Комплексные числа
19. Теория функций комплексной переменной.
19.1. Комплексные числа.
19.1.1. Определение комплексного числа.
Опр.19.1.1. Комплексным числом будем называть упорядоченную пару действительных чисел
, записанную в форме
, где
- новый объект ("мнимая единица"), для которого при вычислениях полагаем
.
Первая компонента комплексного числа , действительное число
, называется действительной частью числа
, это обозначается так:
; вторая компонента, действительное число
, называется мнимой частью числа
:
.
Опр.19.1.2. Два комплексных числа и
равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части:
.
Множество комплексных чисел неупорядочено, т.е. для комплексных чисел не вводятся отношения "больше" или "меньше".
Геометрически комплексное число изображается как точка с координатами
на плоскости. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью С.
Рекомендуемые материалы
Опр.19.1.3. Суммой двух комплексных чисел и
называется комплексное число
, определяемое соотношением
, т.е.
,
.
Это означает, что геометрически комплексные числа складываются как векторы на плоскости, покоординатно.
Опр.19.1.4. Произведением двух комплексных чисел и
называется комплексное число
, определяемое соотношением
, т.е.
.
Для двух комплексных чисел с нулевой мнимой частью и
получим
,
, т.е. для множества комплексных чисел с нулевой мнимой частью операции сложения и умножения не выводят за пределы этого множества. Отождествим каждое такое число с действительным числом
, равным действительной части комплексного числа, т.е. будем считать, что
. Теперь действительные числа - подмножество множества комплексных чисел С. Далее, числа с нулевой действительной частью, т.е. числа вида
, называются мнимыми числами. Мнимое число с единичной мнимой частью будем записывать просто как
:
; квадрат этого числа, по определению умножения, равен
, что обосновывает данное в опр.19.1.1 свойство "мнимой единицы".
Легко убедиться, что операция сложения на множестве комплексных чисел имеет свойства, аналогичные аксиомам I.1- I.4, которым удовлетворяет операция сложения действительных чисел (см. раздел 3.1. Аксиомы действительных чисел):
I.1. ;
I.2. ;
I.3. Существует такой элемент , что
для
. Этот элемент - число
.
I.4. Для каждого элемента существует такой элемент
, что
. Этот элемент - число
. Сумма чисел
и
называется разностью чисел
и
:
.
Прежде, чем определить операцию деления комплексных чисел, введём понятия сопряжённого числа и модуля комплексного числа.
Опр.19.1.5. Число называется числом, сопряжённым к числу
. Часто сопряжённое число обозначается также символом
.
Опр.19.1.6. Действительное число называется модулем комплексного числа
.
Геометрически модуль числа z - длина радиуса вектора точки z; модуль разности чисел и
равен расстоянию между этими точками:
.
Найдём произведение сопряжённых чисел:
. Таким образом,
- всегда неотрицательное действительное число, причём
.
Для нахождения частного комплексных чисел домножим числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю:
.
Для операции умножения справедливы свойства
II.1. ;
II.2. ;
II.3. Произведение числа на любое число
равно
;
II.4. Для каждого числа существует такое число
, что
,
;
Операции сложения и умножения подчиняется закону дистрибутивности:
III.1. .
Операция сопряжения имеет следующие свойства:
IV. .
Примеры выполнения арифметических действий с комплексными числами: пусть ,
. Тогда
;
;
.
19.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой комплексного числа. Изобразим число
как точку на плоскости с декартовыми координатами
. Если теперь перейти к полярным координатам
, то
, поэтому
. Угол
называется аргументом комплексного числа
и обозначается
:
. Аргумент комплексного числа определён неоднозначно (с точностью до слагаемых, кратных
): если, например,
, то значения
, равные
и т.д. тоже будут соответствовать числу
, поэтому значение аргумента, удовлетворяющее условиям
, будем называть главным; для обозначения всех значений аргумента комплексного числа
применяется символ
:
.
Запись комплексного числа в виде называется тригонометрической формой числа.
Число - единственное число, модуль которого равен нулю; аргумент для этого числа не определён.
Переход от тригонометрической формы к алгебраической очевиден: . Формулы для перехода от алгебраической формы к тригонометрической таковы:
При решении задач на перевод алгебраически заданного комплексного числа в тригонометрическую форму следует изобразить это число на комплексной плоскости С и, таким образом, контролировать полученный результат. Примеры: записать в тригонометрической форме числа ,
,
,
,
. Решение:
,
,
,
,
.
Более интересный пример: привести к тригонометрической форме число . Изобразим на комплексной плоскости С вместе с точкой
точку
. Из рисунка понятно, что
, поэтому
.
В тригонометрической форме легко интерпретируются такие действия, как умножение, деление, возведение в степень. Пусть ,
,
. Тогда
.
Вывод: при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, аргументы складываются. Очевидно, если , то
, т.е. операция сопряжения не меняет модуль числа, и изменяет знак его аргумента, поэтому
. Вывод: при делении комплексных чисел их модули делятся друг на друга, аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.
19.1.3. Показательная форма комплексного числа. Ряд Маклорена для функции сходится к функции при любом действительном х. Формально запишем это разложение для
:
Степени числа :
далее значения степеней повторяются (для отрицательных степеней это тоже справедливо:
и т.д.). Поэтому
. В круглых скобках стоят ряды для
и
, которые сходятся для любого действительного
; поэтому получаем
. Эта формула называется формулой Эйлера. Теперь любое комплексное число
можно представить как
; эта форма записи называется показательной. В этой форме умножение и деление комплексных чисел выполняются и интерпретируются также легко, как и в тригонометрической:
;
.
Индукцией по показателю степени легко доказывается формула Муавра: если
, то
, или, в показательной форме,
. С помощью этой формулы легко вычислять высокие степени комплексных чисел и выводить формулы для синусов и косинусов кратных углов:
; в качестве второго примера выведем формулы для
и
: если
, то, по формуле бинома Ньютона,
=
. С другой стороны,
, поэтому, приравнивая действительные и мнимые части этих двух представлений пятой степени числа
, получим
,
.
В заключение рассмотрим операцию извлечения корня -ой степени из комплексного числа
. По определению, любое число
, такое, что
, называется корнем
-ой степени из числа
. Пусть
,
. Тогда
. Числа равны, если равны их модули и аргументы, поэтому
,
, откуда
,
, при этом
различных значения корня
-ой степени из числа
получаются при
.
Пример: найти все значения . Число
в тригонометрической форме равно
. Все пять значений корня даются формулой
при
. Они расположены на окружности радиуса
. Значение, соответствующее
, имеет аргумент
, остальные расположены с интервалом по
, равным
, в вершинах правильного пятиугольника, вписанного в эту окружность.
19.1.4. Сфера Римана. Бесконечно удалённая точка. Риман предложил применять для геометрического представления комплексной плоскости сферу. Вместе с координатами х, у в плоскости Z рассмотрим трёхмерную прямоугольную систему координат , такую, что оси
совпадают с осями х, у, а ось
им перпендикулярна. Поместим в это пространство сферу единичного диаметра
, касающуюся плоскости х, у в начале координат своим южным полюсом. Каждой точке
поставим в соответствие точку
сферы, получающуюся при пересечении луча, проведённого через точку z и северный полюс N сферы, со сферой. Очевидно, соответствие
взаимно однозначно отображает плоскость С на сферу с единственной исключённой точкой - северным полюсом N. Такое соответствие
называется стереографической проекцией.
Пополним комплексную плоскость С новым объектом - бесконечно удалённой точкой , которую будем считать образом северного полюса N при стереографической проекции. Такую пополненную плоскость будем называть замкнутой комплексной плоскостью и обозначать
. Если не прибегать к стереографической проекции, то несобственная точка
рассматривается как единственная предельная точка любой последовательности
комплексных чисел таких, что
, независимо от того, по какому пути точки последовательности удаляются от начала координат.
19.1.5. Задание кривых и линий на комплексной плоскости.
Так как равен расстоянию между точками z и z0, то
1. - уравнение окружности радиуса R с центром в точке z0.
2. - замкнутая область, ограниченная этой окружностью, т.е. круг радиуса R с центром в точке z0, включающий свою границу.
3. - открытая область, состоящая из точек, находящихся вне круга радиуса R с центром в z0; круг не включен в эту область.
4. - эллипс, построенный на z1 точках и z2, рассматриваемых как фокусы (большая полуось равна 2а, малая -
) (рис. 1.). Области, лежащие внутри и вне эллипса, описываются соответствующими неравенствами.
5. - гипербола с фокусами в точках z1 и z2; расстояние между фокусами 2с=
, между вершинами 2а (рис.2). Уравнение
даёт ветвь гиперболы, расположенную ближе к фокусу z2; неравенство
- открытую область, содержащую фокус z1 и ограниченную соответствующей ветвью гиперболы.
6. (или
- прямая, параллельная оси Оу.
- область, лежащая справа от этой прямой (включая прямую);
- область слева от прямой (прямая не включена в область).
(или
- прямая параллельная оси Ох;
,
- области, расположенные выше и ниже этой прямой.
7. - луч, выходящий из точки
под углом
к оси Ох.
- луч, выходящий из точки
под углом
к оси Ох.
- область, расположенная между лучами, выходящими из точки
(рис. 3.).
Ещё посмотрите лекцию "Хубилай-хан, Жайылбатыр, В. Бартольд" по этой теме.
Пример построения области на комплексной плоскости, заданной системой неравенств:
построить область | Определим, какая область даётся неравенством |
поэтому
- замкнутый круг радиуса 3 с центром в точке
. Неравенство
даёт область, находящуюся справа от правой ветвью гиперболы с полюсами
, включающую эту ветвь. Параметры гиперболы:
. Последнее неравенство определяет полуплоскость
. В результате получаем заштрихованную область, изображённую на рисунке справа.
19.1.6. Окрестности точек плоскости . Под
- окрестность точки
понимается открытый круг радиуса
с центром в точке
:
. Проколотая окрестность точки
- любая ее окрестность, из которой исключена сама точка
:
.
- окрестность несобственной точки
- это внешность круга радиуса
с центром в начале координат (включающая саму точку
):
. Проколотая
- окрестность точки
- множество
.