Интеграл от ФКП
Интеграл от ФКП.
19.5.1.1. Определение. Пусть на комплексной плоскости С задана ориентированная кусочно-гладкая кривая , на которой определена функция
. Разобьём кривую точками
на
частей, на каждой из дуг
выберем произвольную точку
, найдём
и составим интегральную сумму
.
Предел последовательности этих сумм при , если он существует, не зависит ни от способа разбиения кривой на дуги, ни от выбора точек
, называется интегралом от функции
по кривой
и обозначается
.
Теорема. Если функция непрерывна на кривой
, то она интегрируема по этой кривой.
Док-во. Распишем действительные и мнимые части всех величин, входящих в интеграл:
тогда
, и сумма
разобьётся на две
. Каждая из этих сумм - интегральная сумма для действительных криволинейных интегралов второго рода, соответственно,
и
. Если L - кусочно-гладкая кривая,
- непрерывна (тогда непрерывны её координатные функции
и
), то существуют пределы этих сумм при
- соответствующие криволинейные интегралы, следовательно, существует
, и
.
19.5.1.2. Свойства интеграла от ФКП. Мы доказали, что выражается через два действительных криволинейных интеграла второго рода, поэтому он обладает всеми свойствами этих интегралов:
1. - произвольные комплексные постоянные);
2. - кривые без общих внутренних точек):
Рекомендуемые материалы
3. - кривая, совпадающая с L, но проходимая в противоположном направлении;
4. Если l - длина кривой L, , то
.
19.5.2. Интегральная теорема Коши. Это одна из основных теорем теории ФКП.
19.5.2.1. Теорема Коши для односвязной области. Если D - односвязная ограниченная область, - аналитическая в этой области функция, то для любого кусочно-гладкого замкнутого контура L, лежащего в D, интеграл от
по L равен нулю:
.
Доказательство. Удивительно, но эта важнейшая теорема непосредственно и просто следует из условий Коши-Римана и формулы Грина. Так как, по доказанному выше, , то, применяя к действительным криволинейным интегралам формулу Грина, получим
, так как, по из условиям Коши-Римана
. Символом G в доказательстве обозначена область, заключённая внутри контура L.
Следствие. Для всех кусочно-гладких кривых, лежащих внутри области D, в которой аналитична функция , и имеющих общие начальную и конечную точки, интеграл
имеет одинаковое значение.
Доказательство полностью повторяет доказательство теоремы Теоремы 1 раздела 16.3.3.5.1. Объединение кривых - замкнутый контур, поэтому
.
Оказывается, что справедлива и обратная теорема Морера: если функция непрерывна в односвязной области D и интеграл по любому замкнутому кусочно-гладкому контуру, лежащему в D, равен нулю, то функция аналитична в области D.
19.5.2.2. Теорема Коши для многосвязной области. Если функция аналитична в замкнутой многосвязной ограниченной области
, ограниченной контурами
(внешняя граница),
,
, …,
, то интеграл от
, взятый по полной границе области
, проходимой так, что область остаётся с одной стороны, равен нулю.
Доказательство и здесь воспроизводит доказательство формулы Грина для многосвязной области. Рассмотрим случай, когда граница области (на рисунке область заштрихована) состоит из внешнего контура
и внутренних контуров L1 и L2. Соединим контур
разрезом FM с контуром L1, разрезом BG - с контуром L2 Область
с границей
односвязна, поэтому для неё справедлива интегральная теорема Коши:
. Интегралы по каждому из разрезов входят в этот общий интеграл дважды в противоположных направлениях и, как следствие, взаимно уничтожаются, поэтому остаются только интегралы по контурам, проходимым так, что область остаётся с одной стороны.
В дальнейшем нам понадобится другая формулировка этой теоремы. Буквами без верхнего индекса будем обозначать контуры, проходимые против часовой стрелки, с верхним минусом - по часовой. Мы доказали, что . Таким образом, интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам, при этом все контуры обходятся в одном направлении.
19.5.3. Первообразная аналитической функции. Если функция аналитична в односвязной области D, то, как мы доказали, интеграл по кривой
зависит только от начальной и конечной точек и не зависти от формы кривой. Если зафиксировать начальную точку
, то интеграл будет зависеть только от конечной точки z, поэтому можно написать
. Можно доказать (также, как мы доказывали существование потенциальной функции в односвязной области при выполнении условия
), что справедлива следующая
Теорема. Для любой аналитической в области D функции интеграл
является аналитической в D функцией, и
Любая функция такая, что
, называется первообразной функции
. Любые две первообразные отличаются не более, чем на постоянную, поэтому
, откуда при
получаем
, или
. Таким образом, для аналитических функций справедлива формула Ньютона-Лейбница, и основные приёмы интегрирования:
.
19.6. Теория интегралов Коши.
Мы доказали, что интеграл по замкнутому контуру от аналитической функции равен нулю. Сейчас мы испортим функцию в одной-единственной точке введением множителя
; поразительно, какие глубокие выводы получил Коши для интегралов вида
.
19.6.1. Интеграл (
). Возможные случаи: 1. Точка
лежит вне контура L. В этом случае подынтегральная функция аналитична в замкнутой области, ограниченной контуром, и интеграл равен нулю при любых целых n.
2. . И здесь подынтегральная функция аналитична, и интеграл равен нулю
3. , и точка
лежит в области, ограниченной контуром L. Сведём интеграл по контуру L к более простому интегралу по окружности
с центром в точке
радиуса
столь малого, что окружность
лежит внутри L. В двухсвязной области, расположенной между L и
, функция
аналитична, поэтому (следствие из 19.5.2.2. Теоремы Коши для многосвязной области)
. Правый интеграл вычислим напрямую. Как и при вычислении любого криволинейного интеграла, мы должны параметризовать кривую. Если
, то параметрические уравнения окружности радиуса
с центром в точке
имеют вид
Можно воспользоваться этими уравнениями, однако проще собрать их в комплексное число:
(таково параметрическое уравнение окружности на комплексной плоскости С), тогда
, и
.
4. . Выкладки в этом случае такие же, как и в предыдущем.
вследствие периодичности первообразной.
Итак, мы доказали, что при целом n неравен нулю в единственном случае - когда n = -1. В этом случае
. Строго говоря, перебирая различные возможности, мы не рассмотрели вариант, когда точка
лежит на контуре L. В этом случае подынтегральная функция теряет определенность в точке
, и необходима теория несобственных комплексных интегралов. В то же время очевидно, что если точка
, находясь внутри контура L, то
, если же
извне контура L, то
. Вообще эти вопросы - предмет теории Сохоцкого.
19.6.2. Интегральная формула Коши. Пусть аналитична в области D и L - замкнутая кусочно-гладкая кривая, содержащаяся в D вместе с областью D1, которую она ограничивает. Тогда для каждой точки
имеет место формула
.
Доказательство. Заметим, что в этой формуле функция в точке портится как раз введением множителя
. Доказательство очень похоже на доказательство того, что
. Мы окружим точку
окружностью
радиуса
столь малого, что на
мало отличается от
:
, тогда
. Более строго, возьмём
столь малым, что окружность
радиуса
с центром в
лежит в D1. Функция
аналитична в двусвязной области, заключенной между L и
, поэтому (следствие из 19.5.2.2. Теоремы Коши для многосвязной области)
. Распишем последний интеграл:
. Второй интеграл здесь равен
. Первый интеграл а). не зависит от
( действительно, подынтегральная функция аналитична в области между
и
, где
- окружность радиуса
, и по тому же следствию из 19.5.2.2. Теоремы Коши для многосвязной области
; б).
. Из этих утверждений а) и б) следует, что первый интеграл
.
Докажем утверждение б. Обозначим , при этом, вследствие непрерывности функции,
. Оценим
по модулю (учитывая, что
):
. Утверждение доказано. Доказана и интегральная формула Коши:
.
Сформулируем несколько следствий из доказанной теоремы.
1. Значения аналитической в некоторой области функции полностью определяются её значениями на границе этой области. Этот факт можно сформулировать в виде теоремы о среднем. Возьмём такое, что окружность
радиуса
с центром в
лежит в D1. Тогда
, и
. Поэтому справедлива
2. Теорема о среднем. Значение аналитической функции в каждой точке z0 равно среднему арифметическому её значений на любой окружности с центром в точке z0.
Теорема доказана в предположении, что точка z0 лежит внутри контура L. Если z0 находится вне контура, то , так как подынтегральная функция аналитична в
.
3. Формула справедлива и для многосвязной области, если под кривой L подразумевать полную границу области. В дальнейшем нам понадобится такой вариант: аналитична в замкнутом кольце, ограниченном окружностями
и
. Тогда для всех z, лежащих внутри кольца,
; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева. В последней формуле переобозначены переменные:
.
19.6.3. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции. Запишем интегральную формулу Коши в переменных z, t: . Продифференцируем эту формулу по z:
(на самом деле законность дифференцирования интеграла по параметру z требует обоснования; мы примем этот факт без доказательства). Продолжим дифференцирование:
;
, и вообще
. Следовательно:
Если функция имеет в каждой точке области D производную первого порядка ( т.е. аналитична в области D), то она имеет в этой области производную любого порядка (т.е. любая производная функции
аналитична в области D). Это свойство существенно отличает аналитические ФКП от дифференцируемых функций действительной переменной.
19.6.4. Применение интегральных формул Коши к вычислению интегралов. Запишем формулы Коши в виде ,
. С помощью этих формул вычисляются интегралы от функций вида
, где
- аналитическая функция. Естественно, точка z0 должна лежать внутри контура L (если она лежит вне контура, подынтегральная функция аналитична, и интеграл равен нулю).
Примеры: 1. . Здесь
лежит внутри круга
, поэтому
.
2. . Здесь внутри круга
лежит точка
, поэтому
и
.
3. . Здесь внутри круга
лежит точка
, поэтому
и
.
4. . Здесь внутри круга
лежат обе точки
и
, но, по следствию из 19.5.2.2. Теоремы Коши для многосвязной области,
.
5. . Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой
при
:
.
Ряд Тейлора. Пусть функция аналитична в области D,
. Обозначим L окружность с центром в z0, принадлежащую области D вместе с ограниченным ею кругом. Тогда для любой точки z, лежащей внутри L,
. Представим множитель
в виде суммы сходящейся геометрической прогрессии:
(так как
, то
)
, и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:
, так как
. Итак,
.
Ряд в правой части этого равенства - ряд Тейлора функции . Этот ряд абсолютно сходится внутри контура L, а в качестве L можно взять любую окружность, которая не выходит за пределы области D. Доказана
Теорема о разложении функции в ряд Тейлора. Если функция аналитична в области D,
, то функция
может быть разложена в ряд Тейлора по степеням
. Этот ряд абсолютно сходится к
внутри круга
, где r - расстояние от
до границы области D (до ближайшей к
точке, в которой функция теряет аналитичность). Это разложение единственно.
Единственность разложения следует из того, что коэффициенты ряда однозначно выражаются через производные функции.
19.6.1.1. Стандартные разложения. Для однозначных функций разложения в ряд Тейлора в принципе не могут отличиться от изучавшихся в прошлом семестре разложений:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
Все эти ряды сходятся к своим функциям на всей плоскости (при ). Для геометрических прогрессий имеют место формулы
6. .
7. ;
8. .
То, что эти ряды сходятся при , понятно. Ближайшие к центру разложения
точки, в которых функции теряют аналитичность (граница области D) - это точки
, в которых соответствующие функции неопределены.
9. .
В действительном случае вообще было непонятно, почему этот ряд перестаёт сходиться к при
, ведь
определена на всей действительной прямой. В комплексном случае это проясняется - на окружности
расположены точки
, в которых
не определена.
При разложении многозначных функций необходимо выделить однозначную ветвь. Обычно задают значение функции в одной точке. Например, , k - целое. Возьмём ту ветвь логарифма, для которой
, т.е. главное значение логарифма
. На этой ветви
, поэтому
, и
10. .
Точка, в которой функция теряет аналитичность (она в этой точке вообще не определена) - это , поэтому ряд сходится при
.
Теперь рассмотрим биномиальный ряд для функции . Это (при любом комплексном
) общая степенная функция, поэтому
(однозначная ветвь выделена тем, что взято главное значение логарифма); дальше находим производные:
; аналогично
; и т.д.;
, поэтому
11. .
. Ряд Лорана. Пусть функция аналитична в кольце
. Тогда для любой точки этого кольца
; при этом окружности проходятся так, что область остаётся слева (следствие 3 раздела 19.6.2. Интегральная формула Коши). Изменим в интеграле по внутренней окружности направление обхода на противоположное:
. Интеграл по внешней окружности преобразуем так, как и при выводе формулы Тейлора:
(так как
, то
)
, и ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:
, где
. Интеграл по внутренней окружности преобразуем аналогично, учитывая только, что на
:
. И здесь ряд сходится абсолютно, поэтому его можно почленно интегрировать:
, где
. Переобозначим
, тогда форма коэффициентов ряда для
совпадёт с формой коэффициентов ряда для
:
поэтому окончательно для интеграла по
получим
. Докажем, что и контур для вычисления коэффициентов может быть взят один и тот же. Действительно, пусть
- кусочно-гладкий контур, расположенный в кольце
, и точка
расположена внутри этого контура. По теореме Коши для многосвязной области
;
, поэтому для любого n
, и
.
Этот ряд (содержащий и положительные, и отрицательные степени ), называется рядом Лорана функции
. Его часть, содержащая неотрицательные степени (
), называется правильной; часть, содержащая отрицательные степени (
), называется главной. Правильная часть, по самому своему построению, сходится в круге
, главная - во внешности круга
, поэтому весь ряд сходится в пересечении этих областей, т.е. в кольце
. Так же, как и для ряда Тейлора, разложение в ряд Лорана единственно.
Еще раз подчеркнем, что в ряд Лорана раскладывается функция, аналитическая в кольце, и ширина этого кольца определяется областью аналитичности функции, т.е. разложение теряет смысл, как только функция теряет аналитичность. Рассмотрим
Нули аналитической функции.
Определение. Точка а называется нулём порядка k аналитической функции , если
, но
.
Пример. Пусть . Точка
- нуль этой функции, так как
. Найдём порядок нуля:
,
. Первая отличная от нуля производная функции в точке
- пятая, поэтому эта точка - нуль пятого порядка функции
.
Теорема. Для того, чтобы аналитическая в точке а функция имела в этой точке нуль k -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы в окрестности этой точки функция
представлялась в виде
, где
- аналитическая в точке а функция, и
.
Доказательство. Необходимость. Пусть точка а - нуль k-го порядка функции , т.е.
, и
. Тогда её разложение в ряд Тейлора имеет вид
, где
- аналитическая (как сумма степенного ряда с тем же кругом сходимости, что у ряда для
) функция,
.
Достаточность. Пусть , где
- аналитическая функция, и
. Находим производные этой функции по формуле Лейбница
:
;
; ………………………….;
;
, что и требовалось доказать.
Из этой теоремы следует, что если многочлен разложен на множители
, то корни
являются нулями функции
кратностей, соответственно,
.
19.7.2. Изолированные особые точки.
19.7.2.1. Определение. Точка а называется изолированной особой точкой функции , если существует окрестность этой точки, в которой
аналитична во всех точках, за исключением точки а.
Рассмотрим разложение функции в ряд Лорана
в окрестности изолированной особой точки а. При этом возможны следующие случаи.
1. Главная часть ряда Лорана отсутствует: .
В этом случае особая точка а называется устранимой.
2. Главная часть содержит конечное число членов:
В этом случае особая точка а называется полюсом n-го порядка. Если n =1, полюс называется простым, в остальных случаях - кратным.
3. Главная часть содержит бесконечно много членов. В этом случае особая точка а называется существенно особой точкой.
19.7.2.2. Признаки особых точек по значению .
1. Для того, чтобы особая точка была устранимой особой точкой функции
, необходимо и достаточно, чтобы существовал конечный предел
.
Док-во. Выпишем разложение в ряд Лорана:
. Очевидно, что
может быть конечным тогда и только тогда, когда отсутствуют члены с отрицательными степенями, т.е. отсутствует главная часть, т.е.
- устранимая особая точка. В этом случае
.
2. Для того, чтобы особая точка была полюсом функции
, необходимо и достаточно, чтобы существовал бесконечный предел
.
Докажем теорему, из которой следует это утверждение.
Теорема. Для того, чтобы особая точка была полюсом n-го порядка функции
, необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки
представлялась в виде
, где
аналитическая в точке а функция,
.
Док-во. Необходимость. Пусть имеет в точке
была полюс n-го порядка, т.е.
. Преобразуем это выражение:
. Обозначим
сумму ряда, стоящего в скобках:
.
Ряд Лорана функции сходится в некотором кольце
. Пусть точка
принадлежит этому кругу. Ряд для
сходится в этой точке, так как он отличается от сходящегося ряда для
только постоянным множителем
; по теореме Абеля ряд для
сходится в круге
, и
аналитична в этом круге как сумма степенного ряда.
Достаточность. Пусть , где
аналитическая в точке а функция,
. Разложим
в ряд Тейлора:
. Тогда
, т.е. главная часть ряда Лорана функции
начинается с члена
, где
, т.е. точка
- полюс n-го порядка.
Следствие. Точка - полюс n-го порядка функции
тогда и только тогда, когда существует конечный
.
Теорема о связи нулей и полюсов. Функция имеет в точке
- полюс n-го порядка тогда и только тогда, когда функция
имеет в этой точке нуль n-го порядка.
Это теорема непосредственно следует из доказанной теоремы и теоремы предыдущего раздела. С её помощью легко определять порядок полюса. Так, мы доказали, что функция имеет в точке 0 нуль пятого порядка. Поэтому функция
имеет в этой точке полюс пятого порядка.
3. Мы доказали, что в устранимой особой точке и в полюсе существует (конечный или бесконечный) . Поэтому в существенно особой точке этот предел существовать не может. Более того, верна теорема Пикара, которую мы приведём без доказательства:
В любой сколь угодно малой окрестности своей существенно особой точки функция принимает (причём бесконечно много раз) любое конечное значение (за исключением, возможно, одного).
19.7.3. Вычет аналитической функции в особой точке. Пусть функция аналитична в области D за исключением точки a. Разложим
в окрестности этой точки в ряд Лорана:
Коэффициент называется вычетом функции
в точке а и обозначается
. Если
- произвольный кусочно-гладкий замкнутый контур, расположенный в области D и содержащий внутри себя точку а, то, согласно общей формуле для коэффициентов ряда Лорана (см. 19.6.3. Ряд Лорана),
.
19.7.3.1. Вычет в устранимой особой точке равен нулю.
Это следует из определения устранимой особой точки: главная часть ряда Лорана отсутствует, все коэффициенты с отрицательными индексами равны нулю, =0.
19.7.3.2. Вычеты в полюсах.
19.7.3.2.1. Если а - простой полюс функции , то
.
Док-во. Простой полюс - полюс первого порядка, поэтому разложение в ряд Лорана начинается с минус первой степени: . Тогда
, и
.
19.7.3.2.2. Пусть , где
и
- аналитические в окрестности точки а функции. Если а - простой нуль функции
, и
, то
.
Док-во. Если а - простой нуль функции , и
, то а – простой полюс функции
. Тогда, по предыдущему утверждению,
.
19.7.3.2.3. Если а - полюс функции n-го порядка, то
.
Док-во. Так как точка - полюс n-го порядка функции
, то.
. Для того, чтобы удалить особенность в точке а, умножим
на
:
. Теперь, чтобы убрать первые члены этой формулы и добраться до
, дифференцируем это произведение n-1 раз:
,
,
……………………………………………………………………………………………………………………….,
,
, откуда и следует доказываемая формула.
. Основная теорема о вычетах. Пусть функция аналитична во всех точках ограниченной замкнутой области
, границей которой является контур L, за исключением конечного числа особых точек
, расположенных внутри L. Тогда
.
Док-во. Окружим каждую особою точку , контуром
таким, чтобы все контуры лежали в области D и не пересекались. В области, ограниченной контурами L,
, функция аналитична, поэтому по 19.5.2.2. Теореме Коши для многосвязной области
. По определению вычета,
, следовательно,
, что и требовалось доказать.
Примеры вычисления интегралов с помощью основной теоремы о вычетах.
1. , где L - квадрат
.
Обе особые точки подынтегральной функции - и
- расположены внутри контура L, поэтому
. Точка
-полюс первого порядка,
. Точка
- нуль первого порядка и для числителя, и для знаменателя; докажем, что это - устранимая особая точка подынтегральной функции. Пусть
, тогда
, и
, конечный предел существует, поэтому, действительно, это - устранимая особая точка, и
. По основной теореме о вычетах
.
2. . В примере 2 раздела 19.7.3.4. Примеры нахождения вычетов мы доказали, что точка
- существенно особая точка подынтегральной функции, и
, поэтому
.
3. . Здесь подынтегральная функция
имеет две особых точки, расположенных в области, находящейся внутри контура:
(простой полюс) и
(полюс второго порядка).
,
;
.
4. . Внутри контура расположена одна особая точка подынтегральной функции
:
. Это - существенно особая точка, поэтому для нахождения вычета необходимо найти коэффициент
разложения
в ряд Лорана в окрестности этой точки.
;
.
, однако нет необходимости выписывать произведение этих рядов, достаточно только собрать те попарные произведения, которые дают минус первую степень переменной
:
. Легко сообразить, что это ряд для
при
, т.е.
, и
.
19.7.5. Бесконечно удалённая особая точка. Будем считать точку особой точкой любой аналитической функции. В разделе 19.1.6. Окрестности точек плоскости
мы определили окрестности этой точки как внешности кругов с центром в начале координат:
. Точка
является изолированной особой точкой аналитической функции
, если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек этой функции. Для определения типа этой особой точки сделаем замену переменной
, при этом точка
переходит в точку
, функция
примет вид
. Типом особой точки
функции
будем называть тип особой точки
функции
. Если разложение функции
по степеням
в окрестности точки
, т.е. при достаточно больших по модулю значениях
, имеет вид
, то, заменив
на
, получим
. Таким образом, при такой замене переменной главная и правильная части ряда Лорана меняются местами, и тип особой точки
определяется количеством слагаемых в правильной части разложения функции в ряд Лорана по степеням
в окрестности точки
. Поэтому
1. Точка - устранимая особая точка, если в этом разложении правильная часть отсутствует (за исключением, возможно, члена
);
2. Точка - полюс n-го порядка, если правильная часть заканчивается слагаемым
;
3. Точка - существенно особая точка, если правильная часть содержит бесконечно много членов.
При этом остаются справедливыми признаки типов особых точек по значению : если
- устранимая особая точка, то этот предел существует и конечен, если
- полюс, то этот предел бесконечен, если
- существенно особая точка, то этот предел не существует (ни конечный, ни бесконечный).
Примеры: 1. . Функция уже является многочленом по степеням
, старшая степень - шестая, поэтому
- полюс шестого порядка.
Люди также интересуются этой лекцией: Введение.
Этот же результат можно получить по-другому. Заменим на
, тогда
. Для функции
точка
- полюс шестого порядка, поэтому для
точка
- полюс шестого порядка.
2. . Для этой функции получить разложение по степеням
затруднительно, поэтому найдём
:
; предел существует и конечен, поэтому точка
- устранимая особая точка.
3. . Правильная часть разложения по степеням
содержит бесконечно много слагаемых, поэтому
- существенно особая точка. По другому этот факт можно установить исходя из того, что
не существует.
Вычет функции в бесконечно удалённой особой точке. Для конечной особой точки
, где
- контур, не содержащий других, кроме
, особых точек, проходимый так, что область, им ограниченная и содержащая особую точку, остаётся слева (против часовой стрелке). Определим
аналогичным образом:
, где
- контур, ограничивающий такую окрестность
точки
, которая не содержит других особых точек, и проходимый так, что эта окрестность остаётся слева (по часовой стрелке). Таким образом, все остальные (конечные) особые точки функции должны находиться внутри контура
. Изменим направление обхода контура
:
. По основной теореме о вычетах
, где суммирование ведётся по всем конечным особым точкам. Поэтому, окончательно,
, т.е. вычет в бесконечно удалённой особой точке равен сумме вычетов по всем конечным особым точкам, взятой с противоположным знаком. Как следствие, имеет место теорема о полной сумме вычетов: если функция
аналитична всюду в плоскости С, за исключением конечного числа особых точек
, то сумма вычетов во всех конечных особых точках и вычета в бесконечности равна нулю.
Отметим, что если - устранимая особая точка, то вычет в ней может быть отличен от нуля. Так для функции
, очевидно,
;
- единственная конечная особая точка этой функции, поэтому
, несмотря на то, что
, т.е.
- устранимая особая точка.