Ряды Тейлора и Лорана
Ряды Тейлора и Лорана.
19.6.1. Ряд Тейлора. Пусть функция аналитична в области D,
. Обозначим L окружность с центром в z0, принадлежащую области D вместе с ограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащей внутри L,
. Представим множитель
в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии:
(так как
, то
)
, и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:
, так как
. Итак,
.
Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции . Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D. Доказана
Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Если функция аналитична в области D,
, то функция
может быть разложена в ряд Тейлора по степеням
. Этот ряд абсолютно сходится к
внутри круга
, где r - расстояние от
до границы области D (до ближайшей к
точке, в которой функция теряет аналитичность). Это разложение единственно.
Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются через производные функции.
19.6.1.1. Стандартные разложения. Для однозначных функций разложения в ряд Тейлора в принципе не могут отличиться от изучавшихся в прошлом семестре разложений:
1. ;
Рекомендуемые материалы
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
Все эти ряды сходятся к своим функциям на всей плоскости (при ). Для геометрических прогрессий имеют место формулы
6. .
7. ;
8. .
То, что эти ряды сходятся при , понятно. Ближайшие к центру разложения
точки, в которых функции теряют аналитичность (граница области D) - это точки
, в которых соответствующие функции неопределены.
9. .
В действительном случае вообще было непонятно, почему этот ряд перестаёт сходиться к при
, ведь
определена на всей действительной прямой. В комплексном случае это проясняется - на окружности
расположены точки
, в которых
не определена.
При разложении многозначных функций необходимо выделить однозначную ветвь. Обычно задают значение функции в одной точке. Например, , k - целое. Возьмём ту ветвь логарифма, для которой
, т.е. главное значение логарифма
. На этой ветви
, поэтому
, и
10. .
Точка, в которой функция теряет аналитичность (она в этой точке вообще не определена) - это , поэтому ряд сходится при
.
Теперь рассмотрим биномиальный ряд для функции . Это (при любом комплексном
) общая степенная функция, поэтому
(однозначная ветвь выделена тем, что взято главное значение логарифма); дальше находим производные:
; аналогично
; и т.д.;
, поэтому
11. .
19.6.1.2. Решение задач на разложение функций в ряд. Техника решения этих задач ничем не отличается от действительного случая (см. раздел 18.2.6.2). Рассмотрим, например, задачу 6 из этого раздела: разложить функцию по степеням
. Так как степень знаменателя равна двум, сначала разложим в ряд функцию
, затем почленно продифференцируем его:
. Круг сходимости
. На границе круга сходимости ряд из модулей расходится, и общий член не стремится к нулю, поэтому в каждой точке окружности
ряд расходится. Далее,
. Все выводы о круге сходимости и поведении ряда на его границе остаются справедливыми.
19.6.3. Ряд Лорана. Пусть функция аналитична в кольце
. Тогда для любой точки этого кольца
; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева (следствие 3 раздела 19.6.2. Интегральная формула Коши). Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное:
. Интеграл по внешней окружности преобразуем так, как и при выводе формулы Тейлора:
(так как
, то
)
, и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:
, где
. Интеграл по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только, что на
:
. И здесь ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:
, где
. Переобозначим
, тогда форма коэффициентов ряда для
совпадёт с формой коэффициентов ряда для
:
поэтому окончательно для интеграла по
получим
. Докажем, что и контур для вычисления коэффициентов может быть взят один и тот же. Действительно, пусть
- кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце
, и точка
расположена внутри этого контура. По теореме Коши для многосвязной области
;
, поэтому для любого n
, и
.
Этот ряд (содержащий и положительные, и отрицательные степени ), называется рядом Лорана функции
. Его часть, содержащая неотрицательные степени (
), называется правильной; часть, содержащая отрицательные степени (
), называется главной. Правильная часть, по самому своему построению, сходится в круге
, главная - во внешности круга
, поэтому весь ряд сходится в пересечении этих областей, т.е. в кольце
. Так же, как и для ряда Тейлора, разложение в ряд Лорана единственно.
Еще раз подчеркнем, что в ряд Лорана раскладывается функция, аналитическая в кольце, и ширина этого кольца определяется областью аналитичности функции, т.е. разложение теряет смысл, как только функция теряет аналитичность. Рассмотрим
Пример 1. Требуется получить все возможные разложения в ряд Лорана по степеням функции
.
Здесь ; функция теряет аналитичность в точках
. Легко видеть, что существует три области аналитичности с центром в
(один круг и два кольца), на границах которых функция теряет аналитичность:
1. ; 2.
; 3.
. В каждой из этих областей разложение будет таким:
1. В первой области (круге) функция аналитична, поэтому ряд Лорана будет совпадать с рядом Тейлора. - таково разложение
на простые дроби, разлагаем в ряд Тейлора каждую их них.
, где
;
; это разложение справедливо, если
, т.е. в первой и второй областях. Окончательно в первой области
. Этот ряд содержит только правильную часть.
2. В кольце знаменатель второй геометрической прогрессии (для дроби
) по модулю
, поэтому разложение остаётся в силе. Для первой дроби, с учётом того, что
, получим
=
. Это - главная часть ряда Лорана. Разложение имеет вид
.
3. В кольце для первой дроби получим разложение так:
или
. Для второй дроби
. Ответ можно записать и в форме
, и в форме
. В этом разложении имеется только главная часть.
Пример 2. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням
.
Решение. Здесь функция теряет аналитичность только в точке , поэтому
. Главная часть здесь равна
, остальные слагаемые образуют правильную часть.
Пример 3. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням
.
Бесплатная лекция: "Оценка маркетинговых возможностей" также доступна.
Решение. Здесь ; функция теряет аналитичность только в точке
и в точке
, отстоящей от
на расстоянии 4, поэтому имеется два кольца: 1.
и 2.
.
. Первый множитель уже представлен в виде суммы по степеням
, работаем со вторым. Третью степень в знаменателе получим, дважды дифференцируя разложение функции
.
1. В первом кольце получаем
,
,
,
.
Это и есть искомое разложение в первом кольце. Его можно преобразовывать, например, собрать вместе члены с одинаковыми степенями , выделить главную часть:
и т.д., но это уже не принципиально.
2. Во втором кольце получаем
,
,
,
.