Доказать теорему Абеля для степенных рядов (в комплексной плоскости)
Доказать теорему Абеля для степенных рядов (в комплексной плоскости)
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке
, то он абсолютно сходится в круге
. Если степенной ряд
расходится в точке
, то он расходится во внешности круга
.
Доказательство (аналогично случаю действительной переменной).
1) Пусть ряд сходится в точке и
.
Так как ряд сходится в точке , то по необходимому признаку сходимости ряда
.
Тогда .
"4 Вынос в натуру проектных отметок" - тут тоже много полезного для Вас.
Исследуем степенной ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд из модулей членов ряда. Оценим общий член ряда из модулей.
.
Ряд из модулей исходного ряда сходится по первому признаку сравнения числовых рядов (ряд сравнения – сходящаяся бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ). Следовательно, исходный ряд в области
сходится абсолютно.
Замечание. Казалось бы, что из признака Вейерштрасса в области следует равномерная сходимость исходного ряда, но здесь
, а в признаке Вейерштрасса требуется указать один мажорирующий ряд для всех точек
рассматриваемой области, то есть
не должно зависеть от
. Поэтому равномерную сходимость ряда в области
утверждать нельзя. Однако если взять
(
не зависит от
), то в области
степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса.
2) Пусть ряд расходится в точке и
.
Если ряд сходится в точке , то по доказанному в пункте 1), он должен абсолютно сходиться в точке
, следовательно, сходиться в точке
. Это противоречит тому, что исходный ряд расходится в точке
, следовательно исходный ряд расходится в области
.