Метод Эйлера

Метод Эйлера.

(Леонард Эйлер (1707 – 1783) швейцарский математик )

            Известно, что уравнение  задает в некоторой области поле направлений. Решение этого уравнения с некоторыми начальными условиями дает кривую, которая касается поля направлений в любой точке.

            Если взять последовательность точек х₀, х₁, х₂, …. и заменить на получившихся отрезках интегральную кривую на отрезки касательных к ней, то получим ломаную линию. 

                                                       y

                                                                         M₂

                                                                  M₁                             M₃

                                                           M₀

                                                       y₀                                               M₄

Рекомендуемые материалы

                                                        0    x₀   x₁   x₂     x₃     x₄           x

            При подстановке заданных начальных условий (х₀, у₀) в дифференциальное уравнение получаем угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в начальной точке

            Заменив на отрезке [x₀, x₁] интегральную кривую на касательную к ней, получаем значение

            Производя аналогичную операцию для отрезка [x₁, x₂], получаем:

            Продолжая подобные действия далее, получаем ломаную кривую, которая называется ломаной Эйлера.

            Можно записать общую формулу вычислений:

            Если последовательность точек х_i выбрать так, чтобы они отстояли друг от друга на одинаковое расстояние h, называемое шагом вычисления, то получаем формулу:

Следует отметить, что точность метода Эйлера относительно невысока. Увеличить точность можно, конечно, уменьшив шаг вычислений, однако, это приведет к усложнению расчетов. Поэтому на практике применяется так называемый уточненный метод Эйлера или формула пересчета.

Суть метода состоит в том, что в формуле  вместо значения

 берется среднее арифметическое значений f(x₀, y₀) и f(x₁, y₁). Тогда уточненное значение:

            Затем находится значение производной в точке . Заменяя f(x₀, y₀) средним арифметическим значений f(x₀, y₀) и , находят второе уточненное значение у₁.

Если Вам понравилась эта лекция, то понравится и эта - 11 Российская государственность 1907 - 1917 г..

            Затем третье:

и т.д. пока два последовательных уточненных значения не совпадут в пределах заданной степени точности. Тогда это значение принимается за ординату точки М₁ ломаной Эйлера.

            Аналогичная операция производится для остальных значений у.

Подобное уточнение позволяет существенно повысить точность результата.

            При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая решает любое дифференциальное уравнение первого порядка методом Эйлера и уточненным методом Эйлера. На каждом шаге вычислений подробно выводятся все указанные выше значения.