Ряды с комплексными членами
Ряды с комплексными членами.
19.3.1. Числовые ряды с комплексными членами. Все основные определения сходимости, свойства сходящихся рядов, признаки сходимости для комплексных рядов ничем не отличаются от действительного случая.
19.3.1.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность комплексных чисел . Действительную часть числа
будем обозначать
, мнимую -
(т.е.
.
Числовой ряд - запись вида .
Частичные суммы ряда:
Определение. Если существует предел S последовательности частичных сумм ряда при , являющийся собственным комплексным числом, то говорят, что ряд сходится; число S называют суммой ряда и пишут
или
.
Найдём действительные и мнимые части частичных сумм: , где символами
и
обозначены действительная и мнимая части частичной суммы. Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходятся последовательности, составленные из её действительной и мнимой частей. Таким образом, ряд с комплексными членами сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды, образованные его действительной и мнимой частями.
Пример. Исследовать на сходимость ряд .
Выпишем несколько значений выражения :
дальше значения периодически повторяются. Ряд из действительных частей:
; ряд из мнимых частей
; оба ряда сходятся (условно), поэтому исходный ряд сходится.
Рекомендуемые материалы
19.3.1.2. Абсолютная сходимость.
Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
, составленный из абсолютных величин его членов.
Так же, как и для числовых действительных рядов с произвольными членами, можно доказать, что если сходится ряд , то обязательно сходится ряд
. Если ряд
сходится, а ряд
расходится, то ряд
называется условно сходящимся.
Ряд - ряд с неотрицательными членами, поэтому для исследования его сходимости можно применять все известные признаки ( от теорем сравнения до интегрального признака Коши).
Пример. Исследовать на сходимость ряд .
Составим ряд из модулей ():
. Этот ряд сходится (признак Коши
), поэтому исходный ряд сходится абсолютно.
19.1.3.4. Свойства сходящихся рядов. Для сходящихся рядов c комплексными членами справедливы все свойства рядов с действительными членами:
Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при .
Если сходится ряд , то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.
Если ряд сходится, то сумма его остатка после n-го члена стремится к нулю при .
Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.
Сходящиеся ряды (А) и (В) можно почленно складывать и вычитать; полученный ряд тоже будет сходиться, и его сумма равна .
Если члены сходящегося ряда сгруппировать произвольным образом и составить новый ряд из сумм членов в каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.
Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется.
Если ряды (А) и (В) сходятся абсолютно к своим сумма и
, то их произведение при произвольном порядке членов тоже сходится абсолютно, и его сумма равна
.
19.3.2. Степенные комплексные ряды.
Определение. Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида
,
где - постоянные комплексные числа (коэффициенты ряда),
- фиксированное комплексное число (центр круга сходимости). Для любого численного значения z ряд превращается в числовой ряд с комплексными членами, сходящийся или расходящийся. Если ряд сходится в точке z, то эта точка называется точкой сходимости ряда. Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку
. Совокупность точек сходимости называется областью сходимости ряда.
Как и для степенного ряда с действительными членами, все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то
1. он абсолютно сходится в любой точке круга ;
2. Если этот ряд расходится в точке , то он расходится в любой точке z, удовлетворяющей неравенству
(т.е. находящейся дальше от точки
, чем
).
Доказательство дословно повторяет доказательство раздела 18.2.4.2. Теорема Абеля для ряда с действительными членами.
Из теоремы Абеля следует существование такого неотрицательного действительного числа R, что ряд абсолютно сходится в любой внутренней точке круга радиуса R с центром в точке , и расходится в любой точке вне этого круга. Число R называется радиусом сходимости, круг - кругом сходимости. В точках границы этого круга - окружности
радиуса R с центром в точке
- ряд может и сходиться, и расходиться. В этих точках ряд из модулей имеет вид
. Возможны такие случаи:
1. Ряд сходится. В этом случае в любой точке окружности
ряд сходится абсолютно.
2. Ряд расходится, но его общий член
. В этом случае в некоторых точках окружности ряд может сходиться условно, в других - расходиться, т.е. каждая точка требует индивидуального исследования.
Вместе с этой лекцией читают "7.1 Кочевники Южной Сибири в средние века".
3. Ряд расходится, и его общий член
не стремится к нулю при
. В этом случае ряд расходится в любой точке граничной окружности.
Примеры.
1. . Ряд из модулей:
. Признак Даламбера:
. Радиус и круг сходимости определены. На границе круга сходимости - окружности
- ряд из модулей
сходится, следовательно, исходный ряд абсолютно сходится в любой точке этой окружности.
2. . Ряд из модулей:
. Признак Коши:
.
На границе круга ряд из модулей имеет вид
. Предел общего члена
, поэтому ряд расходится в любой точке граничной окружности.
3. . Ряд из модулей:
. Признак Даламбера:
. На границе круга сходимости ряд из модулей
расходится (интегральный признак Коши), однако общий член
, поэтому в различных точках ряд может и сходиться, и расходится. Так, в точке
ряд имеет вид
и, как ряд Лейбница, сходится условно; в точке
ряд имеет вид
, следовательно, расходится.