теория сопр (Шпоры), страница 3

Радиус инерции — i x Сxix1iyJx; iy FJyF;Jx=Fix2, Jy=Fiy2.Если Jx и Jy главные моменты инерции, то ix и iy — главные радиусы инерции.Эллипс, построенный на главных радиусах инерции как на полуосях,называется эллипсом инерции. При помощи эллипса инерции можно10графически найти радиус инерции ix1 для любой оси х1. Для этого надо провести касательную кэллипсу, параллельную оси х1, и измерить расстояние от этой оси до касательной.

Зная радиус инерции,2можно найти момент инерции сечения относительно оси х1: J x1  F  i x1 . Для сечений, имеющих болеедвух осей симметрии (например: круг, квадрат, кольцо и др.) осевые моменты инерции относительно всехцентральных осей равны между собой, Jxy=0, эллипс инерции обращается в круг инерции.Моменты сопротивления.Осевой момент сопротивления — отношение момента инерции относительно оси к расстоянию от нее донаиболее удаленной точки сечения. Wx Jx[см3, м3]y maxОсобенно важны моменты сопротивления относительно главных центральных осей:JyJx  R3Jxbh 2b2hпрямоугольник: Wx ; круг: Wx=Wy=,; Wy R4h/26b/263Jx  dHтрубчатое сечение (кольцо): Wx=Wy=(1   4 ) , где = dН/dB.dH / 232Полярный момент сопротивления — отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса донаиболее удаленной точки сечения: Wp Jp max.R3Для круга Wр=.2КручениеТакой вид деформации, при котором в поперечных сечениях возникает только одни крутящие моменты —Мк.

Знак крутящего момента Мк удобно определять по направлению внешнего момента. Если при взглядесо стороны сечения внешний момент направлен против час.стр., то Мк>0 (встречается и обратное правило).При кручении происходит поворот одного сечения относительно другого на угол закручивания -. Прикручении круглого бруса (вала) возникает напряженное состояние чистого сдвига (нормальные напряженияотсутствуют), возникают только касательные напряжения. Принимается, что сечения плоские дозакручивания остаются плоскими и после закручивания — закон плоских сечений.

Касательныенапряжения в точках сечения изменяются пропорционально расстоянию точек от оси. Из закона Гука присдвиге: =G, G — модуль сдвига,   LJpMk Mk, Wp — полярныйJpWpRмомент сопротивления круглого сечения. Касательные напряжения в центреравны нулю, чем дальше от центра, тем они больше. Угол закручиванияMkL Mk, GJp — жесткость сечения при кручении.   L GJ pGJ p—относительный угол закручивания. Потенциальная энергия при кручении:maxmax предMkM 2k L1U  Mk  [] , [] =. Условие прочности:  max , для22GJ pW[n ]пластичного материала за пред принимается предел текучести при сдвиге т, дляхрупкого материала – в – предел прочности, [n] – коэффициент запаса прочности.Условие жесткости при кручении: max[] – допустимый угол закручивания.Кручение бруса прямоугольного сеченияПри этом нарушается закон плоских сечений, сечения некруглой формы прикручении искривляются – депланация поперечного сечения.Эпюры касательных напряжений прямоугольного сечения.11 max MkLMk; , Jk и Wk — условно называют моментом инерции и моментом сопротивленияWkGJ kпри кручении.

Wk= hb2 ,Jk= hb3 , Максимальные касательные напряжения max будут посредине длинной стороны, напряжения посередине короткой стороны: = max, коэффициенты: ,, приводятся в справочниках в зависимости ототношения h/b (например, при h/b=2, =0,246; =0,229; =0,795.ИзгибПлоский (прямой) изгиб — когда изгибающий момент действует в плоскости, проходящей через одну изглавных центральных осей инерции сечения, т.е. все силы лежат в плоскости симметрии балки. Основныегипотезы (допущения): гипотеза о не надавливании продольных волокон: волокна, параллельные оси балки,испытывают деформацию растяжения – сжатия и не оказывают давления друг на друга в поперечномнаправлении; гипотеза плоских сечений: сечение балки, плоское до деформации, остается плоским инормальным к искривленной оси балки после деформации.

При плоском изгибе в общем случае возникаютвнутренние силовые факторы: продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М. N>0, еслипродольная сила растягивающая; при М>0 волокна сверху балки сжимаются, снизу растягиваются.M   ydF; Q    y dF; N   dF .FFFСлой, в котором отсутствуют удлинения, называется нейтральным слоем (осью, линией).

При N=0 и Q=0,М>0Q>0имеем случай чистого изгиба. Нормальные напряжения:  Ey,—радиус кривизны нейтрального слоя, y — расстояние от некотороговолокна до нейтрального слоя. Закон Гука при изгибе:My1M, откуда (формула Навье):  , Jx E  JxJx— момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскостиизгибающего момента, EJx — жесткость при изгибе,1— кривизна нейтрального слоя.Максимальные напряжения при изгибе возникают в точках, наиболее удаленных от нейтрального слоя:yxCCM  y maxM, Jx/ymax=Wx—момент сопротивления сечения при изгибе,  max .JxWxЕсли сечение не имеет горизонтальной оси симметрии, то эпюра нормальных напряжений не будет симметричной.

Нейтральная ось сечения проходит через центр тяжести сечения.Формулы для определения нормального напряжения для чистого изгиба приближенногодятся и когда Q0. Это случай поперечного изгиба. При поперечном изгибе, кромеизгибающего момента М, действует поперечная сила Q и в сечении возникают нетолько нормальные , но и касательные  напряжения. Касательные напряжениянейтр.осьmaxyx max maxнейтр.осьопределяются формулой Журавского:  ImaxQ  S x ( y), где Sx(y) — статический моментb( y)  J xотносительно нейтральной оси той части площади, которая расположена ниже или вышеслоя, отстоящего на расстоянии "y" от нейтральной оси; Jx — момент инерции всего поперечного сеченияотносительно нейтральной оси, b(y) — ширина сечения в слое, на котором определяются касательныенапряжения.xCmax3Q4Q, F=bh, для круглого сечения:  max ,2F3FQF=R2, для сечения любой формы  max  k ,FДля прямоугольного сечения:  max k— коэфф., зависящий от формы сечения (прямоугольник: k= 1,5; круг - k= 1,33).12Mmax и Qmax определяются изM RBPqэпюр изгибающих моментов искачок = RBBпоперечных сил.

Для этого балкаскачок = RA Aразрезается на две части искачок = Pрассматривается одна из них.Действие отброшенной частискачок = Mэпюра Qэкстремумзаменяетсявнутреннимисиловыми факторами М и Q,которыеопределяютсяизуравненийравновесия.Вэпюра Mнекоторых вузах момент М>0откладывается вниз, т.е. эпюра моментов строится на растянутых волокнах. При Q= 0 имеем экстремумRAэпюры моментов. Дифференциальные зависимости между М,Q и q:dMdQ Q; q;dzdzq — интенсивность распределенной нагрузки [кН/м]Главные напряжения при поперечном изгибе:2С2134 max min314Wx Расчет на прочность при изгибе: два условия прочности, относящиеся кразличным точкам балки: а) по нормальным напряжениям max касательным напряжениям   1 2  4 2 .2 2M max [] , (точки наиболее удаленные от С); б) поWxQ max  S max [] , (точки на нейтр.оси).

Из а) определяют размеры балки:b  JxM max, которые проверяют по б). В сечениях балок могут быть точки, где одновременно большие[]нормальные и большие касательные напряжения. Для этих точек находятся эквивалентные напряжения,которые не должны превышать допустимых. Условия прочности проверяются по различным теориямпрочности1 эквI  [   2  4 2 ]  [] ;2I-я:22II-я:  эквII  0,35  0,65[    4 ]  [](прикоэфф.Пуассона =0,3); — применяются редко. 2  4 2 ]  [] , IV-я:  эквIV   2  3 2 ]  [] ,[ ]1 m1 m 2  4 2 ]  [] ,теория Мора:  эквM m  P (используется для чугуна, у22[ C ]III-я:  эквIII которого допускаемое напряжение на растяжение [р][с] – на сжатие).Определение перемещений в балках при изгибеИмеем закон Гука при изгибе:х, М(х) — изгибающий момент в том же сечении, EJ — жесткость балки. ИзFyy, прогибxx, угол поворотасечения1M( x ), где (х) — радиус кривизны изогнутой оси балки в сечении( x ) E  J xd2y1M( x )dx 2высшейматематикиизвестно:—EJdy 2 3[1  ( ) ]dxdyдифференциальное уравнение изогнутой оси балки.— тангенс углаdxмежду осью х и касательной к изогнутой оси.