Уравнение Эйлера
Уравнение Эйлера
Уравнением Эйлера называется линейное уравнение вида
, (2.62)
где - константы. В частности, при уравнение Эйлера имеет вид
(2.63)
Как видно, уравнение Эйлера является уравнением с переменными коэффициентами специального вида, но оно приводится к уравнению с постоянными коэффициентами заменой независимой переменной x. Для наиболее распространенного случая (2.63), полагая
|
Рекомендуемые материалы
получим
(2.65)
Пример . Решить уравнение
(2.66)
Однородное линейное уравнение, соответствующее уравнению (2.66), есть уравнение Эйлера. Применим замену по формулам (2.64), (2.65). Тогда
и после упрощений получим линейное неоднородное уравнение с пос-
тоянными коэффициентами
(2.67)
Его общее решение
где - общее решение соответствующего однородного уравнения:
- частное решение неоднородного уравнения ,
- частное решение неоднородного уравнения .
Эти решения находятся методом подбора (см. выше) и имеют
вид
Вам также может быть полезна лекция "3.3 Оценивание при расслоенном плане выборки".
Поэтому общее решение уравнения (2.67) будет
(2.68)
Теперь, чтобы от решения (2.68) перейти к общему решению исходного уравнения (2.66), возвращаемся к переменной x по формулам замены (2.64). В результате получим общее решение исходного уравнения (2.66) в виде
В общем случае уравнения с переменными коэффициентами (2.61) задачу приходится решать приближёнными методами. Одним из эффективных приближённых методов является метод степенных рядов. Изложение этого метода подробно приведено в учебном пособии [6]. Поэтому здесь мы остановимся на нескольких примерах применения степенных рядов.