Ванько В.И.Элементы линейной алгебры.МГТУ 2002г (МУ - Элементы линейной алгебры), страница 10

Рассмотрим матрицу ры р1г " р2 Р = Р21 Ргг . Ргп Рз1 Рзг Риз 81 ВО > Ф х 1 = Рг1 е 1 + Р21 с 1 + ... + Р„1 е „; ...; х „ = = р1„ е 1 + рг„ е 2 + ... + р„„ е „. Принимаем без доказательства следующее утверждение. Теорема. Лля любого линейного оператора А с ЦЕа, Е") сушествует единственный сопряженный оператор А'.

Вычислим скалярное произведение тх у; пусть Г— матрица Грама. Тогда у =Х ГУ=УтГХ. Если базис 1е) — ортонормированный, то Г = Е: х у = ХтУ = У2Х. Выясняем связь между матрицами операторов А н А* в об- гцем базисе 1е): (А ) У = т (А* у ) =~ (АХ)тГу = ХтГ(А*~ ) з ХтАтГУ ХтГА*У ~ ХтАтГУ Хг1.АЯУ => Х"(Аà — ГА*)У = О, Полученное матричное равенство выполняется для любых х, и Е Е", поэтому А" Г = ГА* =~ А' = Г 1АтГ Пусть (е1 — ОНБ, тогда Г-Š— А*-Ат Следовательно, чтобы получить матрицу сопряженного к данному оператора А', нужно транспонировать матрнпу исходного оператора, если она вычислена в ортонормированном базисе.

Определение. Линейные операторы А Е Х(Е", Е") называются самосопряженными, если (А т ) ду = ~+(А ~') т.е. это операторы, равные своим сопряженным: А = А'. Следовательно, в ортонормированном базисе выполняется матричное равенство; А = А" = Ат поэтому матрица ) самосопряженного оператора симметрична: а ;у — — о~, . Собственные значения и собственные векторы само- сопряженных операторов обладают рядом замечательных свойств (рассмотрение ведется в ортонормнрованном базисе1).

1. Все корни характеристического многочлена — действительные числа (элементы матрицы оператора — действительные числа, так как мы рассматриваем действительное евклидово пространство), 4 доказательство строим ат противного: предположим, что уравнение це1(А — Лтс) = О имеет комплексный корень Ло. Тогда для определения принадлежапгего ему собственного вектора имеем систему линейных алгебраических уравнений с комплексной матрнцей: (А — Лек)Х =- О.

Отсюда следует, чго собственный вектор йс имеет комплексные компоненгы. В силу "соб< гвенности" вектора к „ Лиц =Лехе. Умножим скалярпо зто векторное равенство на вектор к о, координаты которого являются числами, сопряженными к комплексным компонентам вектора х е. хо. (А-к+о) = х е Лот~а =~ Хе А Ха = ЛоХ Хе (*) — т где Хо Хе - действительное число, та,к как произведение комплексно-сопряженных чисел есть цейс гввтельное число. Рассмотрим произведение матриц в левой части равенства (е): = Х„'АХ,.

Правая часть (**) есть скалярное произведение, т.е. число, или матрица размером 1 х !. Па мы рассматриваем выра; жение (**) как матричное равенство, к которому применяем операцию транспонирования: = (Хо АХе) =~'" = Хо А (Хо|) = "оА Хо. В силу симметричности матрицы А: "е А ХО = Хе АХО. 83 Так как ь~ — число, ь~ ю =ХоАХо Применяем к этому равенству операцию комплексного сопря- жения,(а+ зЬ = а — ЬЬ): с~ = Хо АХе = Хо 4 Хо = Хо АХо (А = А, так как все элементы матрицы А — действительные числа, а з = з). Сравним только что полученное выражение и соотношение (я*): Р = м — это значит, что ы - действительное число.

Поэтому — т — т Ле = (Хо АХс)/(Хс Хс) — также число действительное. Ь 2, Собственные векторы, принадлежащие неравным собственным числам, ортогоналъны. ее Пусть Л ф р — собственные числа, жх, у — принадлежащие им собственные векторы: Аюх=Лх, Умножаем скалярно первое равенство на вектор у, второе — на вектор х; вычитаем из первого результата второй: (Ах) Ру=(Лх) Уу,(АУу) х =(ду) х =: =~ 0 = (Л вЂ ,и)( х у ) =~ х у = 0 =~ х 1.

7у . ' (АУ) = (Ау) и — в силу само- сопряженности оператора и коммутативности скалярного произведения/. Ь' Определение. Линейный оператор А б .ь(Е", Е") называется ортогональным, если Ч х, Уу б Е~ =~ (Азх) ° (АУу) = х уг. По определению, ортогональкый оператор сохраняет скалярное произведение и, следовательно, сохраняет длины векторов и углы между ними. Если А — ортогональный оператор к А" — сопряженный к нему, то х Уу (Ажх) (Ару) = х (А~АУу) => =э А'А = 1 =з А' = А В курсах линейной алгебры доказывается, что матричное равенство А' = А 1 есть необходимое и достаточное условие ортогональности оператора А. Отсюда видно, что ортогональный оператор является невырожденным, Выясним некоторые полезные свойства матрицы ортогонального оператора. Пусть А = (а; ) — матрица ортогонального оператора в ОНБ, Так как под действием ортогонального оператора ортонормированный базис переходит в ортонормированный, то образы А е 1, А е ы ..., А е „базисных векторов е ы е з, ..., е „сами образуют ортонормированный базис.

Значит, (О, если 1ф.у; (Ае,) (Ае~)=~ т.е. а1;а1 + аз;азу+... + а„;а„у — — О при з Ф 2' а1. + а~~ +... + а„, = 1 при 4 =,1'. Таким образом, столбпы матрицы А, рассматриваемые как векторы, сами образуют ортогональную систему. Это же утверждение верно и для строк. Кроме того, в ОНБ имеем 4э Ат Матрица А, для которой Ат = А 1, называется ортогональной.

Из определения ортогонального оператора и свойств его матрицы ясно, что матрица данного оператора является ортогональной. 85 7. КВАЛРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 7,1. Определения. Матрица квадратичном формы Квадратичной формон называется скалярная функция Оз П ПЕРЕМЕПНЫХ Х1, Хг,, Хп, РаВНаЯ СУММЕ КВаДРатИЧНЫХ ~ланов хг х;х (1, 7' = 1, 2... и), взятых с некоторыми действительпымн коэффициентами: 1(Х1, Х2, ..., Хп) = ~~' а11Х1Ху— = а11Х1+ аггХг + а12Х1Хг + а21Х2Х1+ + а Хп = 2 2 = а1171+ 0,5(азг + а21)хгхг + 0,5(агг + аг1)хгх1+ и и~1Х1 + а12Х1Хг + а13Х1ХЗ + а~14Х1Х1+... + а1ПХ1Х„+ +а21Х2Х1+ а22Х2 + агзи2ХЗ + + агпи2ХП+ +а31ХЗХ1+ азглзяг + агзХЗ +... + аз ХЗХп+ + + 2 +ап1ипХ1+ ап2Хпя2 + апзяпХЗ + ° ° + аппХп. 'здесь а," = а'; = 0,5(а, + а,). Проделав такое тождественное преобразование квадратичной формы, рассмотрим квадратную матрицу: ам азг а1З азп Л = а21 а22 агз .

. агп п1 п2 п3 Расположим переменные х1, хг,..., хп в виде матрипыстолбца: 31 = (Х1 Х2 Хз 1 Хп) = дХ1, Хг,, Хп) = ХТА Х (чтОбы убедиться в этОм, достаточно вспомнит1; матрнчпу1о запись скалярного произведения! ) Итак мы получили матричное препггаиление квадратичной формы. Выясним, как преобразуется матрица квадратичной формы при переходе к новому базису. Пусть (х1, хг, ..., х„) — ксн>рди наты пек гора х в евклицовом пространстве Еп с ортонормированпмм базисом (е).

Поставим в соответствие маз рип< А квгзпратнчной 1(нзрмы 7" линейный оператор А. Так квк матрица формы )'- квадратная, оператор А Е ЦЕ", Еп); оператор А — само- сопряженный, так как его матрнпа симметрична. В силу матрн 1ного представления квадратичной формы: У(х1зхг .,Гп)=й 4Л = *.(.4х)=(Ах) х, (7А) Пусть определено невырожденнос преобразование бази- с~=сР=ьХ=РХ.

(*) Квадратичная форма скалярная функция, значения которой мы вычигляем н двух базисах: Дх) = ХТАХ = Х".-~'Х'. Учитывая (*), получаем: гс РТАР (7.2) 86 87 Матрица А называется матридей квадратичной формы у. Очевидно, матрица квадратичной формы — симметрическая: а* = а*, т.е. А = А'. 11 11' Таким образом, любой квадратичной форме можно поставить в соответствие симметрическую матрицу. Х(х) = Х7'А Х = (РХ')ТА(7 Х") = Х'ГЛ'Х' => Х1ГРт 4 Р Х~ ХI7 (Р7' ~ Р) Х! Х!г ~1Х1 Отсюда форь1ула преобразования матрнны Эта матрица также симметрическая: 4! . 4(т (рт 4Р)т ртАтр ртА р» 4!т Определение. Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы: Нб~ = ВлА.

В курсах линейной алгебры доказано следуюшее утверждение, Теорема, Если ВкВихх = а, ВВСахт (либо Сххх) = =т(т<и),то Вд(ВС) = т, В таком представлении некоторые из коэффициентов йьь могут оказаться равными нулю. Тес>рема, Число отличных от нуля коэффициентов ййй (в каноническом представлении квадратичной форлгы) равно рангу квадратичной формы. чй Итак, преобразование Р приводи г ~' к каноническому виду.; и!эи этом ее матрица стыгови !ся,!иа!'оиа!!ы!ой; 6!! О О т,е. если перемножаются две матрицы, из которых одна — квадратная невырожденная, то ранг их произведения равен наименьшему из рангов сомножителей.

В разд. 5 ("Несовместные системы") рассмотрен простейший случай этого утверждения. Теорема (о ранге квадратичной формы). Ранг квадратичной формы не изменяется при выполнении линейного кевырожденного преобразования. 'и( Пусть ПкА = т, т.е, В,й~ = т; Р— матрица, невырожпенного преобразования базиса: ' = е р — » ИВА' = В,я(Р~АР) = ПВ((ртА)Р) = т Ь' Определение, Каноническим видом квадратичной формы называется ее представление (в некоторой системе координат, может быть, отличной от исходной) в виде суммы квадратов переменных: у = ь„уз+ ь22уз+ ...

+ ь„„у„. 2 2 Пусть некоторым невырожденным преобразованием Р удалось привести исходную квадратичную форму к каноническому виду: Р: (аыхг2+ ...+ а„„х„) -+ (йыу! +. + з У ) ВВ По теореме о раны квадратичной формы Пкй' = ВлА; рзлг диагональной мил рицы равен количеству отличных от нуля ее диагональных элементов.