Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования
Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования
Определение 1.26 Квадратная невырожденная матрица называется ортогональной, если обратная к ней совпадает с транспонированной.
Роль ортогональных матриц в теории евклидовых пространств проясняет следующая теорема:
Теорема 1.15 Матрица ортогональна тогда и только тогда, когда она является матрицей перехода от одного ортонорма некоторого евклидова пространства к другому.
Доказательство. Пусть - ортогональная матрица
-ого порядка. Докажем, что ее столбцы образуют ортонормированный базис в
.
Вычислим скалярное произведение -ого столбца на
-ый:
,
так как транспонированный -ый столбец есть
-ая строка транспонированной матрицы, совпадающей с обратной.
Рассматривая столбцы матрицы как столбцы координат в каноническом базисе, получим, что матрица
есть матрица перехода от одного ортонорма (канонического базиса) в
к другому (состоящему из столбцов данной матрицы).
Рекомендуемые материалы
Обратно, пусть и
- два ортонорма в
-мерном евклидовом пространстве, причем
.
Вычислим матрицу Грама для базиса (см. п.1.6):
,
так как матрица Грама любого ортонорма единичная. Отсюда, поскольку матрица , как матрица перехода, обратима,
.
Теорема доказана.
Определение 1.27 Линейный оператор, действующий в конечномерном евклидовом пространстве, называется ортогональным, если он задается (в каком-то ортонорме) ортогональной матрицей.
Таким образом, по определению, оператор ортогонален, если в некотором ортонорме
он задан ортогональной матрицей:
,
где
.
Легко доказать, что в любом ортонорме матрица ортогонального оператора ортогональна.
В самом деле, если ортонорм , то поскольку матрица
ортогональна (теорема 1.15), то
Точно так же доказывается, что
Из доказанного сразу ( с учетом утверждения (6) теоремы 1.5 и следствия 1.4) вытекает:
Утверждение 1.21 Ортогональный оператор обратим, причем обратный к нему совпадает с сопряженным.
Теорема 1.16 Следующие условия равносильны:
1) - ортогональный оператор,
2) для любых векторов
3) .
Доказательство. Из условия (1) следует условие (3) (утверждение 1.21), а из этого последнего - условие (2):
Осталось доказать, что из (2) следует (1). Для этого докажем, что матрица(в произвольном ортонорме) оператора
, сохраняющего скалярное произведение, обратима. Вычислим ядро оператора
. Пусть для ненулевого вектора
. Тогда
, что невозможно. Итак,
, т.е. из
следует
. Это значит, что система
имеет только нулевое решение, откуда (первый семестр!)
, т.е. матрица
обратима. Тогда из условия сохранения скалярного произведения получим:
Так как это имеет место для любых векторов , то
, а так как матрица
обратима, то
, и оператор
является ортогональным.
Теорема доказана.
Замечание. Доказав тривиальность ядра оператора , мы могли бы также сослаться на утверждение 1.7, замечания, сделанные в конце п. 1.8, и на утверждение (6) теоремы 1.5.
В силу этой теоремы можно ортогональный оператор определить как оператор, сохраняющий скалярное произведение, или как оператор, у которого обратный совпадает с сопряженным.
Отсюда, в частности, следует, что самосопряженный ортогональный оператор обратен себе самому.
Ортогональные операторы (их называют также ортогональными преобразованиями) играют в линейной алгебре и ее приложениях очень важную роль. В заключение этого пункта мы дадим характеристику всех ортогональных матриц второго порядка.
Пусть матрица
ортогональна. Тогда должно выполняться:
Первая строчка из написанных трех следует из того, что столбцы ортогональной матрицы ортонормированны; вторая и третья - из условия равенства обратной и транспонированной матриц.
Из первых двух строк получаем:
1 случай: .
При получаем матрицу
,
причем , т.е., вся совокупность матриц в этом случае описывается так:
(1)
Если же , то поскольку
, мы можем положить
для некоторого .
Матрица может быть тогда записана в виде:
(2)
2 случай: .
При получаем снова матрицу вида (1).
При аналогично предыдущему придем к матрице:
(3)
Остановимся на геометрической интерпретации выведенных матриц.
Матрица вида (1) есть либо матрица тождественного преобразования плоскости (точнее, множества геометрических векторов, лежащих в некоторой плоскости), либо «отражения» одной из осей, либо одновременного отражения обеих осей - поворота на 180°).
Матрица вида (2) есть матрица поворота на угол с последующим отражением одной из осей.
28 Мутанты и киборги постмодерна - лекция, которая пользуется популярностью у тех, кто читал эту лекцию.
Матрица (3) есть классическая матрица поворота на угол . Обратная к ней матрица
есть, естественно, матрица поворота на угол .
В частности, если , то матрица
является обратной к себе самой.