я) = Дя д) — е прн этом ЯгадР = О'.,А,-1) Пример 6.1. Составить уравнения нормали и касательной плоскости к сфере ез+Пз+аз -2к+4у-6а+ 5 = 0 в точке М(3, 1, 5) Решение. Найдем частные производные функции Р(я, и, я) = = яз + уз+ зз — 2я+ 4у — ба+ 5; дР дР дР 1 д — = 2е — 2, — = 2р + 4 — = 2я — 6. Вычислив их значение в точке М, получим направляюгций веке †тор нормали о = (4, 2, 4). Уравнения нормали имеют вид — = = — = —, а уравнение касательной плоскости 4(е — 3) + 3+1 ~-5 2 4 +2(у+1)+ 4(я — 5) = 0(илн 2и+р — 2з — 15 = О). 7. Производные и дифференциал сложной функции 4' Л ) = У(яы ° ., 1гаа) — функцня о переменных днфференцируемая в точке ис ( .о о) ция й переменных а(«) = де(«)) имеет в точке «о частные производные по всем переменным, и их находят по формулам ~у! ~ о( ~! Следствие.

Форма первого дифференциала инвариантна, т, е, Определение 7.1. В случае, когда сложная функщгя ет в П«рг(«) ", р„(«)), производная Теорема 7.1 (о производной сложной функции). Пусть функции одной переменной е1(«), ..., е„(«) дифференцируемы в точке «о, к («с) = яс 4 = 1, ..., о, а ~(х) = .«(жы ..., к„) — функция гь переменных, дифференцируемая в точке я = (яз, ..., к„). Тогда а а с сложная функция я(«) = Т" (я(«) ) определена в некоторой окрестности точки «о и дифференцируема в этой точке причем Теорема 72 (о частных производных сложной функций многих переменных).

Пусть к1(«), ..., я„(«) — функции й переменных (« = («ы ..., «ь)), для которых существуют частные произде, с с водные — ' в точке «о = («оы ...,«ьс), « = 1, ...,о,,з = 1, ..., Й, ~я полной производной функции г по переменной « Пример 7.1, Если Д«,р) — а,п(«) д-+ — «у д~ производная — = р, соа « — и. ~озр«+ «,, ««(1+ 2«)соя(«Я+ Р) Арифметические свойства первого дифференцн 1)«(У+а) =а+ил; 2) 4й) = аау+.«'«д; 3),«Ц ~ 94 — Тг«д ~И р' получим (4) )з 8.

Частные производные и дифференциалы ньтсояих пориднон Определение 8Л. Частная производная по любой независимой переменной от частной производной порядка Й вЂ” 1 функции,г (ж) = = 1(вм ..., и„) назьваетсЯ частной пРоизводной поРЯдка й фУчш- ции г(я): дь-1У дь). Хт~ ...х, дичь дя;, ... дж,„, дя,, ... дв,, Частная производная, полученная дифференцированием по различным переменным, называется смешанной, а по одной — чистой производной. Пример 8Л. Найти частные производные второго порядка для функции )'(и, у) = в1пя сов у. Решение: — (совисовр) = -в1пжсоар, д дв д — (-а)пяапр) = -а1пжсовр, др д — (созисоау) = — соаж в)пу, др д — (-а1пва1пр) = — соаяз)пу.

дя Замечание. В данном примере ~„у = Д,, Это не всегда так. Однако для элементарных функций нескольких переменных смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования в тех точках, где они существуют. Это следует из сформулированной Теорема 8.1 (о независимости смешанных производных от порядка дифференпировання).

Пусть функция г(в, и) и ее производные,~ь, ду, ~еу, д~ определены в окрестности точки (хс, рс) и непрерьвны в этой точке. Тогда ~,у(ял, ус) .= Гу (яс, рс), Определение 8.2, Функция, имеющая в точке вс (илн в ее окрестности у(жс)) непрерьвные частные производные всех порядков до тп включительно, иазьвается гп раз непрерывно дифференцируемой в точке ж~ (или в у(ко)). Об печенке. У ~ С (яа) (У ~ ~ (гг( о))) Вьведем формулы для производных второго порядка сложной функции двух переменных )". (и(в, р), у(ж, р)). Дифференцируя выражения для первых производных сложюй функции Ужа = (Уьпж + Уусж)ж = Уми(ое) + 2Лю~Ьуа+ 2 + „Гюе(ух) + Уипжж + Луиз~ 2 Хту = (Лд~ж + ~ююж)у = ~яьовпу + Уие (пьсу + оу~Ъ)+ + Уууухоу + Уипху + Леву~ Ууу = Уьиу+ Х.ъу)у = Уим(уу)'+ 2Л оууу+ + ~~е(юу) + ЛФуу + поуу.

2 Перейдем теперь к определению дифференциалов высшего по- рядка. Длядифференцируемой функции г(жы ..., и„) первыйдифференциал равен ф = — сж1+... + — Ня„. Частные производные д*~ ''' д℠— п ~дотаивают собой функции и переменных. Следовательно, д~ дяч щ фиксированных значениях сЬ; дифференциал Ф тоже является фунхцией и переменных. Определение 8.3. Если у' Е Сг, то дифференциалом второго порядка функции г' называется дифференциал от первого дифференциала и9 = и(ч)'), при атом дифференциал от 4~ подсчитывается при тех же постоянных приращениях аргументов Нег,..., ~Ь„, что и ф.

Аналогично,если~ Е С™,то 4 ~ = 44™ 1У), Второй дифференциал функции от и независимых переменных выражается через частные производные следующим образом: ~зу-~ г' — н~ =~~( — н;) = (" д) '~ " /ду де; ', доз 4=1 =7 — ~Ьг+ . + — 4я~ М=,Р— ~Увеличу ~ ~дачде, "' данден. "1,, дкчд" При зтом оге = гРу = О толью в том случае, югда е, у— линейные функции от и, о.

Пример ЗЗ. Для функции я = /вг + Уг найти дифференциалы первого и второго порядка. Репгение. Находим частные производные первого и второго по- рядков: у / г+уг' " / г+уг' 1 жг яхж Г' г ( г + г)зуг зг язв (жг+„г)з~г' ~~Ь+ уеду Отсюда Йя = ~яг .~„р~2 ' Замечание, При п > 2 нет ннвариантности формы второго дифференциала, Это можно проиллюстрировать на примере сложной функции двух переменных, Пример8.2,Пустья= Г(~ У) к — ~(„„) „„(ц 'огда оя = Ь"е+ А Ь = ЛФи+ ~,~Ы Относительно независимых переменных и и е второй диффе- ренциал имеет вид И я = )ии(с~о) + 2УюФл~о+.) мбит Однаю для зависимых переменных ж и у получаем Нгя = И(у' де + )зф) = Н(яде + ~ (Рж + сщ)йу + ~злу = ( г+ уг)з~г Пример 8.4, Для сложной функции я = Г(и, о), где „вЂ” вУ с = —, найти дифференциалы первого н второго порядков. у Решение.

Дифференцируя з как сложную функцию, получаем оя = у~а+ )~Ыю = (Рож+ злу) ~с + уды — е~ф уг Ь Н = ~„„(~И*+ийу) +2~„» — + г (уоя)г — (Ыу)г уг (рЬ вЂ” ЫУ)г / 2 2я + )'„~ + 2,Г„ЫядУ +,~ц — — НЙОУ + — (ф) , ~4 у у жз Пример 8.5. Приняв и = у + — и ю = а за новые незавнси- 2 3 мые паременньщ, преобразовать уравнение з — 2ез „+ з взяв -2зз — — О. Решение. Выразим производные, входящие в уравнение, через производные функции з по новым переменным согласно формулам (1) — (5): за = Язв + зу, зд = за, 3„, = ж зри, + 2хя,рр + зр„+ з„, 3 зйф = зз,и4+ зяб, зя, — — яма.

Подставим полученные выражения в уравнение з з +2кз +з +з„— 2з(кз „+ з„„)+и з, — 2з„= О. После преобразований и приведения подобных слагаемых получим з..-я.=О, 9. Неявные функции. Дифференцирование наивных функций Определение 9.1. Пусть задано уравнение Р(зт, ..., и„, у) = = О, Если существует функция у = Дат,..., ж„), такая, что для всех з = (хт, ..., а„) из области определения функции У вьптолнено равенство Р(а,.г'(а)) = О, то Д(зт, ..., а„) называется неявной функцией, определяемойуравнаиием Р(ты ..., ю„,у) = О. Пример 9,1.

Нз уравнения аз + уз — 1 = О неявная функция у = г(а) может быть определена неоднозначно, Например, Нас будут интересовать вопросы: 1) при каких условиях неявная функция существует и един« отвеина 2 2) как найти производные неявной функции, не находя ее явной формулы? Теорема 9Л (о существовании и диффаренцируемости иеявной функции). Пусть Р(ж, у) = О, ж = (аы ..., к„), Р(т., у) б б С(У(ас,ус)), и существует производная Р„(з,у) б С(кс,ус), ,р„„м Р(~о, уо) = О, Р„(~с,ус) Ф О, Тогдж 1) найдутся окрестности У(зс) и 0'(ус), такие, что для и б У(зо) существует у = Д(к) — единственная функция, для кото- ~Я ройу(к~) = ус,у(к) б У(ус),иР(а,у(к)) из О; 2)Ф~ц Л ~ каИ 'В 3) если, кроме того, в некоторой окрестности у(вс> ус) существует частная производная Р„,(з, у) е С(зс, ус), то существует производная неявной функпии ~,(и ) = — ' с ' Следствие.

Если функция Р(аы ..., а„, у) имеет производные по всем переменным Р„„..., Р„„, непрерывные в точке (жс, ус), то неявная функция ди) дифференцируема в точка кс и ае диффе- " Р„(ас,ус) Ранпиалф = — 2 " с' с ~и; У '.,И' 1' )и'УАЛЬИЬ~и Из теоремы следует способ нахоягдения производных неявной функции, В случае, когда необходимо найти производные первого порядка по всем переменным, пролге найти дифференциал функции и = =У( ) Поскольку Р(ю, /'(гх)) = О, нз свойства инвариантности первого дифференциала, дифференцируя обе части равенства, получим у' Р 4~. +Р йу ~ О Атаккаквокрестноспгт~чки („с Ус) про 1 1 Р наводняя Р„(ес, ус) ф О, находим Иу = — 2; — Иаь Р Пример 9.2. Найти дифференциал функции х(х, у), заданной Жу уравнением е"я' — егерей — = О. Решение, Находим частные производные и дифференциал функции Р(х,у,х) = еек' — агсСк —: х Пример 9.3.

Найти 4х и д х, если х — е = агсхй— 3 У Репгенне, Дифференцируя равенство, получаем ((х — и) +у~+у) И(х- я) = (х — х)4У, (б) (х — з)4у следовательно, первый дифференциал 4х = де + ( — )'+ у'+ у Дифференцирование равенства (6) дает ((х — е) з + уз + у) сз(х — и) = = -2 ((х — к)4(х — к) + уеду) И(х — ю). Р„= ух с Я' — ~, Рд — — ах ~с*"*— у+ / 1. и+ / 1 Р, = жу е*""+ зу +х/ 2 2 2 езуз + х~ / 1 + зу е"я'+ сх. езуз + хя Нз уравнения дР = О получаем х (1 — (изуз+ хз)е "' ) ггх — (удк + шоу) ~ 1 1 + (газуя + хз)ежях/ и следовательно, х (1 — (езуз+ хз)еяя') х (1 — (езуз+ хя)е я ) ж (1+ (жзуя+ хз)е ) ' я У (1+ (хзуз + хз)е *) ' Подставив вместо о(х — х) его выражение нз (6), получим оконча- тельнуго формулу для второго дифференциала: о' х = оз(х — з) —— 2( — )(у + 1)((х - )з + уз) ((х - *)' + уз + у) Пример 9,4.