Линейные дифференциальные уравнения
Линейные дифференциальные уравнения
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида
(1.12)
содержащее искомую функцию и ее производную в первой степени. Функции P(x) и Q(x) предполагаются непрерывными.
Рассмотрим интегрирование этого уравнения методом вариации произвольной постоянной. Сначала ищется решение соответствующего линейного уравнения при нулевой правой части: . Такое уравнение называется линейным однородным. Разделяя в нем переменные, получим его общее решение в виде
(1.13)
Рекомендуемые материалы
Далее ищется общее решение исходного уравнения с ненулевой правой частью в виде (1.13), но произвольная постоянная в (1.13)заменяется неизвестной функцией
(1.14)
Подставляя (1.14) в (1.12), получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно функции v(x), интегрируя которое находим эту функцию. В результате общее решение уравнения (1.12) может быть представлено в виде
|
(1.15)
Формула (1.15) является общим решением линейного дифференциального уравнения (1.12) в форме Коши.
Пример. Решить задачу Коши для уравнения при начальном условии y(0)=1. Находим общее решение линейного однородного уравнения . Оно имеет вид
Заменяем произвольную постоянную C в этом решении неизвестной функцией v(x):
Вычисляем
Подставляя и в исходное уравнение, получим
Общее решение уравнения примет вид
Находим произвольную постоянную C из начального условия: при
x=0 C-1/4=1 C=5/4.
Следовательно, решение задачи Коши будет
Решение линейного дифференциального уравнения (1.12) может быть также получено, если искомую функцию представить в виде произведения двух произвольных функций (метод Бернулли [4]):
(1.16)
Тогда (1.17)
Подставляя (1.16) и (1.17) в (1.12), получим
(1.18)
Функцию u(x) подбираем так, чтобы она была одним из решений уравнения
.
После разделения переменных получим
(1.19)
Тогда уравнение (1.18) примет вид
Информация в лекции "Личность и творчество Николая Алексеевича Некрасова " поможет Вам.
.
Следовательно,
Интегрируя это уравнение, находим функцию v:
. (1.20)
Подставляя (1.19) и (1.20) и (1.16), получим общее решение уравнения (1.12) в виде (1.15).