теория сопр (Шпоры), страница 5

линия параллельна оси "х", перпендикулярна оси "y"). Нейтр. линия может как пересекать сечение,так и проходить вне его, в этом случае во всем сечении напряжения будут одного знака: растягивающиеили сжимающие. Это важно, например, при расчете кирпичных колон, которые плохо сопротивляютсярастяжению, и надо, чтобы они только сжимались. Когда сила Р приложена в центре тяжести сечения, тонейтр. линия находится в бесконечности. При перемещении силы Р от центра тяжести в сторону краясечения нейтр.

линия перемещается из бесконечности к сечению, оставаясь параллельной самой себе. Вкакой-то момент она коснется сечения. При этом сила занимает предельное положение, при котором всечении будут напряжения одного знака. Область вокруг центра тяжести сечения, внутри которойприложение силы Р вызывает в сечении напряжения одного знака, называется ядром сечения.yЧтобы получить очертание ядра сечения надо задать несколькоположений нейтр. линии, касательных к контуру сечения (нигде непересекая его), определить отсекаемые ими отрезки на координатныххН=n1осях "хн,yн" и вычислить соответствующие координаты точкиA1хНхСядроyНn1i 2yi 2x; yP  приложения силы Р: x P  – координаты контураxHyHядра (на рис.

n1n1– нейтр. линия, А1–соответствующая ей точка ядрасечения). При многоугольной форме контура сечения удобнее нейтр.линию совмещать с каждой из сторон многоугольника. Дляпрямоугольного сечения – ядро сечения ромб, с диагоналями равными17одной трети соответствующей стороны сечения, для круга – круг радиусом R/4, для двутавра – ромб.Изгиб с кручениемСовместное действие изгиба с кручением наиболее частый случай нагружения валов. Возникают пятькомпонентов внутренних усилий: Qx, Qy, Mx, My, Mz=Mкр.

При расчете строят эпюры изгибающих Mx, My, икрутящих Mкр моментов и определяют опасное сечение. Результирующий изгибающий моментM  M 2x  M 2y . Макс. нормальные и касательные напряжения в опасныхyAxнейтр. линияBM 2x  M 2yMточках (A,B):  max ,WWM крR3, (для круга: W=–осевой момент сопротивления, Wр= max Wр4R3–полярный момент сопр-ния сечения).2Главные напряжения в наиболее опасных точках (А и В):111  (   2  4 2 ) ;  2  0; 1  (   2  4 2 ).22Проверка прочности проводится по одной из теорий прочности:IV-ая:  эквIV  2  3 2  []; теория Мора:  эквM 1 m1 m 2  4 2  [];22где m=[p]/[c] – допуст.

напр.растяжения/сжатия (для хрупких материалов – чугун).Т.к. Wp=2W, получаем:  эквM 1 1 m1 m2[M 2x  M 2y M кр M 2x  M 2y ]  [];W 22120,75M кр M 2x  M 2y  []; В числителе – приведенный момент по принятой теорииW1 m1 m2M 2x  M 2y M кр M 2x  M 2y ] ;прочности. M прM 2222222IV-ая: M прIV  0,75M кр  M x  M y  0,75M кр  M ; эквIV 12[ M 2x  M 2y  M кр M 2x  M 2y ];22 0,35 M 2x  M 2y  0,65 M кр M 2x  M 2y , при коэф.Пуасссона =0,3;I-ая: M прI II-ая: M прIIIII-я: M прIII 2M кр M 2x  M 2y ;или одной формулой:  экв d332M пр[]M прW [] , откуда момент сопротивления: W M пр[ ], диаметр вала:. Формулы годятся и при расчете кольцевого сечения.Общие методы определения перемещенийРабота постоянных сил: А=РР, Р – обобщенная сила – любая нагрузка (сосредоточенная сила,сосредоточенный момент, распределенная нагрузка), Р – обобщенное перемещение (прогиб, уголповорота). Обозначение mn означает перемещение по направлению обобщенной силы "m" , котороевызвано действием силы обобщенной "n".

Полное перемещение, вызванное несколькими силовымифакторами: Р=РP+РQ+РM. Перемещения вызванные единичной силой или единичным моментом:  –удельное перемещение. Если единичная сила Р=1 вызвала перемещение1=Х111+Х212+Х313+…Р, то полное перемещение вызванное силой Р, будет: Р=РР . Если2=Х121+Х222+Х323+…силовые факторы, действующие на систему, обозначить Х1,Х2,Х3 и т.д.,то перемещение по направлению каждого из них:3=Х131+Х232+Х333+…18где Х111=+11; Х212=+12; Хimi=+mi.

Размерность удельных перемещений:[] Дж, Дж[X m ][X i ]джоули размерность работы 1Дж = 1Нм. P PP 2Работа внешних сил, дейст-щих на упругую систему: A   Pd   P P PdP .20PA– действительная работа при статическом действии обобщенной силы на упругую систему2Pравна половине произведения окончательного значения силы на окончательное значение соответствующегоперемещения. Работа внутренних сил (сил упругости) в случае плоского изгиба:LLM 2 dxN 2 dxQ 2 dxA    k ,2EJ2EF2GF000Lk – коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по площадипоперечного сечения, зависит от формы сечения.На основании закона сохранения энергии: потенциальная энергия U=A.Теорема о взаимности работ (теорема Бетли).

Два состояния упругой ситемы:11– перемещение по направл. силы Р1 от действия силы Р1;Р112– перемещение по направл. силы Р1 от действия силы Р2;112121– перемещение по направл. силы Р2 от действия силы Р1;первое состояние22– перемещение по направл. силы Р2 от действия силы Р2.А12=Р112 – работа силы Р1 первого состояния на перемещении по ееР2направлению, вызванном силой Р2 второго состояния. Аналогично: А21=Р2211222– работа силы Р2 второго состояния на перемещении по ее направлению,вызванном силой Р1 первого состояния.

А12=А21 . Такой же результатвторое состояниеполучается при любом числе сил и моментов. Теорема о взаимности работ:Р112=Р221.Работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния,равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первогосостояния.Теорема о взаимности перемещений (теорема Максвелла) Если Р1=1 и Р2=1, то Р112=Р221, т.е. 12=21, вобщем случае mn=nm .Для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы,вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй единичной силы,вызванному первой силой.Универсальный метод определения перемещений (линейных и углов поворота) – метод Мора.

К системеприкладывают единичную обобщенную силу в точке, для которой ищется обобщенное перемещение. Еслиопределяется прогиб, то единичная сила представляет собой безразмерную сосредоточенную силу, еслиопределяется угол поворота, то – безразмерный единичный момент. В случае пространственной системыдействуют шесть компонентов внутренних усилий. Обобщенное перемещение определяется формулой(формула или интеграл Мора):Черта над М, Q и N указывает на то, что эти внутренние усилия вызваны действием единичной силы. Длявычисления входящих в формулу интегралов надо перемножить эпюры соответствующих усилий. Порядокопределения перемещения: 1) дляL M x M x dxL M y M y dxL M кр M кр dxзаданной (действительной или грузовой)ipppii mn   [ системы находят выражения Mn, Nn и Qn;EJ xEJ yGJ k0002) по направлению искомого перемещенияприкладывают соответствующую емуL Q x Q x dxL Q y Q y dx L N N dxippi piединичную силу (силу или момент); 3) kx  ky ]GFGFEF000определяют усилия M m ; N m ; Qm отдействия единичной силы; 4) найденныевыражения подставляют в интеграл Мора и интегрируют по заданным участкам.

Если полученное mn>0, топеремещение совпадает с выбранным направлением единичной силы, если <0, то противоположно. Дляплоской конструкции:19L mn   [ M i M p dsEJ0LN i N p dsEF0L kQi Q p dsGF0] . Обычно при определении перемещенийпренебрегают влиянием продольных деформаций и сдвигом, которые вызываются продольной N ипоперечной Q силами, учитываются только перемещения, вызываемые изгибом. Для плоской системыLбудет:  mn   M i M p dsEJ0.Вычисление интеграла Мора способом Верещагина. Интеграл M i M p dz для случая, когда эпюра отLзаданной нагрузки имеет произвольное очертание, а от единичной – прямолинейное удобно определятьграфо-аналитическим способом, предложенным Верещагиным. M i M p dz    y C , где  – площадьLСЭпюра МрЭпюраM iэпюры Мр от внешней нагрузки, yc– ордината эпюры от единичнойнагрузки под центром тяжести эпюры Мр.

Результат перемножения эпюрравен произведению площади одной из эпюр на ординату другой эпюры,взятой под центром тяжести площади первой эпюры. Ордината должнабыть обязательно взята из прямолинейной эпюры. Если обе эпюрыпрямолинейны, то ординату можно взять из любой.Перемещение:  iP  yc  yC. Вычисление по этой формулеEJпроизводится по участкам, на каждом из которых прямолинейная эпюра должна быть без переломов.Сложную эпюру Мр разбивают на простые геометрические фигуры, для которых легче определитькоординаты центров тяжести.

При перемножении двух эпюр, имеющих вид трапеций, удобно использоватьформулу:  yC abформула годится и длясоответствующую ординату =qLhMpxc=L/2треугольных эпюр, если подставить0.dcLL(2ac  2bd  ad  bc) . Эта же6При действии равномерно распределеннойнагрузки на шарнирно опертую балку эпюрастроится в виде выпуклой квадратичнойqL22hLпараболы, площадь которой  (для рис. h , т.е.382 qL2qL3L, хС=L/2).3 812Для "глухой" заделки при равномерно распределенной нагрузке имеемqLMphxcqL2hLвогнутую квадратичную параболу, для которой  ;h,231 qL2qL3L, хС=3L/4.

Тоже можно получить, если эпюру представить3 26разностью площади треугольника и площади выпуклой квадратичной параболы:1 qL2qL3 qL3L. "Отсутствующая" площадь считается2 2126отрицательной.Теорема Кастильяно.  P U– перемещение точки приложения обобщенной силы по направлению ееPдействия равно частной производной от потенциальной энергии по этой силе. Пренебрегая влиянием на20L2M dx, откуда2EJ0перемещение осевых и поперечных сил, имеем потенциальную энергию: U   M(s)ds M(s).EJPSP  Статически неопределимые системыСтатически неопределимые системы – системы, силовые факторы в элементах которых не могут бытьопределены только из уравнений равновесия твердого тела.