Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты
Изолированные особые точки аналитической функции. Вычеты.
19.7.1. Нули аналитической функции.
Определение. Точка а называется нулём порядка k аналитической функции , если
, но
.
Пример. Пусть . Точка
- нуль этой функции, так как
. Найдём порядок нуля:
,
. Первая отличная от нуля производная функции в точке
- пятая, поэтому эта точка - нуль пятого порядка функции
.
Теорема. Для того, чтобы аналитическая в точке а функция имела в этой точке нуль k -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки функция
представлялась в виде
, где
- аналитическая в точке а функция, и
.
Доказательство. Необходимость. Пусть точка а - нуль k-го порядка функции , т.е.
, и
. Тогда её разложение в ряд Тейлора имеет вид
, где
- аналитическая (как сумма степенного ряда с тем же кругом сходимости, что у ряда для
) функция,
.
Достаточность. Пусть , где
- аналитическая функция, и
. Находим производные этой функции по формуле Лейбница
:
;
; ………………………….;
;
, что и требовалось доказать.
Из этой теоремы следует, что если многочлен разложен на множители
, то корни
являются нулями функции
кратностей, соответственно,
.
19.7.2. Изолированные особые точки.
Рекомендуемые материалы
19.7.2.1. Определение. Точка а называется изолированной особой точкой функции , если существует окрестность этой точки, в которой
аналитична во всех точках, за исключением точки а.
Рассмотрим разложение функции в ряд Лорана
в окрестности изолированной особой точки а. При этом возможны следующие случаи.
1. Главная часть ряда Лорана отсутствует: .
В этом случае особая точка а называется устранимой.
2. Главная часть содержит конечное число членов:
В этом случае особая точка а называется полюсом n-го порядка. Если n =1, полюс называется простым, в остальных случаях - кратным.
3. Главная часть содержит бесконечно много членов. В этом случае особая точка а называется существенно особой точкой.
19.7.2.2. Признаки особых точек по значению .
1. Для того, чтобы особая точка была устранимой особой точкой функции
, необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел
.
Док-во. Выпишем разложение в ряд Лорана:
. Очевидно, что
может быть конечным тогда и только тогда, когда отсутствуют члены с отрицательными степенями, т.е. отсутствует главная часть, т.е.
- устранимая особая точка. В этом случае
.
2. Для того, чтобы особая точка была полюсом функции
, необходимо и достаточно, чтобы существовал бесконечный предел
.
Докажем теорему, из которой следует это утверждение.
Теорема. Для того, чтобы особая точка была полюсом n-го порядка функции
, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки
представлялась в виде
, где
аналитическая в точке а функция,
.
Док-во. Необходимость. Пусть имеет в точке
была полюс n-го порядка, т.е.
. Преобразуем это выражение:
. Обозначим
сумму ряда, стоящего в скобках:
.
Ряд Лорана функции сходится в некотором кольце
. Пусть точка
принадлежит этому кругу. Ряд для
сходится в этой точке, так как он отличается от сходящегося ряда для
только постоянным множителем
; по теореме Абеля ряд для
сходится в круге
, и
аналитична в этом круге как сумма степенного ряда.
Достаточность. Пусть , где
аналитическая в точке а функция,
. Разложим
в ряд Тейлора:
. Тогда
, т.е. главная часть ряда Лорана функции
начинается с члена
, где
, т.е. точка
- полюс n-го порядка.
Следствие. Точка - полюс n-го порядка функции
тогда и только тогда, когда существует конечный
.
Теорема о связи нулей и полюсов. Функция имеет в точке
- полюс n-го порядка тогда и только тогда, когда функция
имеет в этой точке нуль n-го порядка.
Это теорема непосредственно следует из доказанной теоремы и теоремы предыдущего раздела. С её помощью легко определять порядок полюса. Так, мы доказали, что функция имеет в точке 0 нуль пятого порядка. Поэтому функция
имеет в этой точке полюс пятого порядка.
3. Мы доказали, что в устранимой особой точке и в полюсе существует (конечный или бесконечный) . Поэтому в существенно особой точке этот предел существовать не может. Более того, верна теорема Пикара, которую мы приведём без доказательства:
В любой сколь угодно малой окрестности своей существенно особой точки функция принимает (причём бесконечно много раз) любое конечное значение (за исключением, возможно, одного).
19.7.3. Вычет аналитической функции в особой точке. Пусть функция аналитична в области D за исключением точки a. Разложим
в окрестности этой точки в ряд Лорана:
Коэффициент называется вычетом функции
в точке а и обозначается
. Если
- произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, расположенный в области D и содержащий внутри себя точку а, то, согласно общей формуле для коэффициентов ряда Лорана (см. 19.6.3. Ряд Лорана),
.
19.7.3.1. Вычет в устранимой особой точке равен нулю.
Это следует из определения устранимой особой точки: главная часть ряда Лорана отсутствует, все коэффициенты с отрицательными индексами равны нулю, =0.
19.7.3.2. Вычеты в полюсах.
19.7.3.2.1. Если а - простой полюс функции , то
.
Док-во. Простой полюс - полюс первого порядка, поэтому разложение в ряд Лорана начинается с минус первой степени: . Тогда
, и
.
19.7.3.2.2. Пусть , где
и
- аналитические в окрестности точки а функции. Если а - простой нуль функции
, и
, то
.
Док-во. Если а - простой нуль функции , и
, то а – простой полюс функции
. Тогда, по предыдущему утверждению,
.
19.7.3.2.3. Если а - полюс функции n-го порядка, то
.
Док-во. Так как точка - полюс n-го порядка функции
, то.
. Для того, чтобы удалить особенность в точке а, умножим
на
:
. Теперь, чтобы убрать первые члены этой формулы и добраться до
, дифференцируем это произведение n-1 раз:
,
,
……………………………………………………………………………………………………………………….,
,
, откуда и следует доказываемая формула.
19.7.3.3. Вычет в существенно особой точке находится из разложения функции в ряд Лорана.
19.7.3.4. Примеры нахождения вычетов.
1. .
Эта функция имеет единственную особую точку - . Функция
при
- бесконечно малая второго порядка,
- четвертого, поэтому можно предположить, что существует конечный
, т.е.
- устранимая особая точка. Доказываем строго:
- устранимая особая точка.
Можно решить эту задачу по-другому. Так как , то
,
. Понятно, что разложение этой функции по степеням z не будет содержать членов с отрицательными степенями, т.е.
- устранимая особая точка.
2. .
Особая точка - . Разлагаем функцию в ряд по степеням
:
,
,
. Разложение содержит бесконечное количество слагаемых с отрицательными степенями
, следовательно,
- существенно особая точка.
.
3. .
Особые точки – те, в которых . Эти точки являются простыми нулями знаменателя, так как
. Числитель
, поэтому точки
- простые полюса. Вычеты находим по формуле
:
.
4. .
Особые точки – те, в которых . В этих точках предел знаменателя
; во всех точках
, за исключением
, числитель отличен от нуля, поэтому
, следовательно, эти точки – полюса. Для определения порядка этих полюсов найдём порядок нуля знаменателя:
, следовательно, эти полюса имеют второй порядок (при
). В точке
функция представляет собой неопределённость
, однако, если вспомнить, что
, эта неопределённость раскрывается просто:
, т.е. функция имеет конечный предел, следовательно,
- устранимая особая точка.
Вычет в устранимой особой точке равен нулю, поэтому . В остальных точках применяем формулу
при n=2:
(меняем переменную
)=
(к последнему пределу применяем правило Лопиталя)
.
19.7.4. Основная теорема о вычетах. Пусть функция аналитична во всех точках ограниченной замкнутой области
, границей которой является контур L, за исключением конечного числа особых точек
, расположенных внутри L. Тогда
.
Док-во. Окружим каждую особою точку , контуром
таким, чтобы все контуры лежали в области D и не пересекались. В области, ограниченной контурами L,
, функция аналитична, поэтому по 19.5.2.2. Теореме Коши для многосвязной области
. По определению вычета,
, следовательно,
, что и требовалось доказать.
Примеры вычисления интегралов с помощью основной теоремы о вычетах.
1. , где L - квадрат
.
Обе особые точки подынтегральной функции - и
- расположены внутри контура L, поэтому
. Точка
-полюс первого порядка,
. Точка
- нуль первого порядка и для числителя, и для знаменателя; докажем, что это - устранимая особая точка подынтегральной функции. Пусть
, тогда
, и
, конечный предел существует, поэтому, действительно, это - устранимая особая точка, и
. По основной теореме о вычетах
.
2. . В примере 2 раздела 19.7.3.4. Примеры нахождения вычетов мы доказали, что точка
- существенно особая точка подынтегральной функции, и
, поэтому
.
3. . Здесь подынтегральная функция
имеет две особых точки, расположенных в области, находящейся внутри контура:
(простой полюс) и
(полюс второго порядка).
,
;
.
4.
. Внутри контура расположена одна особая точка подынтегральной функции
:
. Это - существенно особая точка, поэтому для нахождения вычета необходимо найти коэффициент
разложения
в ряд Лорана в окрестности этой точки.
;
.
, однако нет необходимости выписывать произведение этих рядов, достаточно только собрать те попарные произведения, которые дают минус первую степень переменной
:
. Легко сообразить, что это ряд для
при
, т.е.
, и
.
19.7.5. Бесконечно удалённая особая точка. Будем считать точку особой точкой любой аналитической функции. В разделе 19.1.6. Окрестности точек плоскости
мы определили окрестности этой точки как внешности кругов с центром в начале координат:
. Точка
является изолированной особой точкой аналитической функции
, если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек этой функции. Для определения типа этой особой точки сделаем замену переменной
, при этом точка
переходит в точку
, функция
примет вид
. Типом особой точки
функции
будем называть тип особой точки
функции
. Если разложение функции
по степеням
в окрестности точки
, т.е. при достаточно больших по модулю значениях
, имеет вид
, то, заменив
на
, получим
. Таким образом, при такой замене переменной главная и правильная части ряда Лорана меняются местами, и тип особой точки
определяется количеством слагаемых в правильной части разложения функции в ряд Лорана по степеням
в окрестности точки
. Поэтому
1. Точка - устранимая особая точка, если в этом разложении правильная часть отсутствует (за исключением, возможно, члена
);
2. Точка - полюс n-го порядка, если правильная часть заканчивается слагаемым
;
3. Точка - существенно особая точка, если правильная часть содержит бесконечно много членов.
При этом остаются справедливыми признаки типов особых точек по значению : если
- устранимая особая точка, то этот предел существует и конечен, если
- полюс, то этот предел бесконечен, если
- существенно особая точка, то этот предел не существует (ни конечный, ни бесконечный).
Примеры: 1. . Функция уже является многочленом по степеням
, старшая степень - шестая, поэтому
- полюс шестого порядка.
Рекомендация для Вас - Архитектура клиент-сервер.
Этот же результат можно получить по-другому. Заменим на
, тогда
. Для функции
точка
- полюс шестого порядка, поэтому для
точка
- полюс шестого порядка.
2. . Для этой функции получить разложение по степеням
затруднительно, поэтому найдём
:
; предел существует и конечен, поэтому точка
- устранимая особая точка.
3. . Правильная часть разложения по степеням
содержит бесконечно много слагаемых, поэтому
- существенно особая точка. По другому этот факт можно установить исходя из того, что
не существует.
Вычет функции в бесконечно удалённой особой точке. Для конечной особой точки
, где
- контур, не содержащий других, кроме
, особых точек, проходимый так, что область, им ограниченная и содержащая особую точку, остаётся слева (против часовой стрелке). Определим
аналогичным образом:
, где
- контур, ограничивающий такую окрестность
точки
, которая не содержит других особых точек, и проходимый так, что эта окрестность остаётся слева (по часовой стрелке). Таким образом, все остальные (конечные) особые точки функции должны находиться внутри контура
. Изменим направление обхода контура
:
. По основной теореме о вычетах
, где суммирование ведётся по всем конечным особым точкам. Поэтому, окончательно,
, т.е. вычет в бесконечно удалённой особой точке равен сумме вычетов по всем конечным особым точкам, взятой с противоположным знаком. Как следствие, имеет место теорема о полной сумме вычетов: если функция
аналитична всюду в плоскости С, за исключением конечного числа особых точек
, то сумма вычетов во всех конечных особых точках и вычета в бесконечности равна нулю.
Отметим, что если - устранимая особая точка, то вычет в ней может быть отличен от нуля. Так для функции
, очевидно,
;
- единственная конечная особая точка этой функции, поэтому
, несмотря на то, что
, т.е.
- устранимая особая точка.