Дифференцируемость функции комплексной переменной

Дифференцируемость функции комплексной переменной.

19.3.1. Определение производной. Аналитичность ФКП. Пусть  определена, однозначна и принимает собственные значения в окрестности точки . Производной функции  в точке называется предел . Функция, имеющая конечную производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке.

В этом определении важно, что стремление  может проходить по любому пути. Как мы увидим дальше, вследствие этого обстоятельства существование производной  не сводится к существованию частных производных функций  и , а требует некоторых дополнительных условий. Сейчас мы дадим определение основного в теории ФКП понятия - аналитичности функции в точке и в области.

Определение. Однозначная функция называется аналитической (регулярной, голоморфной) в точке , если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки.

Однозначная функция называется аналитической в области D, если она аналитична в каждой точке этой области.

Примеры. 1. . В этом случае  . Таким образом , эта функция дифференцируема в любой точке, и её производная равна 2z.

2.  Докажем, что эта функция не имеет производной ни в какой точке . Будем стремить  по двум путям: по прямой, параллельной действительной оси Ох (в этом случае ), и по прямой, параллельной мнимой оси Оу (в этом случае ). В первом случае , во  втором . Эти пределы равны, только если  . Таким образом, функция   может быть дифференцируема в единственной точке , во всех остальных точках пределы   различны в зависимости от способа стремления , т.е.  не существует.

19.3.2. Условия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера).Сейчас мы сформулируем и докажем важнейшую в теории ФКП теорему о необходимых и достаточных условиях дифференцируемости (а, следовательно, аналитичности) функции.

Рекомендуемые материалы

Для того, чтобы функция  была дифференцируема в точке , необходимо и достаточно, чтобы функции  и  были дифференцируемы  в точке (х,у), и чтобы в этой точке выполнялись соотношения

.

Доказательство. Необходимость. Здесь мы применим идею, которой воспользовались, когда доказывали, что функция  не имеет производных в точках : подойдём к точке z двумя путями - по направлениям  () и  ().

В первом случае:

.

Во втором случае: (напомню, что )

. Пределы должны быть равны, поэтому .

Достаточность. По предположению теоремы, функции  дифференцируемы в точке (х,у), поэтому  где ,

Бесплатная лекция: "Часть 1" также доступна.

 - бесконечно малые более высокого порядка по сравнению с , т.е. , . Найдём .  .

Последнее слагаемое - бесконечно малая высшего порядка по сравнению с : ; далее, в предыдущих слагаемых, пользуясь формулами Коши-Римана, оставим только частные производные по х, т.е. заменим  на ,  на ; тогда . Отсюда следует, что существует , т.е. функция дифференцируема в точке (х,у).

            Производная дифференцируемой функции может находиться по любой из формул , эти равенства следуют из условий Коши-Римана. При вычислении производных можно пользоваться всеми правилами действительного анализа:  (в точках, где .

            19.3.3. Примеры вычисления производных.

            1. Выше мы доказали, что функция  имеет производную, равную 2z, в каждой точке. Проверим, что для этой функции выполняются условия Коши-Римана. Так как , то . Тогда .

2. Для функции  мы получили  Поэтому , т.е. функция дифференцируема. .