Математические модели технических объектов для получения частотных характеристик
Математические модели технических объектов для получения частотных характеристик.
Для многих технических объектов, описываемых системой линейных дифференциальных уравнений, необходимо получение амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик (АЧФ и ФЧХ). Часто АЧХ и ФЧХ определяют для объектов, описываемых системами нелинейных дифференциальных уравнений в режиме малого воздействия, в котором возможна линеаризация нелинейностей.
Получение АЧХ и ФЧХ возможно на основе уравнений, сформированных для анализа объекта во временной области, т. е. ММС в виде системы дифференциальных уравнений, при подаче на вход объекта гармонического воздействия. Но такой подход связан с большими затратами машинного времени, поскольку необходимо решать ММС для ряда частот входного воздействия из заданного частотного диапазона. Поэтому для получения АЧХ и ФЧХ разрабатываются специальные модели и методы.
Численный метод анализа частотных характеристик.
Поскольку модель технического объекта предполагается линейной, целесообразно записать ее относительно приращений:
(1)
где V - вектор приращений переменных состояния относительно значений этих переменных без воздействия сигнала (в статическом состоянии); U - вектор переменных составляющих входных воздействий; В и D - постоянные матрицы.
Учитываем, что 
, и применяем преобразование Лапласа к (1):
(2)
Рекомендуемые материалы
где V(p) и U(p) - преобразованные по Лапласу векторы V(t) и V(t).
Заменив р в (2) на 
, получим модель объекта в частотной области:
(3)
где I - единичная матрица того же порядка, что и матрица В.
Решение этой системы уравнений позволяет определить значение 
для избранного ряда частот. Построение АЧХ и ФЧХ сводится к нахождению модуля и аргумента комплексного значения 
нa заданных частотах 
при единичной амплитуде воздействия.
Метод полиномиальных коэффициентов.
Так как математическая модель объекта линейна, то 
, где 
- вектор приращений тех фазовых переменных, которые считаются выходными для объекта.
Применяя преобразование Лапласа и учитывая (2), получим
,
где 
- матрицы передаточных функций объекта.
Элементы матрицы 
суть функции передачи от j-го входа к i-му выходу.
Эти функции можно представить как отношение двух полиномов относительно р:
Лекция "30 Император У-Ди" также может быть Вам полезна.
(4)
Если коэффициенты аi и bj предварительно определяет численно, то имеем метод полиномиальных коэффициентов. Вычисление коэффициентов полиномов весьма трудоемкая задача, но она выполняется однократно для эквивалентной схемы заданной конфигурации и при заданных параметрах элементов, и затем для определения значения функции передачи на любой частоте достаточно воспользоваться формулой (4). Недостаток этого метода состоит в быстром росте погрешностей вычислений при увеличении размерности задачи.
Символический метод.
Здесь большая часть действий по определению коэффициентов аi и bj производится в общем виде, т. е. выполняются операции над символическими обозначениями, в результате чего аi и bj выражаются не через конкретные значения параметров элементов, а через их символические обозначения. Этот метод еще более трудоемкий, чем метод полиномиальных коэффициентов, но зато появляется возможность определения частотных характеристик с использованием (4) при произвольных значениях параметров элементов после однократного получения коэффициентов аi и bj, кроме того, наблюдается меньший рост погрешности с возрастанием размерности задачи для объектов, представляемых эквивалентными схемами средней и большой сложности (более 3-х десятков узлов). Однако в большинстве программ анализа используется численный метод анализа частотных характеристик [путем решения системы (3)], поскольку затраты времени на получение коэффициентов аi и bj резко возрастают с ростом сложности эквивалентной схемы (пропорционально п4, где п - порядок системы уравнений).
Численный метод может быть реализован не только для объектов, описываемых системой уравнений в нормальной форме Коши, как это было показано для (1). Любой из вышерассмотренных методов формирования ММС во временной области может быть адаптирован для получения ММС в частотной области. Для этого достаточно ММ элементов для временной области заменить моделями для частотной области, поскольку топологические уравнения остаются без изменений.
Компонентные уравнения для простейших элементов типа R, С, соответственно 
; 
; 
, где U и I - преобразованные по Фурье переменные составляющие соответствующих фазовых переменных.
