Ванько В.И.Элементы линейной алгебры.МГТУ 2002г (МУ - Элементы линейной алгебры), страница 9

указана последовательность действий, производимых над элементами пространства, например: поворот всех векторов на угол ф н растяжение н о раз) и указан в качестве основного базис (е), то матрицей оператора А называется квадратная матрица (квадратная так как А б Х( зг, Ъ')!), столбцы которой являются координатами векторов А(е) в указанном базисе. Очевидно, что если определено однозначное линейное преобразование и фиксирован базис, то матрица оператора определяется единственным образом.

Это следует из единственности представления вектора в данном базисе. Итак: у = Ах; если указан в Ъ' базис (е), то имеем матричную запись У = А Х, здесь А — матрица оператора. Теорема. Пусть в линейном пространстве Ъ" задан базис (е1,ег,..., е ); А=(ам) — квадРатнаЯматРица пхп. Тогда существует единственный линейный оператор А, матрицей которого (в заданном базисе) является матрица А: ам агг а1п А = а21 а22 .

а2п а„1 а„г ... а„„ '4 Эти числа а; свяжем с базисом(е) следующим образом: — + + ! ! е 1 — — а11 е 1 + а21 е г +... + а„! е „; + + ! — + е 2 = а12 е 1 + агг е г -~... ~- а 2 е „; ! ! = а1п Е ! ~. агп Е г + ...-!. аеп Е „. 72 Тогда, матрица А задает линейное преобразование (единственное!); е =еА.

Пусть в линейном пространстве Ъ' = Рс" фиксированы два базиса: (е) и (е'); известна линейнвл связь между векторами е' и е: — ! + е .=Р1 е1+Ргйег+...~-Р„! е„= рь е ь (2 = 1, и) =з е = е Р. я=1 (! е) Рассмотрим вектор х, который может быть записал как х = х1 е 1 + хг е 2 +... + х„е „вЂ” в базисе (е), ! — +' ! — +' х = х1 е 1 + хг е 2 +... + х'„е „вЂ” в базисе (е'). Это две записи одного и того же вектора, поэтому: — Ф х! е ! + хг е 2 +... + х„е „= ! — + ! — + ! — ! ! ! =х1е1+хгег+ +хне линейность преобразования А (оператора) вытекает нз ли нейности и однородности соотношений (е); если КйА = и, ! то построенная система векторов ( е 1, е 1,..., е „); также линейно независима н задает еще один базис (е') в пространстве Ъ".

М' Условимся записывать базисные векторы в виде матрицы-строки (как это и сделано выше). Тогда формулы (е) ! ! означают, что матрица-строка ( е 1, е 2, ..., е „); получена умножением матрицы е = ( е 1, е 2, ..., е „); на матрипу А справа: х1(Р11 е 1 + Р21 с 2 + Р31 е 3 + ° + Ра1 е э)+ +х2(Р12 е1+Р22 е 2+Р32 ез+ +Р«е э)+ ° ° ° ° ° ° + + х„(Р1„е 1+Рз„е 2+Рз„е 3+... +Р„„е „) =Ф ! ! ="э х1 = Р11*1+ Р12х2+ Р13хз + + Р1!!х«~ ! ! ! хэ = Р«1х1+ Р«зхз+ РаЗ*З + ° ° ° +Рааха =!-Э ==э ху = '~, Рь.хз~ хасэ Х = РХ'.

(«««) 3 Итак, если переход от старого базиса к новому определяется формулой (««), то старые координаты через новые выражаются формулой («««): е! = еР =~ Х = РХ'. (6.1) Если матрица преобразования базисов невырожденная (бе1 Р ф 0)! то умножением соотношений (6.1) на матрицу Р 1 (первое равенство умножаем справа, второе — слева) получим обратные преобразования: е = е'Р 1 =~ Х' = Р 1Х. (6.2) Пусть А — матрица линейного оператора (преобразования) в базисе (е); в этом же линейном пространстве задан еще один базис, отличный от (е), и известна невырожденная матрица перехода Р от (е) к (е'): е' = еР.

Найдем матрицу того же оператора в новом базисе (е'). Над векторами производятся некоторые действия, предписанные смыслом оператора А; если смотреть на происходящее из базиса (е), то операции над векторами описываются матрицей А; как вычислить матрицу того же оператора при наблюдении из базиса (е')? В базисе (е) — А: х;! у =э У = АХ; в базисе (е') — А: х — у =з У = А'Х'. 74 Известны матрипы Р и А: е'=еР=е Х=РХ', У=РУ' =з Х' = Р 1Х, У' = Р 1У; У' = АХ' =э Р 1У = АР 1Х =э Р 1АХ = АР 1Х =з =~ Р 1АХ вЂ” А Р 1Х = О =э (Р 1А — А Р 1)Х = О. Так как полученное матричное равенство выполняется для произвольных векторов пространства жх ~ О (Х Ф О), то Р 1А — АР 1=0=; А'=Р 1АР.

(6.3) В курсах линейной алгебры доказывается следующее утверждение. Теорема. Пусть А и  — линейные операторы в ЦЪ~, Ч); (е) = ( е 1, е 2,..., е „) базис в Ч, а — число. Паиным линейным операторам соответствуют матрицы А и В. Тогда в этом базисе матрица оператора (А + В) есть А+ В; матрица оператора (аА) есть оА; матрица оператора (ВА) есть произведение матриц В А.

6.4. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора А 6 1(Н«, Н.") Определение. Число Л называется собственным значением (собственным числом) оператора А, если существует х Ф О: (6.4) При этом вектор х называется собственным вектором оператора А. Пусть А — матрица линейного оператора А е ЦН,", 8.") в базисе (е); А = А„„э. Тогда А х = Л х =~ АХ = ЛХ =э АХ = Л.ЕХ =: =э АХ вЂ” ЛВХ = (А — ЛЮ)Х = О, (6.5) с)е1(А — ЛЕ) = О =р (а11 — Л) агз (а21 (а22 Л) « ° аз» а„2 ... (а„„вЂ” Л) р+1 А~~~1 а; х; = О) =р р+1 — > Лр+1 ~ а> х > = 0 .

1 (хх) (а11 — Л1)х1 +... + а1„х„= 0; аа1х1 + . + (а„„ — Л1)х„ = О, Запишем матричное равенство (6,5) в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно компонент собственного вектора х = (х1, х2, ..., х„): (аы — Л)х1+ а12хз +... + а1„х„= 0; амх1 + (а22 — Л)хз +... + аз„ха = 0; а„1х1 + аазхг + + (аа > — Л)х„= О. Полученная однородная система имеет тривиальное решение, но задача состоит в том, чтобы найти х 1 = (хы х2> хэ>, х») ~ О.

Поэтому нужно найти параметры Л (собственные числа), при которых определитель системы обращается в нуль: = (агг — Л) (а22 — Л) ... (а„„вЂ” Л) +... + бес А = = (-1)"Л" + А1Л" 1+... + 11е1 А = О. Левы часть' полученного алгебраического уравнения и-ной степени называется характеристическим многочленом матрицы А рассматриваемого линейного оператора. Согласно следствию из основной теоремы алгебры (теоремы Гаусса), имеется и корней характеристического уравнения.

Пусть один из корней Л = Л1 — собственное число. Подставим это значение в систему: ОтСЮда: Х 1 = (Х, Х,..., Ха ) — СОбетВЕННЫй ВЕКтОр, (1) (1) (1) соответствующий собственному числу Л1. Будем говорить, что собственный вектор х 1> принадлежит собственному чи- слу Ль., Собственные значения и собственные векторы обладают следуюптями свойствами. 1. Собственные векторы, принадлежа1пие различным (неравным) собственным числам, линейно независимы. х 4 Пусть числу Л1 соответствует х 1 ф О, Один не- нулевой вектор представляет линейно независимую систему. Пусть Л1, Л2, ..., Лр — неравные собственные числа, а принадлежащие им собственные векторы х1, х 2, ..., хр образуют линейно независимую систему.

Покажем, что присоединение к этой системе еще одно- го собственного вектора х р+1, принадлежащего собствен- ному числу Лр+1, неравному ни одному из указанных выше собственных чисел, оставляет систему собственных векторов линейно независимой. > Ф х Попустим, что х 1, х 2,..., х „х р+1 — линеино завир+1 симах система, т.е. 1 ' а, х; = 0(а, ~ 0); >=1 1 р+1 Π— ~, а,Л,х;= О.

(.) 1 1 'Умножим исходную сумму на р + 1-е собственное число: Вычитаем (хх) из равенства (*): р+1 р+1 а;Л; х; — Ар+1 ~~1 а; х; = О =: ~ (Л; — Лр+1)а; х; = 1 1 (Л! Лр+1)а1 х ! + (Лг Лр+1)аг х г +, + Ф -+ +(Лр — Ар+1)ар х р + (Ар+1 — Ар+1)ар+1 х р+1 = с.'1 Так как последнее слагаемое в полученном векторном тождестве равно нулю, система векторов х1, хг,..., хр — оказывается линейно зависимой, что противоречит нашему допущению. Ь 2, Пусть А и А' — матрицы линейного оператора А в базисах (е) я (е') (е' = еР). Согласно (6.3), А' = Р ' А Р.

Имеем: 4еэ(А' — ЛЕ) = с!ес(Р 1А Р— Л(Р 1Р)Е) = = с!ес(Р 1А Р— Р 1(ЛЕ)Р) = с!е1(Р 1(А — ЛЕ)Р) = = с!ес(Р 1) с!ес(А — ЛЕ) с!е1 Р = с!еС(А — ЛЕ) 1, равен нулю; при этом свободный член характеристического полннома равен нулю: Л = 0 С=» с!ес А = О. 5. Матрица оператора А в данном базисе имеет диагональный вид тогда и только тогда, если все векторы базиса (в котором вычисляется матрица) являются собственными векторами матрицы оператора,. Итак, пусть собственные векторы х1, х г, ..., *„ принадлежат неравным собственным числам Л1, Лг,..., Л„.

Так как при этом собственные векторы линейно независимы и их количество равно размерности пространства, то система ( х 1, х г, ..., х „) образует в К" базис: (х1,..., х„)=(е1, ег,..., е„). В силу определения собственных векторов /формула (6.4)/, закон преобразования базиса в результате воздействия оператора А таков: так как с!ес(Р 1) с!ес Р = 1. Таким образом; с!ес(А' — ЛЕ) = бе1(А — ЛЕ). (6,6) Характеристический многочлен является инварнантом линейного преобразования! 3. Пусть Л* — корень характеристического уравнения, кратности з.

Тогда этому собственному числу принадлежат не более з линейно независимых собственных векторов (принимаем это утверждение без доказательства). 4. Линейный оператор имеет собственное значение, равное нулю, тогда и только тогда, если соответствующее ему (т.е. линейному оператору) линейное преобразование «ел«- ется вырожденным, т.е. когда определитель его матрицы Отсюда координаты нового (преобразованного) базиса в старом (исходном): -', =(Л,,О,О,...,О); е г — — (О, Лг, ...,О)! ...' е и = (О~ . Лв) Тогда: л, о ...

о А ОЛг",0 0 0 ... Асс Мы доказали достаточность: если за базисные векторы принять собственные векторы линейного оператора, матрица. данного оператора будет диагональной, Легко доказывается и обратное предложение: если рас- смотреть произвольную диагональну2о матрицу с неравными отличными от нуля элементами ка главной диагонали, то строится линейное преобразовал ие пространства в ггбя - оператор, для которого диагоналы ые элементы будут его собственными числами. Ь Локажем теперь следующее утверждение: если А матрица оператора А в произвольном базисе 1е) = ( е ы ..., е~„), то существует невырожденная матрица Р: Р 1А Р = йаи — диагональная матрипа.

'й Лействительно, пусть найдены собственные векторы х 1,..., х „, принадлежащие неравным. собственным числам Л1, ..., А„; система собственных векторов образует базис (так как они между собой линейно независимы); каждый из собственных векторов выражается через векторы исходного базиса в виде Это есть матрица перехода от старого базиса (е) к новому (хГ, построенному на собственных векторах. Очевидно, существует обратная матрица Р ' (почему — очевидно?). Таким образом, х = еР. В силу формулы (6.3) А' = Р 1А Р. Так как базис (х) построен на собственных векторах, матрица А' — диагональная: А' = Р 'А Р = 61аи.

1 Ладное утверждение можно доказать и для случая, когда среди корней характеристического многочлеиа имеются кратные корни. 6.5. Линейные операторы в евилидовом пространстве. Самосопряжеииый оператор Наличие в евклндовом пространстве скалярного произведения позволяет выделить весьма важный для приложений класс операторов нз множества Ь(Гс", В."). Рассмотрим действительное евклидово пространство; оператор А б Х(Е"', Е"). Линейный оператор А" называется сопряженным к данному линейному оператору А, если Ч х, у б Е", то для скалярных произведений выполняется равенство (.!х) у = х (А'у).