Сводные характеристики выборки для партии материала

3. Сводные характеристики выборки для партии материала.

Доверительные интервалы

Для исследователя важно знать точность и надежность оценки каждого определенного параметра, представления о которых дают доверительные интервалы.

Односторонним доверительным интервалом называют интервал от Х- ε  до неизвестного параметра или от неизвестного параметра до Х+ ε, который устанавливает либо нижнюю, либо верхнюю границу неизвестного параметра с заданной доверительной вероятностью Р_д.

Двусторонним доверительным интервалом называют интервал от Х- ε  до Х+ε, который покрывает неизвестный параметр распределения с заданной доверительной вероятностью Р_д.

Доверительная ошибка ε  характеризует случайную ошибку параметра  распределения. Чем меньше значение ε   тем больше точность оценки  Х.

Доверительной вероятностью Р_д или надежностью, соответствующей данному доверительному интервалу, называется вероятность того, что истинное значение многих числовых характеристик Х  лежит в этом интервале.

Величина, равная  a = 1 - Р_д называется  уровнем значимости и иногда выражается в %. Она характеризует вероятность событий, условно принимаемые за невероятные.

Рекомендуемые материалы

Для контроля качества продукции доверительную вероятность Р_д принимают равной 0,95 – 0,99.

Доверительный интервал ограничен нижней и верхней доверительными границами, в его пределах с некоторой вероятностью находится сводная характеристика.

Доверительные интервалы для среднего значения.

Для односторонней границы:

Нижняя граница:                                                        (12)

Верхняя граница:                                            (13)

Для двусторонних границ:

Нижняя граница:                                                                  (14)

Верхняя граница:                                                       (15)

где  t₁ и t - квантили распределения Стьюдента при доверительной вероятности   g  = 0,95,  значения которых приведены  в таблице 3.   

Таблица 3

В программе Excel доверительные интервалы рассчитываются с помощью функции ДОВЕРИТ (рис.  17). Она возвращает значение, с помощью которого можно определить доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности. Доверительный интервал представляет собой диапазон значений. Выборочное среднее x является серединой этого диапазона, следовательно, доверительный интервал определяется как (x ± ДОВЕРИТ).

Рис. 17. Функция ДОВЕРИТ

ДОВЕРИТ(альфа; станд_откл; размер)

Альфа — это уровень значимости, используемый для вычисления уровня надежности. Уровень надежности равняется (1 - альфа)^.100%, или, другими словами, альфа равное 0,05 означает 95-процентный уровень надежности.

Станд_откл — это стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение) генеральной совокупности для интервала данных, оно предполагается известным.

Размер — это размер выборки.

Если какой-либо из аргументов не является числом, то функция ДОВЕРИТ возвращает значение ошибки #ЗНАЧ!.

Если альфа  ≤ 0 или альфа  ≥  1, то функция ДОВЕРИТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!

Если станд_откл ≤ 0, то функция ДОВЕРИТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

Если размер не целое, то оно округляется.

Если размер < 1, то функция ДОВЕРИТ возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.

Доверительные интервалы для среднего квадратического отклонения.

определяются по следующим формулам, если число испытаний n<100:

                                                                                                        (16)

                                                                                                                  (17)

где S – среднее квадратическое отклонение.

Значения Z_н  и    Z_в   определяются с помощью табл.4.

При числе испытаний К=n-1 >100 значения  Z_н  и Z_в вычисляют по формулам:

                                                                                                   (18)

                                                                                          (19)

где U = t₁ при n=∞ – квантиль распределения Стьюдента при доверительной вероятности Р_д=0,95.

Доверительные интервалы для коэффициента вариации.

                                                                                                     (20)

                                                                                                      (21)

где С – коэффициент вариации.

Значения К_н и К_в приведены в таблице 4.

 Таблица 4